巧用轉化思想 解答數學難題

林亞額

(福建省石獅市華僑中學 362700)

轉化思想是初中數學中的一種重要思想.在轉化思想的指引下可使得看似難以下手的問題順利的得以突破.授課中應充分認識到轉化思想的重要性，做好轉化思想的灌輸以及應用示范.

1 一般與特殊的轉化

一般與特殊的轉化是指在考慮問題時將一般的情境特殊化，更加方便的尋找相關角度，線段之間的關系，以達到快速求解問題的目的.如解題中的特殊值法、特殊位置法均是該轉化方法的具體體現.教學中為使得學生準確的找到特殊值、特殊位置，提高解題效率，應結合學生所學，做好經典例題的剖析.

例1如圖1，正方形ABCD的邊長為1，在對角線BD上存在一點E，且BE=BC，P為CE上任意一點，且滿足PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值為( ).

圖1

解析該題為動點問題，采用常規思路解題的難度較大.由“P為CE上任意一點”，可將P點的位置特殊化，即取P點為EC的中點，問題便很快突破.授課中可為學生講解以下突破思路：

2 局部與整體的轉化

局部與整體的轉化可使得看似較為復雜的式子變得較為簡單，有效的降低計算的復雜度.其中整體代換、換元法是初中數學解題中常用的局部與整體轉化方法.教學中為使學生體會、掌握該轉化方法，既要注重例題的講解，又要組織其進行專題訓練.如可要求學生結合所學解答以下習題：

例2若x-2y-2=0，x2-4y2+4m=0(0

解析該題涉及三個參數，看似難度較大.事實上通過局部與整體的轉化，不難求解.解答該題要求學生先認真觀察要求解的問題，通過對要求解的問題進行整理，構建與已知條件的聯系，而后通過局部向整體的轉化求解.

∵x-2y-2=0，∴x-2y=2①，

又∵x2-4y2+4m=0，∴4m=4y2-x2=(2y+x)(2y-x)=-2(2y+x)，∴x+2y=-2m②，

2mx-x2-4my-4y2-4xy=(2mx-4my)-(x2+4xy+4y2)=2m(x-2y)-(x+2y)2，

將①②整體代入，原式=4m-4m2=-(2m-1)2+1，又∵0

3 數與形的轉化

數與形之間有著密切的聯系，之間的轉化能有效的突破相關數學難題.教學中為使學生積累豐富的數與形轉化經驗，提高其在解題中的應用靈活性，應注重講解數與形轉化的思路，如繪制圖形、建立坐標系等都均屬于數與形轉化的范疇.同時，做好相關例題的篩選，提高教學的針對性，使學生在聽課中進一步深化對數與形轉化的認識與理解.

例3如圖2，坐標軸上存在A、B、C三點，其中AO=BO=CO=1，過點A、O、C作圓D，其中E是圓D上任意一點，連接CE，BE，則CE2+BE2的最大值為( ).

圖2

解析解答該題應注重挖掘隱含條件，該題涉及到坐標系，實際上暗示運用數與形的轉化進行求解.解答時應借助點的坐標，運用數與形的轉化尋找相關參數之間的內在關系，以達到順利突破的目的.

根據題意可設E點的坐標為(m，n)，則根據題意可得B、C的坐標分別為(-1，0)、(1，0)，使用坐標不難表示出CE2+BE2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2.又∵m2+n2表示點E到原點距離的平方，因此，當其最大時點E距離原點最遠，又∵點E在圓D上，因此，滿足題意的點E為OD連線和圓D的交點.∵AO=OC=1，∴∠DOC=45°，∵此時OE為圓D的直徑，∴OC=CE=1，即m=n=1，∴CE2+BE2的最大值為2×2+2=6，選擇C項.

4 方程與函數的轉化

方程與函數緊密聯系，兩者間的轉化是初中數學的熱門考點.教學中應注重引導學生將一次方程和一次函數、二次方程和二次函數對應起來，為實現兩者之間的靈活轉化做好鋪墊.同時，圍繞學生的現有知識儲備以及教學的重點知識，創設新穎的問題情境，鼓勵學生在課堂上討論、解答.

解析問題要求三次方程根的取值范圍，看似無從下手，但從已知條件中可獲得啟發.通過認真審題，吃透題意，不難找到解題思路，即，將要求解的方程進行整理、轉化成函數圖象的交點問題.

5 陌生與熟悉的轉化

在初中數學學習中，通常是從陌生、淺顯的了解逐漸熟悉和深入，是一個循序漸進的過程，幫助學生解答難題，利用轉化思想，將陌生題目轉化為熟悉題目，降低解題難度系數，完成數學難題解答.

再如，已知a是方程x2+x-1=0的一個根，則代數式a3+2a2+2018=( ).對于此題，學生都知道a2+a-1=0難以轉化，并不知道如何求解.在解題中，其關鍵就是對已知條件和問題進行轉化、變形.在解題中，讓學生對已知條件進行觀察，構建已知條件和問題解答的聯系.根據已知可以得出a2+a-1=0，所以a2+a=1，因此，a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a(a2+a)+a2+2018，從而得出a+a2+2018，求解得出答案是2019.

6 抽象與具體的轉化

在初中數學解題中，針對一些困難問題，引導學生利用轉化思想，將抽象問題具體化轉化，激發學生聯想能力，將數學難題一一拆解，理解題目意思，分析條件關系和解題思路，正確解答數學難題.

例5已知，如圖3所示，在△ABC中，AD=DB，DF和AC相交，交點是E，和BC延長線交于點F，求證：AE·CF=EC·BF.

圖3

解析在幾何問題解答中，求證兩條線段積等于另外兩條線段積，題目較為抽象，引導學生利用轉化思想，做出相應的輔助線，將圖形具體化轉化，轉變成學生常見的圖形，找出正確的解題思路.在解題中，先讓學觀察圖形，找出存在的相似三角形，利用相似三角形的性質解題，之后，讓學生畫出輔助線，使得圖像更加形象具體，在DE上找出點G，使得CG∥AB，將圖形轉化成相似三角形，利用相似三角形性質證明.在初中數學解題中，對于有些抽象的數學難題，引導學生創新解題方式，利用轉化思想進行圖象轉化，使得題目更加具體、直觀，明確問題解題思路，提高學生解題能力.

轉化思想在初中數學解題中有著廣泛的應用，該思想本身并不難理解，但要想靈活應用于解題中，不僅需要學生認真聽講，牢固掌握相關的理論，把握轉化思想的精髓，而且需要引導學生做好專題訓練以及該思想在解題中的應用反思、總結，把握不同題型的轉化思路，在以后的解題中少走彎路，迅速破題.