突顯數形結合思想 架構章節拓展專題
——以“一次函數與平行四邊形”為例

何 銘

(廣東省廣州天省實驗學校 510650)

筆者在廣州市天河區的教研活動中進行了一節公開課，課題為“一次函數與平行四邊形”，是 “一次函數”章節的拓展專題課.經歷了備課、磨課、上課及課后交流討論，在函數與幾何的數形結合思想方法方面、章節拓展專題內容設置方面都受益良多.

1 教學背景及目標分析

課題“一次函數與平行四邊形”可探討的內容很多，如：一次函數中平行四邊形的存在性問題、一次函數與平行四邊形的面積問題或者是其他一次函數與平行四邊形的綜合題.

學生剛完成“一次函數”的新課學習，初步接觸函數與幾何的綜合題.而且當前一次函數與幾何圖形的綜合題中涉及的技巧、方法和思想對日后解題都是適用的，學生需要的是函數與幾何中數形結合的方法和思想.

2 教學重點

在坐標系中用代數符號語言表達圖形位置關系、數量關系的方法及用幾何性質求解代數問題的方法，也就是以數助形、以形助數的數形結合方法.

3 教學目標

(1)會在坐標系中表示線段的等量關系、平行關系，會通過圖形性質求點的坐標；

(2)通過問題解法的探討過程，體會用代數符號語言表達圖形位置關系、數量關系的方法，用圖形性質求解代數問題的方法；

(3)感受數形結合的數學思想.

4 教學難點

掌握在坐標系中用代數符號語言表達圖形位置關系、數量關系的方法及用幾何性質求解代數問題的方法，教師在教學過程中要幫助學生實現這兩個維度上的轉化.

綜上所述，本課的定位是函數與幾何綜合運用的開篇課程，是解決各類函數綜合題的基礎.教師應幫助學生了解數形結合的方法、轉換思考問題的角度，通過函數與幾何的聯系幫助學生提升認知結構，為日后處理更復雜的函數綜合題積累經驗、方法、思想.

5 教學過程設計

5.1 基礎知識

引入1：兩點間的距離：A(2,3)、B(-1,-1)，則AB=.

引入2：坐標系中直線的平行關系:

(1)A(3,2)、B(3,-2)，則AB平行于y軸；

(2)C(-1,-1)、D(4,-1)，則CD平行于x軸；

(3)直線l1:y=k1x+b1(k1≠0)與直線l2:y=k2x+b2(k2≠0)，當滿足什么條件時，l1與l2互相平行.

活動1：學生在學案上完成問題1、問題2.

問題1：有些同學在學案上畫了圖，得到的答案是什么？

問題2：有些同學沒有畫圖就得到了正確答案，是根據什么得出答案？

【設計意圖】作為本課的引入環節，以從點的坐標、直線解析式得到線段數量關系和直線位置關系的問題為切入點，復習坐標系中數形結合的重要工具,另外在學案上附圖，讓學生在畫圖中感受數與形的對應和轉化.

5.2 例題探討

例1如圖1，已知直線AB:y=2x+6分別交x軸、y軸于點A(-3,0)、B(0,6)，點P(-2,m)是直線AB上的點.

圖1

(1)直接寫出點P的坐標；

(2)直線CD:y=2x+n交x軸于點C(-1,0)，交y軸于點D.證明：四邊形ACDP是平行四邊形；

(3)在(2)的條件下，直線AB上有一點Q，使得四邊形ADCQ是平行四邊形，求Q的坐標.

思考①：判定平行四邊形有哪幾種方法？

思考②：這些方法中的幾何關系在坐標系中如何通過代數語言表示？

思考③：如何畫出點Q？點Q的位置要滿足哪些條件？如何求點Q的坐標？

活動2：集體討論求出點P坐標、直線CD解析式以及點D坐標.

問題3：如何求出點P的坐標？

問題4：要證明四邊形ACDP是平行四邊形，已經知道A、C、P的坐標，還要求點D坐標，求點D坐標要先求出什么？如何求直線CD解析式？

【設計意圖】題目出現的點、線較多，對剛學一次函數的學生而言圖形不簡單，此時由老師帶著學生讀題有助于學生理解題意，并直接明了地解決點P坐標、直線CD解析式以及點D坐標.第(2)問中需要用到以上內容，由老師帶著解決問題，能更直接進入到第(2)、(3)問中本課的重點內容.

活動3：學生進行思考①，回顧平行四邊形的判定方法.

