帶落角落速約束的導彈虛擬期望落角末制導律

權申明,陳雪野,晁 濤,楊 明

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院控制與仿真中心,哈爾濱 150080)

0 引 言

導彈末制導階段存在多種約束,如視場角約束、攻擊角度約束、攻角約束等約束。脫靶量是末制導律最重要的性能指標。隨著任務需求的不斷提高,末制導階段飛行器的落速和落角精度的重要性日益凸顯。以導彈為例,其殺傷概率、突防和機動能力等性能指標均與末端角度和落速密切相關，這兩個約束如果不滿足可能會發(fā)生跳彈現(xiàn)象。目前,國內外對于末制導律的研究主要分為兩類：非最優(yōu)制導律和最優(yōu)制導律。

非最優(yōu)控制的末制導律主要采用修正比例導引,其主要手段是通過加偏置項實現(xiàn)落速的控制。在傳統(tǒng)比例導引律上增加了時變偏差,可以拓寬末端角度的可達范圍。由于過載的限制,傳統(tǒng)比例導引律存在一定的末端角度死區(qū)。Ratnoo等針對地對地任務將定向制導方案和比例導引律結合,解決了死區(qū)問題,保證了任意角度末制導打擊的可行性,同時將該方法拓展到非平穩(wěn)非機動目標制導領域。Yuri等還提出一種滿足終端角度約束的修正比例導引制導律,根據終端期望狀態(tài)修正導航比。這種方法對自適應制導律有參考意義。文獻[15]針對高超聲速飛行器提出一種自適應比例導引律,該導引律的導航比可連續(xù)閉環(huán)更新,弱化高速飛行過程中擾動的影響,從而保證高精度的期望沖擊角。

基于最優(yōu)控制理論設計出的最優(yōu)制導律具有精度高和能耗最優(yōu)的特點。文獻[17]考慮能量最優(yōu)和碰撞角約束,推導出無滯后系統(tǒng)和一階滯后系統(tǒng)狀態(tài)反饋形式的最優(yōu)制導律,其制導指令為階躍響應和斜坡響應線性組合的橫向加速度。最優(yōu)制導律的性能直接依賴于剩余時間估計的準確性,而傳統(tǒng)的剩余時間估計方法存在較大的估計誤差。針對大曲率的終端角度約束制導軌跡,文獻[18]提出一種新的剩余時間計算方法,同時得到以時間加權能量函數(shù)的最優(yōu)制導律。文獻[19]根據線性二次型調節(jié)器和線性二次型微分對策理論,提出兩種終端角度約束制導律,并對比分析兩者的性能。文獻[20]基于塊脈沖函數(shù),提出一種時變系統(tǒng)的最優(yōu)制導律設計方法,可將時變系統(tǒng)轉化為一系列時不變系統(tǒng)。Lei等將分段線性函數(shù)和最優(yōu)控制理論結合,提出平均時變系數(shù)的次最優(yōu)制導律,該方法計算簡單,占用資源少。

末制導研究大多針對脫靶量和末端角度約束,較少提及落速控制研究。落角和落速是衡量末制導打擊效果的重要指標,然而現(xiàn)有研究通常分別考慮兩個終端約束。落速控制大多通過設計期望速度高度曲線或者制導軌跡來實現(xiàn)。Xie等利用期望高度速度曲線推導出三維自適應比例導引律,并對比分析最優(yōu)制導律和自適應比例導引律控制效果。之后謝道成等針對移動目標,提出了帶終端角度和速度約束的滑模變結構導引律,提高了末制導過程的魯棒性?；谄谕俣雀叨惹€的落速控制精度易受模型精度和氣動參數(shù)攝動的影響。文獻[23-24]通過調節(jié)比例系數(shù),進行速度控制。多位學者基于凸優(yōu)化方法,進行滿足終端速度約束的軌跡優(yōu)化。文獻[28]探究了比例導引制導律與最大化落速之間的關系。文獻[29]針對不確定風況下考慮終端速度約束的無動力滑翔飛行器提出一種制導方法。此外,王榮剛等提出基于攻角和彈道傾角估計高度修正落速方法,同時設計一種變角偏差反饋系數(shù)的偏置比例導引律,提高彈道下壓能力。文獻[10]用貝塞爾曲線設計末制導參考軌跡,并通過神經網絡預測終端速度。該方法在滿足過程和終端約束條件下有良好的性能,但僅限于曲率變化有限的軌跡。Moon等設計出滿足多種約束的多項式形式參考軌跡,同時提出能有效預測終端速度的數(shù)值方法,但制導精度易受氣動參數(shù)擾動的影響,魯棒性差。

