階躍激勵下網架結構的動力響應擴展及其誤差分析

伍曉順，程潤輝

(江西理工大學 土木與測繪工程學院(南昌)，南昌 330013)

以網架、網殼和張力結構等為代表的大跨空間結構服役數量非常龐大[1-3]。此類結構的覆蓋面積一般較大，即便是局部破壞也容易造成嚴重后果[4]。因此，對處于服役期的大跨空間結構進行健康監測非常重要。

動力測試是結構健康監測常用的一種方法。通過采集測點位置的動力響應，動力測試為模態識別、模型修正、損傷識別等后續工作提供可用測試信息(即信噪比較大的測試信息)[5-6]。由于傳感器布設成本的限制，相比動輒成百上千的結點數量，大跨空間結構動力測試所能布設的測點數量非常有限。對于規模龐大的大跨空間結構，前述監測工作往往需要遠超測點數量的可用測試信息。囿于有限的測點數量，一般只能通過多次動力測試來滿足可用測試信息的數量需求。為了減少動力測試次數、提高動力測試效率，有必要根據少數測點的動力響應來估計其他非測點的動力響應(即動力響應擴展)，以便增加單次動力測試的可用測試信息。動力響應擴展又被稱為動力響應重構。當前研究一般采用傳遞函數[7-8]、經驗模態分解[9]、卡爾曼濾波[10]等方法來實現動力響應的擴展。研究對象大多為規模較小的梁、板、多層框架等簡單構件或結構，有關擴展誤差機理的探討也較為缺乏。

考慮到大跨空間結構規模龐大、激勵困難，文獻[11-12]提出采用階躍激勵(突卸重物)的方式來使大跨空間結構產生自由振動，并分別利用遺傳算法[11]和最小二乘法[12]來進行階躍激勵的優化。文獻[13]還結合有效獨立法與矩陣攝動法的概念，從獨特的理論視角對階躍激勵優化展開研究。相比環境激勵[14]和錘擊激勵[15]，階躍激勵具有輸入能量大和可被人為控制的優點，比較適合大跨空間結構的動力測試。因此，階躍激勵作用下大跨空間結構的動力響應擴展值得深入研究。

以考慮階躍激勵作用的網架結構為例，提出一種基于貢獻模態的動力響應擴展方法并進行誤差分析。首先，推導由階躍激勵引起的結構自由振動響應基于少數貢獻模態的線性組合表達式。其次，構造一種優選測點位置的迭代策略，以無偏估計各個時刻貢獻模態的線性組合系數(即廣義坐標)。再次，解釋動力響應擴展的誤差機理，并提出一個相關系數指標來篩選高精度非測點。最后，以某560桿的網架結構為例進行數值分析，以驗證本文方法的有效性。

1 結構的自由振動響應

假設某網架結構的桿件數為b，自由度數為n。該結構的無阻尼模態方程為

(1)

采用突卸重物產生階躍激勵的方式使結構產生自由振動[11]。對結構施加荷載p，待靜力位移穩定后同步釋放荷載，則產生的位移響應為

(2)

根據文獻[16]，無論是理想結構還是實際結構(實際結構存在隨機參數偏差)，在荷載p作用下，初始靜力位移均可以近似表達為少數貢獻模態的線性組合

(3)

式中,Ep為貢獻模態集合，其選取方法詳文獻。值得指出的是，貢獻模態來源于理想結構的模態分析，不隨實際結構隨機參數的變化而變化。因此，在相同荷載作用下，實際結構和理想結構之間的靜力位移變化主要體現在αj(j∈Ep)的變化上。

類似地，式(2)可以近似表達為

(4)

2 動力響應的擴展

為了保證動力響應擴展的精度，需要對測點位置進行優化來實現各個時刻廣義坐標的無偏估計。可以參照文獻[17]提出的面向靜力位移擴展的迭代策略進行測點位置優化。

以位移響應為例來優化測點位置。對于任意時刻t，式(4)均可采用矩陣和向量相乘的形式進行表達，即

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據上式計算所有自由度對FIM的貢獻度，對它們排序后將貢獻度最小的自由度刪除，再重新計算所保留自由度的FIM和它們的貢獻度，不斷進行迭代直到僅包含預期測點數量為止。最終保留的自由度即為最優測點。根據式(9)～式(11)，測點位置的優化僅與貢獻模態有關，因此各個時刻的最優測點均相同。

