《開天辟地：宇宙演化理論》

本書作者善用源于日常生活的比喻闡釋復雜的宇宙物理問題，為讀者展示人類迄今所探知的宇宙誕生和演化的歷程，從日常的世界到微小的世界，再到巨大的世界，將一幅宇宙從起源到歸宿的宏大圖景在讀者的腦海中緩緩展開，讓不可思議的宇宙變得親切和美麗。

數學的三次危機都可以說是與悖論聯系在一起的。第一次數學危機可追溯到古希臘時代的希帕索斯悖論，起因是研究某些三角形邊長比例時發現的無理數，泄露這個“怪數”的學者希帕索斯（Hippasus，大約公元前500年）被他的同門弟子扔進大海處死。第二次危機則與芝諾悖論及貝克萊悖論有關，基于對無窮小量本質的研究，它的解決為牛頓、萊布尼茨創建的微積分學奠定了基礎。畢達哥拉斯學派在淹死了希帕索斯之后，對錯誤有所認識，被迫承認了無理數，并提出了“單子”，它有點類似“極小量”的概念。不過，這個做法卻遭到了詭辯數學家芝諾的嘲笑，他拋出了一個快跑運動員阿格里斯永遠也追不上烏龜的“芝諾悖論”，令歷代數學家反復糾結不已。牛頓發明微積分之后，雖然在實用上頗具優勢，但理論基礎尚未完善，貝克萊等人便用悖論來質疑牛頓的無窮小量，將其稱之為微積分中的“鬼魂”。

因為前兩次數學危機的解決建立了實數理論和極限理論，后來又有了康托的集合論，數學家們十分興奮激動，認為數學第一次有了“基礎牢靠”的理論。

然而，當初康托的集合論對“集合”的定義太原始了，以為把任何一堆東西放在一起，只要它們具有某種簡單定義的相同性質，再加以數學抽象后，就可以叫作“集合”了。沒想到如此“樸素”的想法也會導致許多悖論，羅素悖論就是其中之一。因此，在這些悖論解決之后，人們便將康托原來的理論稱為“樸素集合論”。

實際上，集合可以分為在邏輯上不相同的兩大類，一類（A）可以包括集合自身，另一類（B）不能包括自身。可以包括自身的，比如說，圖書館的集合仍然是圖書館；不能包括自身的，比如說，全體自然數構成的集合并不是一個自然數。

顯然一個集合不是（A）類就應該是（B）類，似乎沒有第三種可能。但是，羅素問:由所有（B）類集合組成的集合（X），是（A）類還是（B）類? 如果你說（X）是（A）類，則（X）應該包括其自身，但是（X）是由（B）類組成，不應該包括其自身。如果你說（X）是（B）類，則（X）不包括其自身，但按照（X）的定義（X）包括了所有的（B）類集合，當然也包括了其自身。總之，無論把（X）分為哪一類都是自相矛盾的，這就是羅素悖論(Russell paradox)，即理發師悖論的學術版。

還有一個與樸素集合論有關的悖論，叫作“說謊者悖論”（Liar paradox），由它引申出了許多版本的小故事。它的典型語言表達為：“我說的話都是假話”。為什么說它是悖論？因為如果你判定這句話是真話，便否定了話中的結論，自相矛盾；如果你判定這句話是假話，那么引號中的結論又變成了一句真話，仍然產生矛盾。

上述這兩個悖論導致了一種“左也不是，右也不是”的尷尬局面。說謊者悖論中的那句話，無論說它是真還是假，都有矛盾；而羅素悖論中的集合（X），包含自己或不包含自己，也都有矛盾。樸素集合論產生的另一個有趣悖論（柯里悖論）與上述兩個悖論有點不一樣，它導致的荒謬結論是“左也正確，右也正確”，永遠正確!

我們也可以用自然語言來表述柯里悖論。比如我說：“如果這句話是真的，則馬云是外星人。”根據數學邏輯，似乎可以證明這句話永遠都是真的，為什么呢？因為這是一個條件語句，條件語句的形式為“如果A，則B”，其中包括了兩部分:條件A和結論B。在這個例子中，A=這句話是真的，B=馬云是外星人。

如何證明一個條件語句成立？如果條件A滿足時，能夠導出結論B，這個條件語句即為“真”。那么現在，將這個方法用于上面的那一句話，假設條件“這句話是真的”被滿足，“這句話”指的是引號中的整個敘述“如果A，則B”，也就是說，A被滿足意味著“如果 A，則B”被滿足，亦即B成立。也就得到了B“馬云是外星人”的結論。所以，上面的說法證明了此條件語句成立。

但是，我們知道事實上馬云并不是外星人，所以構成了悖論。此悖論的有趣之處并不在于馬云是不是外星人，而是在于我們可以用任何荒謬結論來替代B。也就是說，通過這個悖論可以證明任何荒謬的結論都是“正確”的。如此看來，這個悖論實在太“悖”了!

以上三個悖論都牽涉到“自我”指涉(selfreference)的問題。理發師不知道該不該給“自己”理發，說謊者聲稱的是“我”說的話。柯里悖論產生的關鍵是“這句話”的語義表達中包括了條件和結論兩者。這樣看來，將自身包括在“集合”中不是好事，可能會產生許多意想不到的問題。那么，如果將自身排除在集合之外，悖論不就解決了嗎？也許問題并非那么簡單，但總而言之，這些悖論提醒數學家們重新考察集合的定義，并為它制定了一些“公理”作為條條框框，從而使得康托的樸素集合論走向了現代的“公理集合論”。