針對以上問題,本文提出一種同時滿足落角和落速約束的末制導律。首先,基于落角約束的最優(yōu)末制導律,分析其初期過載需求較大的問題。其次,設計過渡函數(shù),通過虛擬落角約束降低初期過載需求,并分析過渡函數(shù)中各參數(shù)對落速的影響。設計預測-校正算法計算滿足落速需求的參數(shù),得到考慮初始偏差及氣動參數(shù)攝動情況下的訓練樣本數(shù)據。之后利用樣本數(shù)據訓練深度神經網絡(DNN),并基于擴展卡爾曼濾波(EKF)算法在線辨識氣動參數(shù)攝動值,從而在線快速估計期望過渡函數(shù)參數(shù),最終滿足落角落速約束。本文的主要創(chuàng)新如下：

1)引入虛擬落角約束,有效降低末制導初期的過載需求；

2)設計雙層預測-校正算法,使用雙參數(shù)調節(jié)落速,拓寬了速度調節(jié)范圍；

3)提出同時考慮落角落速約束的末制導方案,使用離線訓練與在線計算結合的方式,對落角和落速進行有效控制。

本文后續(xù)內容安排如下：建立飛行器運動模型及彈-目相對運動模型；設計基于虛擬期望落角的末制導律以降低末制導初期過載需求；結合預測-校正算法、EKF算法及DNN,設計基于虛擬期望落角的帶落角落速約束末制導律；最后,進行數(shù)值仿真實驗,驗證算法的有效性。

1 模型描述

選取地面靜止目標,建立三維彈-目相對運動關系,俯沖平面相對運動如圖1所示。

圖1 俯沖平面相對運動示意圖Fig.1 Diagram of relative movement in the diving plane

圖1中面為俯沖平面；點為飛行器位置,點為目標位置；為飛行器的飛行速度,是飛行器速度在俯沖平面內的投影；是的高低角,是與彈-目連線的夾角；為與平面的夾角。圖1中存在角度關系：

=-

(1)

俯沖平面彈-目運動規(guī)律：

(2)

對式(2)兩側求導,可得俯沖平面的彈-目相對運動方程：

(3)

末制導階段飛行器的橫向機動較小,真實作戰(zhàn)場景中需要考慮飛行器的橫向運動,轉彎平面內彈-目相對運動如圖2所示。

圖2 轉彎平面相對運動示意圖Fig.2 Diagram of relative movement in the turning plane

圖2中面為轉彎平面；是飛行器速度在轉彎平面內的投影；是的方位角,是與彈-目連線的夾角；為彈-目視線與俯沖平面的夾角。圖2存在角度關系：

=-

(4)

轉彎平面彈-目運動規(guī)律：

(5)

與俯沖平面的處理方法一致,可得轉彎平面的彈-目相對運動方程：

(6)

聯(lián)立式(3)與式(6),得到彈-目相對運動方程為：

(7)

(8)

2 基于虛擬期望落角的末制導律設計

以能量為性能指標的帶落角約束的最優(yōu)末制導律,能以最少的能量損耗實現(xiàn)落角控制。

2.1 帶落角約束的最優(yōu)末制導律

帶落角約束的最優(yōu)末制導律基于最優(yōu)控制理論,在已知系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的前提下,可控制飛行器達到期望落角,同時使給定的性能指標最優(yōu)。

(9)

式(9)為設計最優(yōu)末制導律的性能指標。結合最優(yōu)控制理論,可得帶落角約束的最優(yōu)末制導律：

(10)

