挖“教材”之本 體“源題”之活*
——從一道幾何證明題談起

?江蘇省南通市海門區(qū)海南中學(xué) 朱愛(ài)平

1 引言

本文中以人教版八年級(jí)下冊(cè)第十八章“平行四邊形”第69頁(yè)的第14題為例，分析如何挖掘教科書上的習(xí)題，通過(guò)設(shè)置階梯問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考分析，利用圖形變式提升學(xué)生遷移能力.通過(guò)一題多變、一題多解，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，給予學(xué)生帶得走的知識(shí).

2 原題呈現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的角平分線CF于點(diǎn)F，證明：AE=EF.(提示：取AB中點(diǎn)G，連接EG.)

圖1

圖2

3 分析引導(dǎo)

思路分析：從結(jié)論需要證明AE=EF出發(fā)，聯(lián)想到可證明全等，觀察圖形需要構(gòu)造全等，由條件點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)聯(lián)想取AB的中點(diǎn)G.如圖2，證明△AGE≌△ECF.根據(jù)練習(xí)后面給予的提示，學(xué)生能夠自行解決此問(wèn)題.但如果僅僅停留在表層問(wèn)題的解決，那真是入寶山而空手回了.

引導(dǎo)1：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)這個(gè)條件是否可以修改呢？

學(xué)生容易想到：點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn).

引導(dǎo)2:如果點(diǎn)E為BC上任意一點(diǎn)，其余條件不變，如圖3，那么AE=EF還成立嗎？

引導(dǎo)3：動(dòng)手畫一畫，探究一下.此時(shí)在構(gòu)造全等時(shí)，還是取AB的中點(diǎn)G嗎？你是怎么取的？為什么這樣取呢？

圖3

圖4

這樣的變式問(wèn)題，學(xué)生能夠遷移方法，還是會(huì)去構(gòu)造△AGE≌△ECF(如圖4)，則需要AG=EC.所以在AB上截取AG=EC,連接EG，在證明∠AGE=∠ECF=135°時(shí)，需要根據(jù)等式性質(zhì)證明BG=BE，所以在作輔助線時(shí)，也可以在AB上截取BG=BE，再去證明.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)畫圖簡(jiǎn)單的變化，鍛煉學(xué)生的畫圖能力，這個(gè)過(guò)程每個(gè)學(xué)生都能夠嘗試，在學(xué)生嘗試畫圖的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)自己又能夠嘗試去解決問(wèn)題，從而增加學(xué)生嘗試探究的信心.在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問(wèn)題，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，給足學(xué)生探究的時(shí)間，慢慢使學(xué)生敢于創(chuàng)新.

引導(dǎo)4：你還能對(duì)點(diǎn)E的位置做怎樣的改變？請(qǐng)把它畫出來(lái)，此時(shí)AE=EF還成立嗎？畫一畫，觀察嘗試一下.

學(xué)生會(huì)將點(diǎn)E的位置聯(lián)想到BC的延長(zhǎng)線上或CB的延長(zhǎng)線上，如圖5、圖6.

圖5

圖6

引導(dǎo)5:變式后的圖形看上去變得復(fù)雜，但方法還是可以遷移過(guò)來(lái)的，我們還會(huì)考慮哪兩個(gè)三角形全等？需要構(gòu)造哪個(gè)三角形？圖上標(biāo)記出△ECF，想想如何構(gòu)造△AGE？同學(xué)們?cè)囋嚕龝?huì)請(qǐng)同學(xué)分享你的探究結(jié)果.

圖7

圖8

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)這樣的嘗試畫圖，如圖7和圖8，對(duì)畫圖和分類討論、遷移能力等有更深的體悟.給足學(xué)生畫圖探究的時(shí)間，學(xué)生的思維才會(huì)在經(jīng)歷的過(guò)程中留下成長(zhǎng)的足跡.在學(xué)中做，在做中學(xué)，是學(xué)生最喜歡的成長(zhǎng)方式.同時(shí)點(diǎn)G的尋找，也可以看成點(diǎn)E繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造等腰直角三角形而得到.

圖9

引導(dǎo)6：如圖1，構(gòu)造與△ECF全等的三角形還有其他方式嗎？這里有AE⊥EF，又需證明AE=EF，說(shuō)明AE與EF是既垂直又相等，是否聯(lián)想到把△ECF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90°這個(gè)思路來(lái)構(gòu)造全等三角形呢？如圖9，把點(diǎn)C繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G，連接AG，是否能證明△AGE≌△FCE？

引導(dǎo)7：如圖9，易證∠AEG=∠FEC，EG=EC，其中∠ECF=135°，如何推導(dǎo)∠AGE=135°，即需要證明點(diǎn)A，G，C共線.進(jìn)而能深入思考：由∠ECG=45°和∠ACB=45°得點(diǎn)A，G，C共線.如果不去證明A，G，C三點(diǎn)共線，而是過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交AC于點(diǎn)G，那么能證明△AGE≌△FCE嗎？試一試，再分析圖10和圖11的情況.

圖10

圖11

引導(dǎo)8：我們把△AEC繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°去構(gòu)造和△ACE全等的三角形，即過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC交CF或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)G是否可以構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題呢？如圖12，挑選一種進(jìn)行證明.

圖12

圖13

引導(dǎo)9：能否過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H(如圖13)去證明AE=EF？

引導(dǎo)10：對(duì)于解決正方形、長(zhǎng)方形、等邊三角形等特殊的幾何圖形中線段的位置或數(shù)量關(guān)系，我們也可以將圖形放入直角坐標(biāo)系內(nèi)研究，運(yùn)用兩直線垂直時(shí)，兩條直線的斜率之積為-1及兩點(diǎn)之間距離公式也可以解決這個(gè)問(wèn)題.大家可以嘗試幾何問(wèn)題代數(shù)化求法.

設(shè)計(jì)意圖：本題的證明可以構(gòu)造手拉手型模型、一線三等角模型等來(lái)解決，讓學(xué)生感悟模型的構(gòu)造，能用數(shù)學(xué)模型的眼光觀察幾何圖形，發(fā)現(xiàn)隱性的數(shù)學(xué)模型，從而使解題有章可循，有法可依，又能從多個(gè)角度思考問(wèn)題，培養(yǎng)思維的多樣性.

分析：(1)如圖12.

圖12

(2)如圖13和圖14.

圖13圖14

①當(dāng)AD=AE時(shí)，由2x+x=30°+30°，得x=20°.

②當(dāng)AD=DE時(shí)，由30°+30°+2x+x=180°，得x=40°.

所以x的值是20°或40°.

點(diǎn)評(píng)：從上面的探究可以發(fā)現(xiàn)，利用方程和角之間的關(guān)系，可求解有關(guān)角的問(wèn)題.

本文從形、點(diǎn)、線三個(gè)方面探討了三角形的新定義問(wèn)題.一方面，開(kāi)闊了學(xué)生的視野，從新的視角關(guān)注三角形中一些特殊的點(diǎn)與線段，它屬于知識(shí)新的增長(zhǎng)點(diǎn)；另一方面，將舊知識(shí)融合在新知識(shí)里，發(fā)揮舊知識(shí)在解決新問(wèn)題時(shí)的價(jià)值，提高了學(xué)生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力.Z