巧妙轉(zhuǎn)化 解答數(shù)學(xué)難題

易自瑩

(福建省福州第十八中學(xué) 350025)

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的重要部分，在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛.轉(zhuǎn)化思想從本質(zhì)上來說是問題解決方式的轉(zhuǎn)化，對問題進(jìn)行分析，采取相似或者相近的方式解答.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)課堂教學(xué)實(shí)際情況，對復(fù)雜、抽象、困難的問題進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，使得問題變得簡單、明顯，深入題目分析，有效解答數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生解題效率.

1 結(jié)合題目特點(diǎn)，未知轉(zhuǎn)化已知

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將出現(xiàn)的新問題轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)來解決是非常重要的思想方法，在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題中，采取一般的解題方式解題比較困難，不能夠很快找到解題思路，因此，教師需要對題目進(jìn)行分析，結(jié)合其特點(diǎn)引入轉(zhuǎn)化思想，利用換元思想或特殊化，尋找相應(yīng)的已有知識(shí)，找到解決問題的途徑.

例1拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P.已知點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)P(0，-p)，直線y=x+m與拋物線交于P，N兩點(diǎn)，拋物線的對稱軸為直線x=1，且OA≤OP≤OB.

①求p，a所滿足的數(shù)量關(guān)系式；②求線段PN長度的取值范圍.

在初中數(shù)學(xué)難題解答中，特殊轉(zhuǎn)化方式是常見的方式，特別是選擇題以及填空題中，巧妙利用特殊轉(zhuǎn)化法，能使得難題解答更加快速簡單，保證解題效率.

2 改變常規(guī)方式，直接轉(zhuǎn)化間接

初中數(shù)學(xué)解題中，通常采取正面解題方式，就是所說的正向思維或順向思維.但是，在實(shí)際的解題中，一些問題采取正向方式解題較為困難，難以突破.此時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維解題，打破常規(guī)解題思路，從問題反面或者找一個(gè)中間力量入手，尋找題目突破點(diǎn)，明確問題解題思路，輕松解答問題.

例2假設(shè)下述三個(gè)二次方程x2+4mx+4m2+2m+3=0、x2+(2m+1)x+m2=0，(m-1)x2+2mx+m-1=0,至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求m的取值范圍.

在初中數(shù)學(xué)解題中，利用反證法是逆向思維的重要方面，從正面或者常規(guī)方式無法解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)改變定式思維的影響，利用圍魏救趙的方式進(jìn)行思考，將直接向間接轉(zhuǎn)化，順向轉(zhuǎn)變?yōu)槟嫦颍鞔_問題解題思路，完成問題的有效解答.

3 動(dòng)與靜融合，復(fù)雜轉(zhuǎn)化簡單

動(dòng)靜是矛盾的雙方，相互存在和彌補(bǔ)，在某種情況下，動(dòng)與靜能夠相互轉(zhuǎn)化.初中數(shù)學(xué)解題中，特別是動(dòng)點(diǎn)問題，可以采取動(dòng)靜結(jié)合的方式，將動(dòng)與靜相互轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確把握問題本質(zhì)，找出問題解答突破點(diǎn)，將復(fù)雜問題簡單化，完成難題解答.因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析，注重動(dòng)與靜的結(jié)合，有效解答數(shù)學(xué)問題.

圖1

在某些數(shù)學(xué)難題解答中，借助動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化，將問題化繁為簡，可降低題目難度.作為初中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用動(dòng)靜結(jié)合思想，化動(dòng)為靜，使得數(shù)學(xué)問題巧妙解答.

4 強(qiáng)化課堂指導(dǎo)，抽象轉(zhuǎn)化具體

對于初中學(xué)生來說，抽象思維能力不足，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不夠穩(wěn)固，對于抽象數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容難以理解和記憶.因此，作為初中教師，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)課堂指導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生轉(zhuǎn)化意識(shí)培養(yǎng)，將抽象轉(zhuǎn)化為具體.數(shù)形結(jié)合是其典型的方式，將抽象內(nèi)容使用具體圖形展示，鼓勵(lì)學(xué)生利用直觀圖形解題，尋找解題關(guān)鍵點(diǎn)，提高學(xué)生解題效率和質(zhì)量.

例4若關(guān)于x的方程|x2-3x|=m有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值或取值范圍.

初中數(shù)學(xué)難題解答中，利用數(shù)形結(jié)合的方式，可實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容具體化轉(zhuǎn)化，對題目進(jìn)行分析和解答，完成數(shù)學(xué)題目解答，提高學(xué)生解題效率.