式中：為期望落角;是待飛時間。

2.2 虛擬期望落角的末制導律設計

為了減少末制導初期的較大過載需求,本文設計過渡函數(shù)(,,,),簡記為(·),并提出虛擬期望落角的概念：將(,,,)·視為虛擬期望落角。設計過渡函數(shù)(·)如下：

(·)=

(11)

該過渡函數(shù)具有連續(xù)可導的特點,值域為[0, 1],因此虛擬期望落角的值會隨著彈目距離的縮短而逐漸收斂至。同時由于初始段過渡函數(shù)值較小,期望落角項引起的需用過載不大,可有效減少輸出過載持續(xù)處于飽和狀態(tài)的時間。

為了對比說明引入虛擬期望落角制導律的優(yōu)勢,進行兩組仿真,結果見圖3～圖5。

圖3 三維軌跡曲線Fig.3 Three-dimensional trajectories

圖4 過渡函數(shù)對過載系數(shù)的影響Fig.4 Effect of the transition function on the overload coefficient

圖5 過渡函數(shù)對彈道傾角的影響Fig.5 Effect of the transition function on the flight path angle

通過以上仿真結果可以看出,最優(yōu)制導律在前2 s內,需用過載系數(shù)達到40,處于飽和狀態(tài),而基于虛擬期望落角的制導律在過渡函數(shù)作用下,能夠在滿足終端彈道傾角的同時,降低末制導初期的需用過載。最大過載約束為飛行器機動能力的極限狀態(tài),因此應該盡量不觸及,這種方式有效避免了初期大過載的危險飛行狀態(tài)。相比于最優(yōu)制導律,基于虛擬期望落角的制導律將過載需求平均在整個末制導階段,增加了彈體的安全性。

3 基于虛擬期望落角的帶落角落速約束末制導律

虛擬期望落角的引入,可有效降低末制導初期的過載需求。本節(jié)通過研究可調參數(shù)對落速的影響,設計預測-校正算法,對大量飛行數(shù)據進行DNN數(shù)據訓練,使用EKF進行攝動參數(shù)的估計,設計基于虛擬期望落角的帶落角落速約束末制導律。

3.1 虛擬期望落角對落速的影響分析

過渡函數(shù)中參數(shù)的選取會影響飛行器的軌跡,從而影響落速。在標稱氣動情況下,分別固定和中某一參數(shù),調節(jié)另一參數(shù),可得到落速隨參數(shù)變化曲線如圖6～圖7所示：

圖6 k1=0.95時,vf隨k2的變化曲線Fig.6 Variation of vf with different k2 when k1=0.95

圖7 k2=0.2時,vf隨k1的變化曲線Fig.7 Variation of vf with different k1 when k2=0.2

由圖6～圖7可以看出,通過調整和能夠實現(xiàn)落速的改變。當固定時,與落速成正相關關系。當固定時,和落速也存在正相關關系。對比圖6和圖7的落速范圍可知,對落速的調節(jié)能力強于。改變過渡函數(shù)的參數(shù)和,飛行器的終端速度最大可達到2400 m/s,最小可達到600 m/s。該種方式對落速有較大的調節(jié)空間。

3.2 基于虛擬期望落角的帶落角落速約束末制導律

通過合理的參數(shù)設置,可實現(xiàn)按照設定的落角、落速對目標精確打擊?，F(xiàn)有落速控制的末制導律,大多根據期望落速由末端反向積分設計一條理想的高度-速度曲線,飛行器跟蹤該條曲線從而實現(xiàn)對落速的控制。但這種方法容易受外界氣動因素和模型精度的影響。優(yōu)化類方法由于計算耗時,難以快速在線計算。本文提出的基于虛擬期望落角的帶落角落速約束末制導結構框圖如圖8所示。

圖8 末制導結構框圖Fig.8 Structure diagram of the terminal guidance

在離線計算階段,假設氣動偏差可通過在線辨識得到且精度較高。對不同的初始偏差、氣動偏差隨機組合作為離線仿真算例,使用預測-校正算法調節(jié)參數(shù)。最后將滿足落速落角約束的飛行軌跡作為訓練數(shù)據集,訓練DNN網絡。

