基于數學核心素養的“等比數列前n項和”的教學

西華師范大學

曾 盼 孫 海

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)要求學生在學習數學的同時也能完成數學核心素養的培養.等比數列前n項和是高中數學教材中的重點，而如何使學生獲得求等比數列前n項和公式的思路是廣大教師探究的重點，本文就如何在數學課堂中落實核心素養進行闡述.

2 引入環節“數學抽象”核心素養的培養

數學抽象是指不涉及事物的所有與數學無關的本質，從事物之間、事物內部的關系中抽象出一般規則，從數量及圖形關系兩個角度抽象出數學概念與概念之間的聯系，并用數學語言來進行展示的過程，是數學的基本思想[1].

教學片段1：

師：國王要獎賞國際象棋的發明者，發明者提出，在棋盤的第一格中放1顆麥粒，在后面每格都放比前一格多一倍的麥粒，直到64格全部放滿，把格子里所有的麥粒都賞給他.國王覺得這個要求很容易做到，不僅答應了這位發明者，還提出要給雙倍獎賞.請問，國王可以實現他的要求嗎？

學生有的贊同，有的則不然.

師：你們的理由是什么？可以把這個問題轉化為數學問題嗎？發明者要的麥粒數的本質是什么？

生1：我得出了1+2+22+……+263的式子.

生2：我將上式中的每一項提出來，構成等比數列{an}，首項為1，公比為2.

生3：1，2，……，263就是數列{an}的1到64項，該數列的前64項的和為1+2+22+……+263.

至此，將抽象的“國王獎賞”問題轉化成了數學問題.

設計意圖：在引入時，教師采用故事激發學生的興趣，引發學生思考.教師不斷提出問題“可以把這個問題轉化為數學問題嗎？”“發明者要的麥粒數的本質是什么？”，引導學生將故事情境抽象成數學問題.

3 思路探究環節“邏輯推理”核心素養的培養

《標準》對邏輯推理是這樣定義的，以一定的規則為基礎，以一些事實為出發點，得到其他規律的素養[2].教師先列出1+2+22+……+263，再引導學生思考“這種算法是否適用于所有的等比數列？”

教學片段2：

師：S64=1+2+22+……+263①是一個特殊的等比數列求和，如果是n個棋盤格呢？

生1：那應該列Sn=1+2+22+……+2n-1.

師：很好.如果第一格棋盤不是放一粒，而是任意數量；后面每格不是比前格多一倍，而是多任意倍數呢？

生2：假設第一格放a1，后面每格放的麥粒數是前一格的q倍，則Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1.

同樣地，在求得等比數列前n項和公式時，也展示了邏輯推理素養.

教學片段3：

師：如何求棋盤上麥粒的總數呢？還有什么信息沒用到嗎？

生1：國王說要加倍獎賞，所以是2S64=2+22+23+……+263+264②.

生2：可以用②式-①式.

師：非常好，你是怎么想到的？能分享一下嗎？

生2：我發現①式和②式有很多相同的項，相減就可以抵消.

學生板書：

S64=1+2+22+……262+263

①

2S64=2+22+23+……+263+264

②

②-①，得2S64-S64=264-1，所以S64=264-1.

師：數列求和的過程實際上是一個式子化簡的過程.能想到在等式兩邊同時乘2，又發現了兩個式子的特殊性，是非常不錯的.264-1是一個很大的數字，那現在大家覺得國王可以實現嗎？

生：不可以.

設計意圖：通過探究特殊情況的等比數列求和，學生發現等比數列前n項和Sn=a1(1+q+q2+……+qn-1)，其本質就是1+q+q2+……+qn-1的和，與1+2+22+……+263求和的思想方法是相同的.因此，可以采用類似的方法，推出等比數列前n項和公式.這個過程符合學生由簡單到復雜的思維特點，體現了從特殊轉化為一般的邏輯推理素養.在對等比數列求和公式進行推算時，很難想到在S64=1+2+22+……+263等式兩邊同時乘2，教師必須想辦法引導學生自主產生這一種思路，所以在引入課題時，提出“國王要加倍獎賞”，這就提示學生“乘q”.學生通過觀察思考出②式-①式的方法.整個過程教師一直在推動學生進行邏輯推理.