問題5：已經知道四個點的坐標了，我們要判定四邊形ACDP是平行四邊形，先看思考①，判定平行四邊形有哪幾種方法？

【設計意圖】設計了問題串來引導學生逐步分化題目解決問題，先進行思考①可以讓學生回顧平行四邊形的5種判定方法，也讓之后的解題和小組討論有了方向.

問題6：平行四邊形的判定，以前是在幾何題里面處理線段相等、直線平行、角相等的幾何關系，在坐標系中與函數結合在一起，如何用坐標系的語言來表達幾何關系？

活動4：學生進行思考②，小組討論把5種判定都表示出來.

經過討論后，小組代表展示結果，不同小組補充其他方法.

問題7：不同的方法是用了不同的工具，以不同的角度看待問題，都值得學習.這些方法有的簡單有的復雜，哪些比較復雜？為什么會復雜？

【設計意圖】設計思考②引導學生轉換視角，用代數語言去表達幾何關系.通過小組討論集思廣益，在全班討論及展示不同幾何關系在坐標系中的表示方法，以及相同幾何關系在坐標系中不同的表示方法.這個環節能達到本課的重要目的：開拓學生視野，多角度了解函數與幾何綜合題可以用到的工具、方法，之后遇到類似問題時可以舉一反三.

教師總結第(2)問的特點是以數助形：在坐標系根據點的坐標特征和兩點間距離得到直線位置關系和線段數量關系進而得到圖形性質.

問題8：第(2)問已有4個點證明圖形是平行四邊形，第(3)問要找出第4個點，使得它是平行四邊形.怎么畫出點Q？它受哪些條件限制？之后根據什么求出坐標？

活動5：學生在圖中畫出點Q，進行思考③，并小組討論交流不同的方法.

在討論遇到瓶頸后，老師提示學生點Q的畫法揭示了點Q的求法.經過討論后，小組代表展示討論結果，不同小組補充不同的方法.

【設計意圖】第(3)問要求要根據圖形幾何性質求解點的坐標.設置思考③讓學生先畫圖，感受點要滿足的條件，再根據要滿足的條件求解問題.小組討論、分享匯報可以在課堂上展示各種解法，不同解法帶來的多個思考角度可以拓寬學生思路，不同解法之間的比較可以提升學生思維.

教師總結第(3)問的特點是以形助數：在坐標系根據圖形性質的直線位置關系和線段數量關系得到坐標特征和兩點間距離進而得到點坐標.從數到形、從形到數，本課就是數與形之間互相轉換、互相結合.

【設計意圖】本課著重于數形結合的方法，因此第(2)問和第(3)問都盡可能展示不同的方法，以求學生多了解接觸數與形互相轉化、結合的方法.在每一問結束時分別總結以數助形和以形助數的方法，在兩問結束時把兩者聯系起來實現數與形之間互相轉化、結合，這樣能對本課的主題有所提升，也能讓學生更加深刻地感受到數形結合的思想，感受數學美.

6 教學反思

6.1 小專題課中的思維訓練

在磨課的過程中，一開始設計了例題之后還有跟進練習，看上去整節課沒那么單薄但實施的效果反而不好.原因是小專題課是思維訓練課，重視的是思維提升而不是技巧訓練.與其做重復的訓練，倒不如在課堂上讓學生感受數與形之間的轉化與聯系，感受不同角度不同方法間的聯系與區別，感受不同解法下幾何代數的輕重不同.為了增強學生的感受體驗讓學生思維得到訓練，本課從引入環節就慢下來，讓學生在充足的時間里感受基礎知識中數形的結合，后面的例題以問題串的方式揭示解題思路引導學生思考，更是在第(2)、(3)問都設置了小組討論、分享匯報的環節，在思想碰撞中提升思維水平.

6.2 小專題課間的上下關聯

小專題課一般是以解決某一類問題為主題來設計，但本課沒有突出解決問題的類型而是圍繞著函數與幾何圖形綜合題的數形結合方法進行.考慮到學生初步接觸該題型，本學期之后也會遇到一次函數各類的綜合題，到初三還有二次函數、反比例函數的綜合題，有一節總領方法思想的專題課是很有必要的，以便學生日后遇到問題時能想到涉及的工具、解題的方法.也就是說小專題課主題的設置上要想到不同學段間的上下關聯，對小專題課的目標、定位有所規劃.

小專題課目前已不只是運用于中考復習階段，初中三年應利用小專題課幫助學生建構知識體系，串聯知識間的數學思想方法，以幫助學生提高思維水平、提升認知結構.