如何在數學解題中有效利用逆向思維方式

扈學慧

(山東省東營市墾利區教育科學研究中心 257500)

逆向思維主要是指從反面提出問題，對問題分析、解決.它是與正向思維相對應的一種創造性思維方式，習慣于對司空見慣、已成定論的事物和觀點進行反向思考.主要追求“反其道而行之”，站在事物的對立面進行思考，創造一種耳目一新的想法，能夠產生影響力非常大的效果.逆向思維用于初中數學解題教學中，可以活躍學生的思維，反向思考，培養學生辯證思考問題的能力，有效避免學生在解題過程中的一根筋，對于提高學生的學習水平，終身發展具有重要意義.

1 逆向思維在數學解題中的應用

1.1 逆向思維在“三角形”相關問題求解中的應用

采用常規思維解題，由于受個人經驗或者習慣的束縛，思想觀念會長時期停留在以往思想觀念的基礎上，進步和新發展都很難得到實現，同時還有些問題未得到及時有效的解決，甚至根本無法解決.而逆向思維可以打破傳統觀念的束縛，產生從未有過的思想觀念，找到從未用過的解決方式.常規思維在解題過程中無法通過已知條件得到最終的答案.而逆向思維的使用則可以從結論入手反推，獲取意料之外的結果.

例如，已知兩個三角形兩邊與一個角對應相等，那么可以說這兩個三角形是全等三角形嗎？請證明你的結論.此題考查的核心就是學生是否了解三角形的全等條件.對于常規的解題思路是通過利用邊邊角的公式來證明兩個三角形全等，但是題干中所給出的已知條件無法證明兩條邊的夾角相等，逆向思維的應用只需要證明此角不是兩條邊的夾角即可，這個時候就可以直接證明此三角形并不是全等三角形.發現這種解題方式可以在無形中考核學生對公式定理的掌握程度，考驗學生解題時審題的認真程度.反之，一味地選擇正向思維解題，很有可能出現解題答案錯誤的現象.

1.2 逆向思維在一元一次不等式中的應用

1.3 逆向思維在幾何題型中的應用

在初中數學幾何題教學中，通常教師會讓學生從題干中找出已知條件進行解答.這雖然可以適用于大部分的幾何題型中，但是解題過程中，學生仍然會遇到各種困難，他們無法根據題干中的已知條件推出正確的答案.這個時候教師可以引導學生從結論出發，思考得出結論的必要條件有哪些，在不斷推理和探索中可以找到正確解題思路，證明結論.

1.4 在解題過程中運用反證法——培養學生的逆向思維

應用反證法對學生進行教學，引導學生在論證的過程中通過與其相反的角度進行思考，減少學習難度，提升答題速度與準確性.例如，初中數學教師在對學生進行《定義與命題》這一課程內容時，要求學生對命題的真假性進行判斷，教師可通過采用反證法引導學生充分思考命題的對立面，從而快速解答.

例如在判斷命題 “在三角形中，至少有一個角大于60°”的真假的過程中，教師要站在學生的角度與思維能力思考問題.學生在面對此命題時，在熟讀命題后，學生會考慮題中“至少有一個角大于”，至少有一個就是大于等于一個，也可能是兩個、三個、四個等，在充分思考的過程中具有一定的難度.對此，教師通過采用反證法進行解題.主要以命題的最終結論為基礎，與至少有一個相反的思路則是一個都沒有，那么需要對此命題進行轉變，將此命題設立為：“在一個三角形中任何一個角都不在60°以上”如果此命題為正確的，那么原命題則可判定為假命題，相反若此命題判定為假命題，而原命題為真命題.通過反證法對相關題目進行判斷時，能夠使學生有清晰的思路對問題進行明確，不僅能夠降低學生在思考與學習過程中的難度，還能夠更好的促進學生逆向思維的發展.

2 培養學生數學逆向思維能力的有效措施

2.1 掌握數學概念

初中教學中，學生會學習到很多公式，要求學生牢記并合理使用.如果采用死記硬背的方式記憶公式，不僅會減少學生學習的積極性，降低學習效率，也會因為公式結構相似出現記混的現象.這時教師則需要采用不同的記憶方式來發散學生的思維，實現公式記憶的靈活性，在此基礎上再利用逆向思維幫助學生掌握數學公式.例如：學習相似三角形課程時會涉及到對應角相同大小，相對的邊成比例.教師對概念分析之后，給學生提出問題：已知目前有兩個相似的三角形，左邊三邊的長度分別為2cm、3cm、4cm，右邊其中一個邊長為6cm，通過已知的條件可以得出另外兩個邊的長度，這種逆向思維方式的訓練，可以從已知中得出兩個三角形的關系是相似三角形，而邊長又存在一定的比例關系，所以可以分析出多種答案，對提高學生知識點的印象具有促進作用.逆向思維的使用能夠給人一種振奮的效果，有助于促進學生學習.

2.2 關注解題過程

數學教學過程中解題過程與答案同樣重要，教師講解解題思路的時候，可以將逆向思維的解題方式慢慢的滲入其中.學生在解題時面對較長的題目就會感覺到煩躁，不知道應該從哪里入手，這個時候教師就需要教會學生從文字中提煉出關鍵性的字眼，通過逆向思維的方式，可以轉換問題思考的方向，站在另一個角度上去思考問題，能夠幫助學生思維能力得到有效的提升.例如：學習一元二次方程時，難點在于如何正確求根，解題思路：教師鼓勵學生站在多個角度上去看待問題，在解答題目 “已知m2-3m+1=0與n2-3n+1=0，試求出m2+n2的值” 時.正常的思維解題方式都是先將未知數求出，但是利用逆向思維后，可以將兩個方程結合在一起同時計算，得出正確結果的速度會比正向思維的速度快.

2.3 借助專項練習，使學生掌握逆向思維能力

實踐是檢驗真理的唯一標準，學生如果僅僅是認識逆向思維，不實際應用逆向思維解決問題，則會使這些方式停留在理解的層面，無法促使學生真正地心中有數.所以很多教師在傳授多種逆向思維方式的時候都是在恰當的時候加速進行，讓學生在掌握逆向思維后，瞬時應用在具體的解題中，開展專項訓練，能夠有效決定數學教學目標的落實程度，幫助學生合理利用逆向思維方式，擴寬學生的思路，對培養學生的多向思維能力具有促進作用.專項訓練的時候，教師需要注意一個重要問題，題目不要設置太多，可以將正常思維與逆向思維結合，因為大量的題海練習會使學生習慣于選擇逆向思維解題，久而久之就會產生逆向思維定勢，而有些題目正向思維解答更簡單，逆向思維更復雜.

綜上所述，逆向思維在初中數學解題教學中應用廣泛，涉及的知識和題目類型也非常廣泛，學生在解答難度系數較高的題目時，通過合理利用逆向思維可以幫助學生化難為易，提高學生解題的速度和正確率，達到事半功倍的效果.所以日常解題教學中，要積極采取有效的措施培養學生的逆向思維能力，如傳授逆向思維解題方法，開展專項題目訓練，從而增強學生思維的活躍性，引導學生從“要我學”轉變成“我要學”，促使學生逐步剔除一味用正向思維解題，要學會用反向思維去思考，解決問題，不斷提升自己的逆向思維能力.盡管逆向思維是創新思維的一種形式，但不可濫用，需要遵循反常合道、明確目的性的原則，否則不僅不會實現創新，還會產生不良后果.