一題多解玩轉二次根式證明題

?重慶市永川北山中學校 吳治新

我們將根號下含有字母的代數式叫作無理式，對于無理式的證明題，單靠二次根式的有關性質進行運算很難奏效，還需注意分析題意，根據題目特點結合適當的方法與技巧.下面以一道二次根式證明題為例作簡要分析.

方法一：改寫并化簡等式，從輪換式特點去整體相加.

①

同理，得

②

①+②，得

整理，得a+b=-(a+b).

所以a+b=0得證.

點評：從倒數的意義入手，根據等式的性質改寫已知等式，成為幾個式子和的形式，再利用輪換式特點，將改寫后的式子整體相加，則隱含關系明了，問題獲解.

方法二：改寫并化簡等式，兩邊平方.

證明：由已知，得

兩邊再平方，得(a2+1)(b2+1)=1-2ab+a2b2.

整理，得(a+b)2=0.

所以a+b=0得證.

點評：利用倒數性質改寫已知等式，再兩次平方，并運用乘法公式運算，將無理式轉化為整式.根據等式的性質，兩邊平方，將無理式化為有理式，也是解決無理式問題的常見策略.

方法三：將等式兩邊同乘有理化因式.

③

④

③+④,得a+b=-a-b.

則2(a+b)=0.

所以a+b=0.

點評：將已知等式乘有理式因式，就可以將二次根式的積轉化為二次根式和的形式.在證明二次根式一般過程中，由因導果，從化簡條件入手，恒等變形的基本方法往往是有理化.

分析4：換元法是解數學題的一種重要方法，用某一字母代換已知等式中較長的式子或結構復雜的式子，使條件簡明，將問題化繁為簡.

方法四：換元 + 平方.

兩邊同時平方，得

(m-a)2=a2+1，(n-b)2=b2+1.

又mn=1，所以

m2-2am+a2=a2+mn，

n2-2bn+b2=b2+mn.

即

m-2a-n=0

⑤

n-2b-m=0

⑥

⑤+⑥，得a+b=0.

點評：用換元法建立兩個等式，并將等式平方，去掉根號，得到與a，b有關的有理式，再運用輪換式的特點，進行整式運算，問題得以解決.

方法五：換元+分式化簡.

a2+1=x2+a2-2ax.

又xy=1，所以a+b=0.

點評：用換元法將原問題增設兩個變量，兩邊平方后，將無理式問題轉化為有理分式問題，運用有理式的運算法則進行計算求解.

方法六：換元+取倒.

點評：設元使原問題增加了兩個變量，通過“求倒”得到與a或b有關的兩個式子，且這兩個式子互為相反數從而快速求解.

方法四～六用換元法解題，其目標是將無理式問題轉化為有理式問題，通過換元得到兩個等式，并進行恰當的運算，使復雜問題簡單化，達到轉化求解的目的.

將上面例題改編，得到一組題目，讓我們一顯身手吧.

創新是一個民族進步的靈魂，培養學生的創新思維和創新能力，是現代教育的出發點和歸宿.因此，在數學教學中發展學生的創新思維，是時代的要求，也是課程標準提出的要求，更是學生發展的需求.如何培養學生的創新思維？“一題多解”是最平常，也是力所能及的的課堂教學手段.例如，本文中的例題，是一道二次根式的證明題，在平時學習中較少碰到，利用一般的方法無從破解，但若從題目已知條件的特征及結果形式分析，發現與“倒數”及“輪換式”等知識點有關，可結合二次根式、整式、分式的運算法則及性質進行計算推理，得出答案.方法一，從輪換式特點去整體求解；方法二，從倒數性質入手，運用平方法去根號，運用乘法公式求解；方法三，結合二次根式特點，兩邊乘有理化因式，達到轉化目的；方法四～六利用換元法，增加變量，利用完全平方式、分式化簡進行恒等變形.以上幾種證法，貫穿了二次根式化簡的常用方法，較好地發展了學生的創新思維，有利于啟迪學生思維，開闊學生視野，為學生熟練掌握數學基礎知識，訓練數學基本技能，領悟數學基本思想方法，積累數學基本活動經驗，打下堅實基礎，切實提高學生分析問題和解決問題的能力，提高數學素養.Z