復(fù)數(shù)在交流電路中的應(yīng)用

王丹琦，任婷薇，李瑤，閆好奎

(1.新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院電子系，新疆烏魯木齊 830000；2.烏魯木齊市第113中學(xué)，新疆烏魯木齊 830000；3.新疆計量設(shè)計院，新疆烏魯木齊830000)

目前，世界上電力系統(tǒng)所采用的交流電壓，電流幾乎都采用正弦函數(shù)形式，另一方面，其他各種復(fù)雜波形的電壓電流，可以通過傅里葉級數(shù)也可分解為眾多不同頻率的正弦函數(shù)，所以，交流電路中大多數(shù)問題可以按照正弦電流電路來分析[1]。但是，在正弦交流電路中，常常遇到正弦量的加，減運算及微分，積分運算，如果直接采用三角函數(shù)公式來分析，將會非常復(fù)雜。如果用與正弦函數(shù)相對應(yīng)的復(fù)數(shù)分析法進計算，可以將微積分方程簡化為簡單的代數(shù)方程，達到簡化運算的目的[2]。

1 正弦交流電的表示方法

正弦交流電壓，電流的大小和方向都是隨時間發(fā)生變化的，其在任意時刻的值，稱為瞬時值，表示為：

式中，Um(Im)、ω、φu（φi）是正弦量的三個要素。Um(Im)稱為正弦電壓u(電流i)的幅值，它是正弦量在整個振蕩過程中所能達到的最大值，也是正弦量的極大值[3]。此處ω是稱為角頻率，它表示正弦量一秒中所轉(zhuǎn)過的角度，單位是rad每s,它反映了相位隨時間變化的角速度。我國電力系統(tǒng)的正弦電，其頻率為50Hz，角頻率ω為100π（rad/s）。φu（φi）是初相位，通常在主值范圍內(nèi)-π≤φu(φi)≤π取值。

在電路系統(tǒng)中，當(dāng)電源頻率是定值時，所有響應(yīng)的頻率都會和電源頻率相同，只有響應(yīng)的幅值和初相位會發(fā)生變化，所以在已知電源頻率的條件下，確定一個正弦量只需求出幅值和初相位兩個要素即可。

2 復(fù)數(shù)與正弦量的關(guān)系

2.1 復(fù)數(shù)的表示

我們把虛數(shù)單位-1記為j。一個復(fù)數(shù)A可用代數(shù)形式表示為：

式中，a1稱為該復(fù)數(shù)的實部，記作a1=Re[A];a2稱為該復(fù)數(shù)的虛部，記作a2=Im[A];Re和Im的含義為取復(fù)數(shù)的實部、取復(fù)數(shù)的虛部。

復(fù)數(shù)也可以表示為指數(shù)形式

式中，|A|為復(fù)數(shù)的模，恒為正，θ稱為輻角，在-π≤θ≤π區(qū)間內(nèi)取值[4]。

2.2 復(fù)數(shù)代數(shù)型和指數(shù)型的互換

（1）復(fù)數(shù)的指數(shù)型轉(zhuǎn)換為代數(shù)型

可得：實部a1=|A |cosθ；虛部a2=|A |sinθ

（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)型轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)型

已知A=a1+ja2，求| A|和θ？

根據(jù)復(fù)數(shù)三角形,可得：

（3）復(fù)數(shù)加減運算和乘除運算

復(fù)數(shù)的指數(shù)型轉(zhuǎn)換為代數(shù)型只需用歐拉公式展開就可以，但是從代數(shù)型轉(zhuǎn)換為指數(shù)型，位于不同象限的復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換公式不同。兩種表示方式的轉(zhuǎn)換在求正弦交流電路分析時應(yīng)用十分廣泛,作乘除運算時，用指數(shù)型比較容易；做加減運算時，用代數(shù)型比較簡單[5]。

2.3 用復(fù)數(shù)表示正弦量—相量法

可以發(fā)現(xiàn)，復(fù)數(shù)的指數(shù)表示形式也有兩個要素，分別是模和輻角，與正弦量的瞬時值的幅值及初相位兩個要素對應(yīng)，且定義域也相同。如果用一個復(fù)數(shù)表示一個正弦量的兩個要素，相當(dāng)于給復(fù)數(shù)一個物理含義，此時的復(fù)數(shù)就被稱為相量。

可見，相量也是復(fù)數(shù)，當(dāng)一個復(fù)數(shù)的模表示一個電壓的最大值，復(fù)數(shù)的輻角表示一個電壓的初相位時，這個復(fù)數(shù)稱為電壓最大值相量；當(dāng)一個復(fù)數(shù)的模表示一個電壓的有效值，復(fù)數(shù)的輻角表示一個電壓的初相位時，這個復(fù)數(shù)稱為電壓有效值相量；同理，相量也可以表示一個正弦電流瞬時值。

所有的相量都是復(fù)數(shù)，但不是所有的復(fù)數(shù)都是相量。只有復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)的輻角有一個確切的物理含義時，復(fù)數(shù)才被稱為相量。當(dāng)復(fù)數(shù)的模表示一個電壓或者電流值的大小，復(fù)數(shù)的輻角表示一個電壓或者電流的初相位時，這個復(fù)數(shù)才能被稱為相量。即把代表正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。為了區(qū)別相量和一般的復(fù)數(shù)，相量的寫作方式就是在大寫字母U或者I上面加“·”，既表示這一復(fù)數(shù)與正弦量關(guān)聯(lián)的特殊關(guān)系，同時也區(qū)別于正弦量的有效值[6]。