數學不僅僅是運算，同時也包含邏輯和推理.運算固然重要，但也要讓學生在學習數學時思維得到提升.邏輯推理能力是人類智力五大因素之一，而且愛因斯坦提出演繹推理和歸納推理是歐幾里得幾何學的兩大成就[2].故“邏輯推理”素養的培養是影響學生發展的重要因素.

4 公式推導和應用環節“數學運算”核心素養的培養

《標準》提出：“數學運算是以某些運算法則為依據，在確定運算對象的基礎上，解決數學問題的素養.”分為如下環節：首先確定運算對象是什么，要使用的運算法則是否掌握；其次思考怎樣的運算思路是恰當的，怎樣的運算方法是有效的，運算過程該如何設計；最后得到運算結果等.“數據分析是根據研究對象得到數據，通過數學方法對數據進行整理、分析，達成基于研究對象知識的素養.主要包括：數據收集，數據整理，信息提取，模型建構，進行推理，得到結論.”[3]

教學片段4：

師：我們算出了特殊等比數列的和，怎么推廣到一般情況呢？Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1如何化簡呢？

生1：等式兩邊同時乘2.

生2：不對，同時乘2得到的新式子和原式相減不能抵消.

生3：應該乘q.

師：很好.我們剛剛乘2是因為每格是前一格的2倍，現在是前一格的q倍，所以應該乘q.

教師板書：

Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-2+a1qn-1

③

qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-1+a1qn

④

③-④，得(1-q)Sn=a1(1-qn).

師：兩邊同時除以(1-q)是否可以實現？

生：要看1-q是否為0.

師：所以分為q=1與q≠1兩種情況，最后得出一般性公式

接下來我們來運用公式算一算，請看例題.

分析：此題數據看起來較難運算，且運算結果不是整數，這就需要學生在扎實的數據運算基礎上建立信心.

設計意圖：在推出等比數列前n項和公式后，給出例題，可以讓學生鞏固知識并且檢驗自己的學習成果.

數學運算是最基礎的數學能力，其他數學能力的提升必須以掌握數學運算為基礎.高中數學六大核心素養中數學運算是最基本的素養.

5 解決實際問題環節“數學建模”核心素養的培養

數學建模是以實際問題為基礎，通過某些方式建構數學模型，分析求解該數學模型，檢驗后若通過則投入使用，若不通過則重復上述環節的一個過程.

教學片段5：

師：下面來探究一道生活里的問題，請看例題.

例2某工廠本月生產了5 000 臺計算機，如果每月的產量比上一個月的產量增加10 %，則從本月起，大約需要幾個月可以讓總產量達到30 000 臺？(結果保留到個位，其中log1.11.6≈5.)

解析：由題意得，從本月開始每月的產量可以組成等比數列{an}，其中首項a1=5 000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30 000.

故大約5個月可以讓總產量達到30 000臺.

設計意圖：把計算機的銷售問題轉化為等比數列的求和問題，在題干中提取有效運算數據把實際問題數學化，分析運算數據體現了“數學抽象”和“數學建模”素養.數學來源于生活，最終也要走向生活.高中時期用數學方法解決實際問題時，利用初等數學模型是解決問題的一種快捷方式，建立模型則是解決實際問題的關鍵一步[4].以生活中的實際背景進行引入的方式，激發學生的學習興趣，也要求教師能引導學生從復雜的實際問題中舍棄干擾的信息，找到問題的核心，用數學語言展示數學問題，通過數學知識和方法建構數學模型來解決問題，最后用數學模型實現實際問題的解釋.在教師的不斷引導下，學生的數學建模素養慢慢提升.

6 結論

綜上所述，數學核心素養的培養是一項長期且有意義的過程.數學核心素養之間相輔相成，在解決問題時通常一起滲透.同時，教師以自身為主導，以學生為主體，探究合適的教學方式，充分發揮課堂作用，增強學生的數學核心素養.