飛行過程中進行氣動參數(shù)的在線辨識與制導律計算,將EKF的估計結果與飛行狀態(tài)作為DNN網絡輸入,得到一組可行參數(shù)和,代入虛擬期望落角制導律,并進行控制量的實時解算,不斷修正參數(shù),改變彈道形狀,最終達到期望落角落速。

具體步驟如下：

：預測-校正法獲得離線彈道樣本數(shù)據

由上節(jié)可知,和與終端速度相關,相同情況下對速度的調節(jié)能力較更強,優(yōu)先調節(jié),當達到單參數(shù)的調節(jié)極限時,可通過進行下一步的調節(jié)。

在每一個制導周期內,給定的初值,通過積分整個運動方程,可得到終端速度偏差。

(12)

(13)

從而,可得到該仿真條件下的滿足落速需求的和。

需要說明的是,大部分仿真中,落角約束均能滿足。當≈≈00時,落角約束在臨近目標點時才作用于制導律。在這極短的時間,期望落角難以實現(xiàn)。因此當過小時,可能會影響落角精度。下面將分析最小取值。

將制導律代入俯沖平面方程：

(14)

可得閉環(huán)系統(tǒng)方程：

(15)

在末制導后期,為了實現(xiàn)以固定落角打擊目標,令(·)=1,則方程變?yōu)椋?/p>

(16)

當系統(tǒng)從=0達到終端狀態(tài)時,需要時間達到峰值,假設系統(tǒng)在上升時間之后一直保持穩(wěn)態(tài),初始時刻到上升時間系統(tǒng)響應近似為正比例關系。需要說明的是,該假設中為常量,實際上會隨著飛行不斷減小,角度約束的最優(yōu)導引律的調整時間小于。

若在末制導某時刻=-50°,=-70°,那么從該時刻之后,還需上升時間為067。換言之,若系統(tǒng)可保持當前狀態(tài)值,最晚在距離打擊目標待飛時間067進行角度的調節(jié),可實現(xiàn)期望落角。結合飛行器的最大機動過載約束仿真結果,≥01時,均可實現(xiàn)落角約束。

：訓練DNN網絡

DNN是一種多層前饋神經網絡,由輸入層、多個隱層和輸出層組成,該網絡的學習過程包括向前計算和誤差反向傳播。DNN的訓練步驟為：

1)樣本獲取。通過更改初始狀態(tài)偏差、氣動攝動偏差,可得到多條終端速度達到期望值的軌跡。該軌跡上每一個制導周期下的,均能使當前氣動偏差和飛行器狀態(tài)下的飛行器的終端速度達到期望值。為實現(xiàn)基于DNN的自適應落角落速約束末制導律,將每一個制導周期的氣動偏差和飛行器狀態(tài)作為訓練DNN的輸入數(shù)據,相應的,作為訓練DNN的輸出數(shù)據。

該問題中,結合飛行器交班能力與環(huán)境影響因素,設計樣本如表1所示：

表1 初始狀態(tài)偏差和參數(shù)攝動Table 1 Initial states deviation and parameters perturbation

2)網絡訓練。使用DNN對步驟1)的飛行軌跡進行網絡訓練,每組仿真飛行時間約為30 s,每0.5 s 取一組數(shù)據。

：EKF辨識氣動偏差

真實飛行任務中,氣動參數(shù)和大氣密度的攝動均是影響飛行器性能的重要因素。準確辨識出氣動參數(shù)和大氣密度攝動量是提高制導精度的重要手段?，F(xiàn)有文獻中通常假設飛行過程中動壓可測且準確,并根據加速度信息進行氣動參數(shù)攝動的估計。本文采用EKF方法估計飛行器動力學模型中升力系數(shù)攝動d和阻力系數(shù)攝動d以及大氣密度攝動,詳細步驟可參考文獻[31]。