相量是一個復(fù)常數(shù)，而正弦量是一個關(guān)于t的函數(shù)，所以二者并不相等；只能互相表示，且相量只能表示正弦量的幅值和初相位兩個要素，而不能表示正弦量的角頻率。正弦量和最大值相量的關(guān)系為：正弦量最大值相量與旋轉(zhuǎn)相量e-jωt的乘積在X軸上的投影就是正弦量的瞬時值[7]。

3 電路三大定律的時域法和相量法分析

正弦穩(wěn)態(tài)電路方程是一組同頻正弦函數(shù)描述的代數(shù)方程，電路的基本定律所涉及的正弦電流，電壓的運算，不會改變電壓，電流同頻正弦量的性質(zhì)，即正弦量三大定律運算的結(jié)果，仍然是同頻的正弦量[8]。

3.1 三大定律的時域形式

電路定律中的基爾霍夫電流定律和電壓定律在交流電路中涉及三角函數(shù)的加減法，為使結(jié)果為同頻率的正弦函數(shù)，還需應(yīng)用到積化和差公式和余弦合角公式；歐姆定律除了有代數(shù)運算，還有微積分運算；三大定律的時域法給分析電路和計算都帶來了困難。

3.2 三大定律的相量形式

相量法巧妙地將三角函數(shù)的運算和微積分運算都轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算。應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時，其電路方程仍然為線性代數(shù)方程，只是電路變量的形式為三角函數(shù)形式，所以，電路的三大定律和電阻電路的各種分析方法都可以推廣用于線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析[9]，差別僅在于所得電路方程為以相量形式表示的代數(shù)方程以及用相量形式表示的電路定理，而計算為復(fù)數(shù)計算。

4 復(fù)數(shù)分析交流電路

4.1 在加減運算中的應(yīng)用

計算復(fù)雜，容易出錯。相量法將三角函數(shù)復(fù)雜的運算過程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，避免了煩瑣的運算，提高了解題的速度[10]。

4.2 在微積分方程中的應(yīng)用

例:如圖所示電路，已知i=2 2cos5t(A),求電壓u。

（1）時域法：

解：其中，如圖1所示，各元件的電壓分別為

圖1 電路圖

時域法過程為：

（2）相量法：

令未知電壓相量為U˙。由于ω=5rad/s,根據(jù)各元件值可得：

于是可以畫出電路的相量模型，如圖2所示。由圖2可計算各元件電壓分別為：

圖2 相量圖

圖3 時域法和相量法對比

如果用時域法進行電路分析，除了涉及微積分的運算外，對于電路中的加減運算，還需應(yīng)用到積化和差公式和余弦合角公式，給分析電路和計算都帶來了困難。相量法將微積分運算巧妙地轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算，并且對于正弦交流電路中的加，減運算也起到了簡化作用[12][13]。相量法既簡便又快捷直觀準確。

4.3 用復(fù)數(shù)判斷電路的性質(zhì)

z表示電路中電壓和電流的

有效值之比，輻角θZ表示同頻電路電壓和電流的相位差；Z的實部R表示電路中的電阻大小，Z的虛部X表示電路中電抗的大小。

通過Z可以判斷電路的性質(zhì)，分為兩種情況：

當(dāng)電路中電壓和電流的初相位為已知時，可以通過求解Z的輻角θZ來判斷[15]。當(dāng)θZ=0°時，電壓和電流同相，電路呈現(xiàn)阻性；當(dāng)θZ＞0°時，電壓超前電流，電路呈現(xiàn)感性；當(dāng)θZ＜0°時，電壓滯后電流，電路呈現(xiàn)容性。

表1 通過輻角θZ判斷電路性質(zhì)

通過Z的輻角θZ判斷電路的性質(zhì)時，主要取決于電路中的元件和元件的參數(shù)，與電路中元件之間相互連接方式?jīng)]有直接關(guān)系。

當(dāng)電路中電阻、容抗、感抗等參數(shù)為已知時，通過電路的連接方式，求出Z=R+jX，若X=0,則電路呈現(xiàn)阻性；若X＞0,則電路呈現(xiàn)感性；若X＜0，則電路呈現(xiàn)容性。

5 總結(jié)

用相量法表示正弦量只是數(shù)學(xué)形式變換，但是這種變換使得電路變量的求解步驟更加清晰，求解過程更加簡單明了。對于方程的形式而言，從時域微積分方程轉(zhuǎn)換成為簡單的復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程，元器件的伏安關(guān)系也變?yōu)榱撕唵蔚拇鷶?shù)關(guān)系，更加容易理解和記憶。對于方程的求解過程而言，這些復(fù)數(shù)雖然只表示了正弦量的有效值和初相位這兩個要素，但是因為響應(yīng)和激勵同頻的性質(zhì)，所以頻率參數(shù)可以不參與電路方程運算，使得方程的計算得到了簡化。