考慮增材制造傾角約束的結構拓撲優化方法

0 引言

拓撲優化因其不依賴于初始結構及工程人員的經驗，可以獲得滿足優化目標的創新構型

。然而，拓撲優化得到的幾何構型往往比較復雜，采用傳統的減材制造工藝加工十分困難甚至可能無法制造

，增材制造技術采用特殊的制造工藝，可以制造出構型復雜的結構，推動了拓撲優化技術的應用。但增材制造技術受限于其層層堆疊的制造原理，將要打印的結構只有被完全支撐才能打印出來，在宏觀上表現為結構的傾角必須不小于設備可打印傾角的臨界值，否則會在制造的過程中出現坍塌現象，無法得到所設計的結構。需要指出的是，不同設備和工藝可打印傾角的臨界值不同，通常大于40度

。針對上述問題，Wu等以需要打印的模型為邊界，控制菱形網格的長寬比及結構的最小壁厚，使其滿足增材制造的工藝要求，最終得到以菱形結構為單胞填充模型的拓撲構型

。Brackett等在拓撲優化設計中，對傾角不能滿足自支撐的桿件進行懲罰處理，優化得到需要支撐材料最少的拓撲構型

。

從現有的研究成果分析發現，目前主要考慮的方法是減少支撐結構，但是后期的拆除過程中可能會影響原始結構的質量和性能，而存在于結構封閉內部的支撐結構無法被拆除。因此，本文從微觀角度出發，基于增材制造層層堆積的原理，建立滿足增材制造傾角約束的單元密度更新迭代規則，以結構的柔度最小為優化目標建立數學模型，對優化模型進行求解，得到了具有傾角約束的拓撲構型。通過典型算例和實驗對所提出的方法進行驗證。

1 增材制造傾角約束的結構拓撲優化設計

1.1 考慮增材制造傾角約束的單元密度更新迭代規則

如圖1所示為矩形的設計區域，將其均勻離散

×

為個單元，每個單元均與初始密度變量

(

,

)關聯，每個單元的可打印密度

(

,

)與其初始密度

(

,

)相關，其中

和

分別表示單元在豎直方向和水平方向的位置，

方向為打印方向，第一層位于基底上，該層的索引號為

=1。根據增材制造層層堆疊的原理，位于(

,

)處的單元只有被已打印層充分支撐才可打印。每個單元的支撐區域為

(

,

)，支撐區域

(

,

)為該單元正下方及其相鄰的各個單元組成。

依靠基底支撐的單元(

=1)都可以直接打印，對于

>1層的各個單元被完全支撐，每個單元的可打印密度為：

我在尋訪團中年齡最小，同學們都是一些95后。突出的困難就是沒有改革開放40年的完整經歷，沒有在社會工作的真實體驗。

對上述問題，可以通過如下的加權求和的辦法修正校驗．設UPC加權求和的權數為(ω1,ω2,…,ω12)=(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)，可以算得商品項目代碼0 8 9 6 0 0 1 2 4 5 6的加權和為

(1)

如圖2所示為Michell梁結構的設計域示意圖，Michell梁的長為L=180，高為H=90，在梁結構底部下邊界中心施加豎直向下的集中力，其中梁結構的左下角固定，右下角簡支。

1.2 增材制造的傾角約束

為了便于進行敏度分析，將迭代模型采用光滑近似的可微形式進行表示，定義如下的近似形式：

對60例乳腺癌患者的70個病灶，其中有37個惡性病灶，占據比例為52.85%，即為29個浸潤性導管癌、3個導管原位癌、1個導管內乳頭狀癌、1個小葉原位癌、1個浸潤性小葉癌、1個混合癌、1個黏液癌。33個良性病灶，占據比例即為47.14%，15個纖維腺瘤、5個導管內乳頭狀瘤、5個纖維囊性乳腺病、2個良性葉狀腫瘤、1個乳腺慢性炎癥、1個放射狀瘢痕、1個復合性硬化性腺病、1個重度不典型增生、1個脂肪瘤、1個錯構瘤。

(2)

(3)

(4)

(4) 模塊配置.根據具體需求結合配置規則庫,檢索出符合設計要求的模塊,并對模塊進行組合、替換,完成設備模塊配置方案.配置規則庫的建立需要對企業長期積累的設計經驗進行歸納總計.

(5)

式中：

是單元支撐區域每一層的單元數，

=3；

和

是調節光滑近似模型的參數。

(

,

)=smin(

(

,

),

(

,

))

(6)

(

,

)=smin(

(

,

),

(

-1,

))

(7)

(

,

)=smax(

(

-1,

-1),

(

-1,

),

(

-1,

+1))

(8)

(

,

)=smax(

(

-2,

-1),

(

-2,

),

(

-2,

+1))

(9)

因為每個拉格朗日乘子矢量均由其上面兩層的相關乘子矢量決定，因此評估的順序是從上往下逐層進行的，這與瞬態問題的伴隨靈敏度分析方法類似，所以：

(10)

所以增材制造傾角約束的模型可以表示為：

2 拓撲優化數學模型及求解

2.1 拓撲優化模型

采用基于固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP)

的連續體結構拓撲優化方法，以可打印結構的柔度

最小為優化目標，以增材制造傾角約束和給定體積分數以及力學控制方程為約束條件建立拓撲優化模型如下：

2.1 葉面噴施生長調節劑 對僵苗現象嚴重的水稻田塊還應噴施葉面肥和生長調節劑，如僵苗靈、肥力素、活力素、葉肥王等，以調整植株生理活性，增強抗性，促進水稻的快速恢復生長。

