壓電驅動器的率相關遲滯特性建模與測試

張段芹，馮炳昊，曹 寧，劉 嘉，聶 晶

(1.鄭州輕工業大學 機電工程學院，河南 鄭州 450002;2.鄭州輕工業大學 計算機與通信工程學院，河南 鄭州 450002；3.北京航空航天大學 前沿科學技術創新研究院，北京 100191)

0 引言

壓電陶瓷具有體積小，結構簡單，分辨率高，出力大，結構緊湊，響應速度快等優點，常用于微納米定位系統，廣泛應用于超精密機械、精密儀器制造、生物醫療器械及半導體制備等領域[1]。由于壓電陶瓷遲滯非線性特性嚴重降低了其定位精度和穩定性等性能，因此，深入研究或補償壓電陶瓷的遲滯非線性，提高其定位精度是目前研究的關鍵和熱點問題[2]。

針對壓電陶瓷的遲滯非線性對壓電微定位臺定位精度的影響，目前的主要研究方向是通過建立各種遲滯非線性的數學模型模擬壓電陶瓷的遲滯輸出特性[3]。常用的遲滯模型有Duhem模型[4]、Bouc-Wen模型[5]、Preisach模型[6]、經典Prandtc-Ishlinskii(P-I)模型[7]、Maxwell滑動模型[8]及神經網絡模型[9]等。P-I模型采用一重積分，因其具有簡單的數學形式，需辨識參數相對較少，特別是求解其逆模型或近似逆模型相對容易，故被廣泛應用于壓電陶瓷的遲滯建模[10]。隨著對壓電陶瓷的深入研究發現，壓電執行器中具有率相關特性，而這些模型大多數不能描述壓電陶瓷的率相關特性[11]。基于此，文獻[11]建立具有動態權值、閾值的P-I模型來描述率相關遲滯非線性。文獻[12]引入二次多項式和初始位移項，描述壓電陶瓷遲滯靜態非線性特性，通過把輸入信號頻率引入模型參數，實現了對壓電陶瓷遲滯動態特性的直接描述。本文通過引入電壓變化率，提出率相關的遲滯模型，首先通過引入多項式來描述壓電陶瓷遲滯靜態非線性特性；在靜態遲滯模型基礎上，通過將電壓升降速率引入模型參數以描述壓電陶瓷的速率相關特性。

1 率無關的P-I模型

采用雙邊Play算子的經典P-I模型[13]來描述壓電陶瓷遲滯非線性特性，從數學上講，經典P-I模型可以描述為

(1)

式中：t為時間；y(t)，v(t)分別為模型的輸出位移和輸入電壓；p0為系數；pi為對應閾值ri(1≤i≤N)的遲滯算子權重系數；Fri[v](t)為輸出位移的遲滯算子。其中：

Fri[v](0)=fri(v(0),0)

(2)

Fri[v](t)=fri(v(t),Fri[v](t-T))

(3)

fri(v(t),w(t))=max(v(t)-ri,min(v(t)+

ri,w(t)))

(4)

式中T為采樣周期。

如圖1所示，在輸入非負電壓的情況下，雙邊Play算子形成的滯環不隨控制輸入返回到0，初始加載曲線(雙邊Play算子驅動電壓從0施加到最高值的升程曲線，其初始輸出位移為0)外的后續軌跡具有初始位移，這種特性與壓電驅動器的特性非常相似。

圖1 雙邊算子電壓位移圖

考慮到經典P-I模型只能模擬中心對稱的遲滯曲線，而壓電陶瓷的遲滯曲線為中心非對稱，所以提出修正的P-I模型通過引入多項式來模擬壓電驅動器的遲滯非線性曲線，有：

(5)

g(v(t))=a1v(t)+a2v(t)2+a3v(t)3

(6)

式中a1、a2、a3為常數項系數。

2 率相關的P-I模型

上述提到的P-I模型是與速率無關的模型，率無關的P-I模型常用于描述陶瓷在低頻時的遲滯現象。當頻率增加時，由于壓電陶瓷的遲滯率與頻率有很強的相關性，使用這些滯環模型會引起較大誤差，因此有必要建立一個速率相關的P-I模型。

在率無關模型的基礎上將輸入電壓升降速率引入動態遲滯模型參數中，用于描述壓電驅動器率相關的遲滯非線性，表達式如下：

(7)

(8)

3 實驗

壓電陶瓷驅動器的率相關輸出位移測試平臺的硬件組成原理如圖2所示。計算機產生驅動指令，經數據采集卡的數模轉換(D/A)輸出模擬信號，再經功率放大驅動壓電驅動器，驅動位移經位移傳感器傳至數據采集卡模擬輸入端，經模數轉換(A/D)到計算機。各組件的主要參數如下：疊堆式壓電驅動器在輸入電壓0～150 V內的輸出位移為0～12 μm；功率放大器采用芯明天公司生產的型號為E03.00壓電驅動電源，帶寬為1 kHz；位移檢測采用德國米銥公司的電容式非接觸位移傳感器，分辨率為20 nm，帶寬為5 kHz；采用的NI數據采集卡最大輸出更新率為2.8 MS/s，最大輸入采樣率為1.25 MS/s。實驗臺實物圖如圖3所示。