：在線解算控制量

由于氣動攝動、狀態(tài)偏差均為連續(xù)變化,不會發(fā)生突變,因此實際飛行中,為了提高計算效率,控制器無需在每個制導周期都進行EKF氣動攝動估計與調節(jié)參數(shù),的更新,可適當延長參數(shù)的更新周期(本文中設定為500 ms),同時可有效避免由于參數(shù)頻繁更新導致執(zhí)行機構抖振而引起飛行器失穩(wěn)。

4 數(shù)值仿真

為了驗證本文所設計制導律的有效性,使用計算機硬件平臺為Windows 10-Core i7-10510U,在Visual Studio 2010軟件下編寫數(shù)值仿真程序。

結合飛行器特性,設定期望落角為-72°,飛行器標稱初始高度為30 km,初始速度為5000 m/s,初始彈道傾角為0°,目標位于地面且靜止,初始彈目距離100 km。選取不同期望落速,分別進行預測-校正算法有效性檢驗仿真、落速調節(jié)適應性仿真、蒙特卡洛數(shù)值仿真。

4.1 預測-校正算法仿真

設定期望落速2000 m/s,通過預測-校正法求解滿足該約束的可行參數(shù),設置迭代精度為=|-|≤2 m/s。仿真結果如圖9所示(圖中表示迭代次數(shù))。

圖9 預測-校正法求解的速度變化曲線Fig.9 Speed curves solved by the predictor-corrector method

由圖9可以看出,設定為2000 m/s時,由于初始值不合理,飛行器在末制導初期飛行高度較低,減速較多。隨著飛行高度增加,氣動阻力減小后能量得以保持,經過5次迭代后,得到可行的參數(shù)值。

4.2 落速調節(jié)適應性仿真

針對不同終端期望速度進行仿真,以驗證基于虛擬期望落角末制導律調節(jié)落速的有效性,仿真結果如表2所示。

表2 預測-校正算法有效性檢驗結果Table 2 Validity results of the predictor-corrector method

圖10～圖11為預測-校正算法求得的和代入模型中得到的速度變化曲線。由表格數(shù)據可知,對于不同的落速約束,均可得到滿足期望終端狀態(tài)的可行參數(shù)值。

圖10 不同vf下速度變化曲線Fig.10 Curves of speed under different vf

圖11 不同vf下速度傾角變化曲線Fig.11 Curves of flight path angle under different vf

4.3 蒙特卡洛數(shù)值仿真

為了驗證算法的有效性,在表1中各初始狀態(tài)偏差和參數(shù)攝動范圍內,進行100組蒙特卡洛隨機仿真實驗,期望落角和落速約束與前述仿真相同。

使用文獻[30]中方法作為對比,記為“算法一”,在相同場景中進行仿真,統(tǒng)計落角落速的偏差,終端散布如圖12所示：

圖12 終端狀態(tài)偏差直方圖Fig.12 Terminal states deviation histogram

由圖12可以看出,該制導律落速控制精度優(yōu)于±15 m/s,落角控制精度優(yōu)于±0.5°,可實現(xiàn)以期望落角落速打擊地面靜止目標,滿足實際需求。對比兩種算法的統(tǒng)計結果,落角控制精度均優(yōu)于±0.5°,而算法一的落速控制精度約為±50 m/s,因此本文算法更具優(yōu)勢。

5 結 論

針對現(xiàn)有末制導律難以同時調節(jié)落角和落速的問題,本文提出了一種基于虛擬期望落角的帶落角落速約束末制導律。為了降低末制導初期過載需求,引入過渡函數(shù),設計基于虛擬期望落角的末制導律；在此基礎上,研究各參數(shù)對落速的影響,設計預測-校正算法對落速進行調節(jié)；使用EFK對氣動參數(shù)進行在線的辨識,更新制導律參數(shù)。蒙特卡洛仿真驗證了所提出的算法能夠在滿足落角約束的前提下實現(xiàn)對落速的控制,相比于其他落速調節(jié)算法具有更高的控制精度。

后續(xù)將針對不依賴于離線訓練網絡,僅通過在線快速計算便可得到合適參數(shù)的算法開展研究,使得本文算法適用性更強,開發(fā)周期更短。