3 誤差分析與相關系數指標

一般采用信噪比指標來衡量信號被噪聲污染的程度。第i自由度(包括測點與非測點)響應的信噪比按下式計算[19]

(12)

根據式(5)，第i自由度(為非測點)在任意時刻t的擴展響應為

(13)

(14)

式中：||表示取絕對值；W為由權重系數組成的對角矩陣，W=diag([w1,w2,…,wj,…,wm])；m為貢獻模態數量。wj的取值均在0～1之間；Aj較小時，wj也相應取較小的值。設置權重系數的目的是為了增加信噪比高的廣義坐標實測時程在計算相關系數指標時的權重。

可以設定閾值Cu，當Ci≥Cu時，則認為第i自由度的擴展精度足夠大。因此，將Ci作為篩選指標，可以篩選出擴展精度較高的非測點，以增加單次動力測試的可用測試信息。

4 網架結構算例

4.1 模型參數

以某正交正放四角錐網架為例進行數值分析，如圖1所示。結構尺寸為30 m×24 m×1.5 m(長×寬×高)。結構為下弦支承，共有12個三向鉸接支座。節點和構件的數量分別為158和560，且構件只承受軸向力。構件均采用Q235B鋼管，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3，密度為7 850 kg/m3。在上弦層考慮三種標準荷載工況：(1) 0.25 kN/m2靜荷載(不含自重)；(2) 0.5 kN/m2活荷載；(3) -0.5 kN/m2風荷載。按照荷載規范[20]的規定進行工況組合和結構設計。經滿應力優化設計后，結構共包含5種截面規格：P48×3.5、P60×3.5、P75.5×3.75、P88.5×4.0和P114×4.0。結構最終配置96個直徑100 mm和62個直徑140 mm的螺栓球。

圖1 網架(節點旁數字為節點編號)Fig.1 Plan view of a spatial truss (figures near the nodes are node numbers)

在組集質量矩陣時，同時考慮靜荷載、結構自重和螺栓球質量的貢獻。經模態分析后得到結構前30階自振頻率f，并列于表1。不難發現在低階模態中存在較多的密集模態，如第7～9階模態和第10～12階模態。

表1 結構前30階自振頻率Tab.1 First 30 structural frequencies

4.2 結構激振與動力響應拾取

不妨在結點19、23、27、49、53、57、79、83、87、109、113和117同時施加10 kN的鉛錘荷載，待靜力位移穩定后突然將其同時釋放(可采用電磁鐵控制)，從而使結構發生自由振動。根據文獻[16]，取閾值γu= 0.008，并考慮低通濾波的影響，得到僅含低階模態的貢獻模態集合Ep={1,2,5,8,10,15,18}。不妨取測點數量為9(大于貢獻模態數量7)，根據式(9)～式(11)給出的迭代策略，得到最優測點位置為{31z,39z,69z,76z,79z,83z,98z,121z,129z}，其中iz表示i結點z向。

假設各階模態阻尼比均為0.02，并采用Newmark-β法生成所有自由度的動力響應時程。所布置的加速度傳感器采樣頻率為2 000 Hz，采樣持續時間為1.0 s。假設測點響應僅受高斯白噪聲污染，且信噪比均為10 dB。將隨機生成的噪聲添加至測點真實響應，得到1組含噪的測點響應樣本。基于該組樣本進行第4.2～4.5小節的分析。

在進行動力響應擴展之前，采用FIR濾波器對測點響應進行低通濾波，并作時延處理[21]。濾波器的階數取60，截止頻率取55 Hz(最高階貢獻模態的自振頻率為52 Hz)。以測點69z為例繪制加速度響應時程a，如圖2所示。

由圖2可知，濾波前后的加速度時程有所區別。除了能夠剔除高階模態的影響(圖2(a)較明顯)，低通濾波還具有一定的降噪功能(圖2(b)較明顯)。實際上，經低通濾波后，9個測點的加速度響應信噪比也從10 dB提高至12.97～20.50 dB之間。值得指出的是，后文中所述實測響應(僅測點有)和真實響應(所有自由度均有)分別指經低通濾波后的含噪響應和不含噪響應。

(a) 濾波前、后(真實信號)