圖2 硬件組成原理圖

圖3 實驗臺實物圖

利用Labview編程產生三角波信號，上升和下降過程的采樣數均為50個，給壓電平臺施加不同的電壓速率(0.12 V/ms(1 Hz)，1.2 V/ms(10 Hz)，3 V/ms(25 Hz)，6 V/ms(50 Hz))、幅值30 V、偏置30 V的三角波電壓信號，傳感器信號采樣率為2 kHz。從計算機產生驅動信號到計算機采集到位移信號具有一定的時間滯后，需要測量除壓電驅動器本身的響應滯后外的附加滯后，附加滯后包括D/A轉換與保持、采樣與保持、A/D轉換信號處理滯后以及功率放大和位移傳感器的滯后。通過同時采集模擬輸出信號，獲得附加滯后時間約為13 ms。處理數據時需考慮附加滯后的時間，由于實驗中的壓電陶瓷驅動器未加負載，在高頻使用時慣性力會變大并在內部產生拉伸應力，破壞壓電材料，因此，為了保護疊堆式壓電陶瓷驅動器，施加的信號頻率最高為50 Hz。

壓電驅動器在不同驅動頻率下的輸出位移如圖4所示。隨著輸入信號頻率的不斷增大，對應的遲滯環也越來越寬，遲滯環在電壓最大時的位移逐漸減小，遲滯環表現出率相關的特性。

圖4 壓電驅動器在不同頻率輸入信號下的遲滯曲線

4 參數辨識及模型驗證

4.1 參數辨識

根據式(7)的率相關模型，需要辨識的模型參數有a1、a2、a3、a4及每個算子的權值。為了簡化動態遲滯模型，方便分析不同輸入信號施加電壓速率與對應的動態模型之間的關系，設置所有模型中的權重系數和閾值均保持一致。閾值可由下式確定：

(9)

式中N為遲滯算子的數量。利用測得的數據使誤差最小化，通過調用MATLAB優化工具箱中最小二乘法辨識不同頻率下的模型參數，表達式為

(10)

式中：ψ(k)為模型輸出位移；e(k)為最小化誤差。以速率為0.12 V/ms(1 Hz)的三角波輸入信號為參考信號辨識率相關時的算子權重系數和模型參數，數據如表1所示。表2為不同速率下的模型參數。圖5為不同速率下的模型參數曲線。

表1 率相關的算子權重系數及模型參數

表2 不同速率的模型參數

圖5 不同速率下的a1，a2，a3，a4模型參數曲線

由圖5可見，模型參數與速率呈近似線性關系，可以用一次函數關系來表達：

(11)

(12)

(13)

(14)

利用MATLAB最小二乘法進行曲線擬合辨識動態模型參數k1，k2，k3，k4，k5，k6，k7，k8，如表3所示。

表3 動態模型參數

4.2 模型驗證

給壓電平臺施加幅值30 V、速率4.8 V/ms(40 Hz)、偏置30 V的三角波電壓信號進行模型驗證。利用0.12 V/ms建模數據并借助辨識的模型參數k1～k8，得出不同速率實測模型與建模模型的對比圖如圖6所示。

圖6 不同速率實驗結果與仿真結果對比及誤差曲線

為了驗證所建模型的準確性，本文采用均方根誤差ERMS作為驗證準確性的指標。

(15)

式中：n為采樣數據個數；y(i)為采集到的壓電陶瓷微定位平臺實際位移輸出；ym(i)為模型預測輸出。表4為不同速率模型誤差。

表4 率相關模型誤差分析

由表4可見，在0.12～6 V/ms，模型最大誤差控制在0.076～0.190 μm，均方根誤差控制在0.044～0.077 μm，相對誤差為1.2%～3.2%。由圖6可見，隨著輸入施加電壓速率的升高，最大位移誤差、平均位移誤差和均方根誤差都有不同程度的升高，驗證模型最大誤差控制0.19 μm內。

5 結束語

本文提出了一種與速率相關的P-I模型，表征壓電致動器的速率相關的遲滯非線性。首先通過引入多項式，描述壓電陶瓷遲滯靜態非對稱性特性；在靜態遲滯模型基礎上，通過把速率引入模型參數以描述壓電陶瓷的速率相關特性。利用不同速率的三角波輸入測得響應位移，采用最小二乘法對模型參數進行辨識。模型誤差相對較小，較好地擬合了壓電陶瓷遲滯非線性的特性。