5 尋找關(guān)鍵信息，復(fù)雜轉(zhuǎn)化簡單

在轉(zhuǎn)化思想中，化繁為簡是最為基本和重要的手段之一，在此種數(shù)學(xué)思想中，要求學(xué)生面對復(fù)雜問題時(shí)，不能夠逃避和跳過，應(yīng)當(dāng)保持積極的學(xué)習(xí)態(tài)度，直接面對困難問題，對題目中的關(guān)鍵信息進(jìn)行選取，分析復(fù)雜問題中的隱藏規(guī)律，并且將其復(fù)雜部分作出簡化處理.在轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)做好審題，注重題目中的細(xì)節(jié)，深層次的思考，從局部向整體思考，完成題目解答.

例5某學(xué)生使用兩個(gè)木棍擺等腰三角形，一根木棍長度是5cm，另一根的長度是11cm，還需要多長的木棍才可以擺成等腰三角形？

解析對于此種類型的題目，需要對題目思路進(jìn)行分析，要求使用三根木棍組成等腰三角形，需要對等腰三角形做出分析，從題目中可以得知，如果選擇5cm的作為腰，那么三根木棍的長度分別是5、5、11，這三根木棍無法擺成三角形.通過思考可以得出，想要擺出等腰三角形，需要將11cm的木棍作為腰，因此，第三根木棍應(yīng)當(dāng)選擇11cm的.

6 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

初中階段解決實(shí)際問題的題型，越來越貼近生活，看似簡單，但對學(xué)生卻存在新的困難——審題不清，抓不住問題的實(shí)質(zhì)，不知道從何下手.“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)思維中的一種思考方式，就好像語文中的比喻句一樣，把比較抽象、難理解、條件繁多且零亂的數(shù)學(xué)問題，通過改變它的描述語言，將現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題，達(dá)到讓學(xué)生理解的目的.

例6交通運(yùn)輸部在國新辦“加快建設(shè)交通強(qiáng)國，推動(dòng)交通運(yùn)輸行業(yè)高質(zhì)量發(fā)展”新聞發(fā)布會(huì)上表示，預(yù)計(jì)到2021年底，全國鐵路營業(yè)總里程將達(dá)到14.6萬公里，覆蓋大約99%的20萬人口及以上的城市.其中，高鐵(含城際鐵路)大約3.9萬公里.現(xiàn)在，在一條東西向的雙軌鐵路上相向駛來一輛復(fù)興號高速列車AB和一輛普快列車CD，兩列火車正行駛在途中的某一時(shí)刻，如圖2，以兩車之間的某點(diǎn)O為原點(diǎn)，向右為正方向，1米為一個(gè)單位長度畫數(shù)軸，此時(shí)復(fù)興號高速列車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a，普快列車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是c，且數(shù)a，c滿足|a+1000|+(c-1600)2=0，已知該復(fù)興號高速列車長為200米，速度為100米/秒，普快列車長為400米，速度為50米/秒．

圖2

(1)求此時(shí)刻復(fù)興號高速列車頭A與普快列車尾D之間相距多少米？

(2)從此時(shí)刻開始算起，問再行駛多少秒兩列火車頭相距800米？

解析這樣的實(shí)際問題看上去條件復(fù)雜，而且運(yùn)動(dòng)型問題讓很多學(xué)生望而卻步，實(shí)際上我們只要把列車頭與列車尾轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，列車的長度轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，再根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)可以用含有時(shí)間t的式子表示，利用數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離公式，就可以把這個(gè)實(shí)際問題順利轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的計(jì)算以及方程的思想來解決.這樣的解題方式不僅能化繁為簡，還不容易遺漏答案.

初中數(shù)學(xué)難題解答中，轉(zhuǎn)化思想是重要的方式，引入轉(zhuǎn)化思想將問題化繁為簡，將抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體，是一種常見的數(shù)學(xué)解題思想.轉(zhuǎn)化是學(xué)生數(shù)學(xué)難題突破的重要“武器”，作為教師，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)課堂引導(dǎo)，讓學(xué)生重視轉(zhuǎn)化思想，準(zhǔn)確把握轉(zhuǎn)化思想方式，拓展學(xué)生解題思路，強(qiáng)化學(xué)生思維靈活性，引導(dǎo)學(xué)生不斷創(chuàng)新，強(qiáng)化學(xué)生解題能力，提高學(xué)生解題效率和質(zhì)量.