4.3 動力響應的擴展結果

根據式(5)～式(8)，由9個測點的實測響應得到所有非測點的擴展響應。以非測點19z、97z為例繪制真實響應(不含噪)和擴展響應(含噪)，如圖3所示。由圖3(a)，19z處的擴展響應與真實響應偏離較大，信噪比僅為4.24，擴展精度較低；由圖3(b)，97z處的擴展響應與真實響應吻合良好，信噪比高達21.21，擴展精度較高。

(a) 非測點19z(SNR=4.24)

(a) 第1個貢獻模態(模態j=1,SNR=25.25)

(a) 幅值分布

(a) 非測點19z

實際上，非測點的擴展響應信噪比差別較大，介于-12.52～23.02 dB之間。表2列出了擴展響應信噪比超過一定下限時的非測點數量。不難發現，大約有29%(=127/438)的非測點擴展響應具有較高的擴展精度，其信噪比均超過測點響應信噪比的最小值。若能將這些非測點篩選出來，無疑將大大增加單次動力測試的可用測試信息。

表2 擴展響應信噪比超過一定下限時的非測點數量Tab.2 Quantity of non-tested locations whose expanded responses have a larger signal-to-noise ratio than a specified lower bound

4.4 動力響應的擴展誤差

根據式(13)，任意自由度的響應也可被視作廣義坐標實測時程的線性組合，組合系數為相應貢獻模態的振型位移值。因此，非測點動力響應的擴展精度由廣義坐標實測時程的信噪比和貢獻模態在該處的振型位移分布共同決定。當信噪比大的廣義坐標實測時程占優時，該自由度的擴展響應信噪比就較大，擴展精度較高；反之，當信噪比小的廣義坐標實測時程占優時，該自由度的擴展響應信噪比就較小，擴展精度較低。以圖3采用的非測點19z和97z為例，貢獻模態在這兩個自由度的振型位移分布(取絕對值)如圖6所示。對于19z，第2、4、6個貢獻模態(分別對應模態2、8、15)的振型位移值相對較大，由于相應的廣義坐標實測時程信噪比較小，因此該處擴展響應的信噪比也較小。對于97z，第2、4、6個貢獻模態的振型位移值卻相對較小，因此該處擴展響應的信噪比較大。

對于每次動力測試，廣義坐標實測時程的信噪比是固定的，但貢獻模態在每個非測點的振型位移分布卻不盡相同。這使得非測點一般具有不同的信噪比，從而表現出如表2所示差別較大的擴展精度。

4.5 高精度非測點的篩選

在現場測試中，無論是測點的實測響應還是非測點的擴展響應，信噪比均無法計算。這意味著無法直接采用信噪比指標來篩選那些擴展精度較高的非測點(簡稱高精度非測點)。因此，改用相關系數指標(式(14))來開展高精度非測點的篩選工作。

設定三個不同的權重矩陣：(1)W1=diag([1,1,1,1,1,1,1])；(2)W2=diag([1,0.5,1,0.5,1,0.5,1])；(3)W3=diag([1,0.1,1,0.1,1,0.1,1])。W2和W3將幅值較小的第2、4、6個貢獻模態(分別為模態2、8、15)對應的權重系數設定為較小值。根據設定的權重矩陣，由式(14)分別計算每個非測點的相關系數指標Ci。

當采用不同的閾值Cu時，將篩選出不同數量的非測點，篩選結果列于表3。表中數據格式為“篩選出的非測點數量；相應擴展響應的信噪比變化范圍”。對任一權重矩陣，當閾值增加時，篩選出的非測點數量將減少、信噪比下限將保持不變或提高。不妨將擴展響應信噪比高于測點響應最小信噪比的非測點定義為高精度非測點。不難發現，通過設定較高的閾值，可以篩選出較多的高精度非測點。比如，對于W1，當Cu=0.75時，可以挑選出48個高精度非測點；對于W2和W3，閾值分別取0.70和0.65時，可以分別挑選出54和58個高精度非測點。這說明較大的相關系數指標值能夠可靠地指示非測點擴展響應的信噪比。盡管只能篩選出一部分高精度非測點(全部為127個)，但它們的數量遠遠超過測點數量(9個)。

表3 基于相關系數指標的非測點篩選結果(1組樣本)Tab.3 Selection results of non-tested locations by correlation coefficient index (one set of samples)

值得指出的是，通過降低幅值較小(即信噪比較小)的那些廣義坐標實測時程的權重(如選擇W2和W3)，有利于篩選出更多的高精度非測點，但能篩選出高精度非測點的閾值將會減小。