(11)

式中：

為目標函數，即結構的整體柔度值；

為整體剛度矩陣；

為整體位移；

為外載荷矢量；

(

)為結構優化后的體積；

為結構的初始體積；

為給定體積分數；

為結構的傾角約束等式即增材制造的傾角約束。

2.2 靈敏度分析及模型求解

在式(11)的拓撲優化模型中，目標函數

關于設計變量的敏度表達式為：

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

式中：smin和smax分別采用式(3)和(4)的近似形式，需要指出的是第

層的可打印密度與第1層到第

-1層的可打印密度均密切相關。為了使敏度求解過程更高效，采用伴隨公式表達可打印密度與初始密度之間的關系：

(16)

3 數值算例及實驗

3.1 Michell梁數值算例

式中：

(

,

)為每次迭代后(

,

)處單元的可打印密度值；

(

,

)為每次迭代前(

,

)處單元的初始密度值；

(

,

)為(

,

)處單元支撐區域內各單元可打印密度的最大值；

(

,

)為(

,

)處單元支撐區域內各層最大可打印密度中的最小值。

材料的彈性模量為1，泊松比為0.3，集中載荷F=1(所有量均為相對值，無量綱，下文同)，給定體積分數為0.5?；谟邢拊碚摚捎盟墓濣c單元將設計域離散為180×90的網格模型，以結構的柔度最小為優化目標，定義水平面為基底，豎直向上為結構的打印方向。單元密度更新迭代規則光滑近似模型的相關參數設定為

=10

,

=40,

=0

5。

分別進行無傾角約束和有傾角約束的Michell梁拓撲優化設計，得到拓撲構型如表1所示，從圖中可以看出，無傾角約束和有傾角約束的拓撲構型完全不同，主要表現在有傾角約束的拓撲構型，構件與水平面所成的夾角均比較大，而無傾角約束的拓撲構型，其構件的角度有大有小，甚至存在近似為零的情況，這種完全懸空的結構無法直接進行增材制造。

三要突出圍繞農業增效加快農田灌排設施建設，內河圩堤與沿河低洼地內的農田按照 “防洪、擋水、搶排、抽排、降漬、蓄水、引水、提水、調整結構”等思路建設好農田水利綜合治理小區，加快內河圩堤和沿河低洼地內的農田水利工程治理步伐；按照“蓄、引、提、調”的要求，以澗溝或小流域為單元大建集“河、庫、塘、渠、站、水?！睘橐惑w的“長藤結瓜”式的工程，重點建成一批活庫、活塘工程，切實提高丘陵區防洪和水源的供給能力，推進以塘壩擴挖、溝河疏浚、集體泵站更新改造（機井建設）和基層水利服務體系建設為主要內容的“三加一”工程建設。

為了更加直觀地表現所添加的傾角約束能夠控制拓撲結構的最小傾角，分別對無傾角約束和有傾角約束拓撲構型的典型傾角進行測量，角度編號如圖3(a)、(b)所示。由于Michell梁的拓撲結構是左右對稱的，因此測量任意邊的典型傾角即可，本文測量結構右邊的典型傾角，各角度值的大小如表2所示。

從拓撲構型和實驗結果可以得出：無傾角約束拓撲構型結構傾角的范圍很大，傾角小于臨界值的地方會出現坍塌現象，在打印實驗時無法實現自支撐，從而打印失敗。具有傾角約束的拓撲結構由于角度均大于63度沒有出現坍塌現象，實驗結果進一步驗證了本文提出拓撲優化方法的可行性，拓撲得到的結構可以直接進行增材制造，實現自支撐。

3.2 實驗驗證

為了進一步驗證本文提出的適應增材制造構件傾角約束的拓撲優化方法的可行性，證明拓撲得到的結構能夠直接進行增材制造。分別對有、無傾角約束的Michell梁拓撲構型進行3D打印。設定Michell梁長為120mm，寬為60mm，厚度為10mm，采用熔融沉積成型技術(FDM)對模型分別進行制備，均不添加外支撐結構，表3為模型的打印過程。

最終得到如圖4所示的結構，具有傾角約束的拓撲結構由于角度均大于63度沒有出現坍塌現象。

綜上所述，針對公路進行養護時，不僅需要及時掌握翻漿現象出現的主要成因，同時也需要根據具體情況對導致翻漿現象出現的主要因素和條件加以分析，通過加大排水力度、提升施工管理、及時換填土以及提升養護效率等方式加大對翻漿現象的預防及養護效果，保證公路的正常運行，提升交通安全效率，加速實現我國走可持續發展路線的基本目標。

如圖5局部放大所示，無傾角約束的拓撲構型不滿足傾角約束的部分，出現了明顯的坍塌現象，并且傾角越小的結構坍塌現象越明顯。實驗結果進一步驗證了本文提出拓撲優化方法的可行性，考慮傾角約束的結構可以直接進行增材制造，實現自支撐。

4 結論

遵循增材制造層層堆積的基本原理，從微觀角度建立滿足增材制造傾角約束的單元密度更新迭代規則，使結構在宏觀上滿足增材制造的傾角約束。分別對添加和不添加增材制造傾角約束的拓撲構型，采用熔融沉積成型技術對結構進行制備，結果證明提出的方法能夠約束拓撲構型的傾角，實現宏觀結構的自支撐設計。

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