4.6 隨機噪聲對非測點篩選的影響

采用蒙特卡洛法來考察隨機噪聲對基于相關系數指標的非測點篩選方法的影響。假設實測響應的污染程度均為10 dB，并生成5 000組實測響應樣本。參照第4.2～4.5小節的流程，對每組樣本：先進行動力響應擴展；再計算相關系數指標，并設定不同閾值來篩選非測點；最后得到篩選出的非測點數量s、相應擴展響應的最小信噪比SNRmin和最大信噪比SNRmax，并比較SNRmin與實測響應最小信噪比的大小。基于所有樣本，統計s、SNRmin和SNRmax的變化范圍，并計算SNRmin超過實測響應最小信噪比的概率Ps。統計結果列于表4。

表4 基于相關系數指標的非測點篩選統計結果(5 000組樣本)Tab.4 Statistical selection results of non-tested locations by correlation coefficient index (5 000 sets of samples)

由表4可知，對于某一權重矩陣和特定閾值，s、SNRmin和SNRmax均有一定的變化范圍，這說明隨機噪聲對擴展響應的信噪比和非測點的篩選結果有較大影響。通過設定較高的閾值(比如對W1、W2和W3分別取0.80、0.75和0.70)，可以使SNRmin具有較大的下限，且100%超過實測響應的最小信噪比，從而使篩選出的擴展響應成為高精度可用測試信息。此時，篩選出的高精度非測點數量約為測點數量(9個)的3.5倍～5倍，這將大大增加單次動力測試的可用測試信息，使結構動力測試的效率得到大幅提升。從統計意義上分析，降低幅值較小(即信噪比較小)的那些廣義坐標實測時程的權重(如W2和W3)，有利于篩選出更多的高精度非測點。

上述蒙特卡洛分析表明，合理設定權重矩陣和指標閾值(本算例建議分別取W3與0.70)，可以可靠地篩選出較多數量的高精度非測點，從而大幅增加單次動力測試的可用測試信息。對于傳統方法，單次動力測試只能利用少數測點提供的實測響應，但本文方法還可以額外利用較多非測點提供的擴展響應。在可用測試信息需求量(=單次動力測試得到的可用測試信息數量×動力測試次數)很大時，本文方法所需要的動力測試次數遠小于傳統方法。可見，本文方法對于提高較大規模網架結構的動力測試效率具有一定的指導意義。

5 結 論

為了增加單次動力測試的可用測試信息，提出一種考慮階躍激勵作用的網架結構動力響應擴展方法。主要結論如下：

(1) 在階躍激勵作用下，結構的自由振動響應在任意時刻均可近似表達為少數貢獻模態的線性組合。動力響應的擴展問題也就轉化為各個時刻貢獻模態組合系數(即廣義坐標)的測量問題。由于貢獻模態一般較少，因此僅需少量測點便可實現全自由度的動力響應擴展。但是，非測點動力響應的擴展精度差別較大，需要經過篩選才能用于模態識別、模型修正和損傷識別等監測工作。

(2) 任意自由度在任意時刻的動力響應也可被視作廣義坐標的線性組合，組合系數為相應貢獻模態的振型位移值。非測點動力響應的擴展精度也就由廣義坐標實測時程的信噪比和貢獻模態在非測點的振型位移分布共同決定。在某次動力測試中，廣義坐標實測時程的信噪比是固定的，但貢獻模態在各個非測點的振型位移分布卻不盡相同，這使得非測點動力響應的擴展精度具有較大差別。

(3) 分析表明，廣義坐標實測時程的信噪比往往隨幅值增大而增大。當廣義坐標實測時程的幅值分布與貢獻模態的振型位移分布較為一致時，將得到擴展精度較高的非測點擴展響應。因此，提出一種帶權重的相關系數指標來衡量這種一致性，并代替信噪比指標來篩選高精度非測點。算例表明，通過降低較小幅值廣義坐標實測時程的權重并設定較大的閾值，可以篩選出較多數量的高精度非測點。

應當指出，貢獻模態權重矩陣和相關系數指標閾值的合理設置是本文方法在實際工程應用中的瓶頸。盡管如此，本文方法為高效滿足網架結構(以及其他類型空間結構)對可用測試信息的龐大需求提供了一種新的解決思路，也為后續研究提供有益參考。