Heisenberg 群中極小平移曲面的分類

朱尚書，楊瀟陽

（東北大學南湖校區理學院數學系，遼寧 沈陽 110004）

1 預備知識

三維Heisenberg 群是帶有左不變度量ds2=dx2+dy2+[τ（ydx-xdy）+dz]2的線性空間R3，其中τ∈{1}，被稱為曲率參數，一般取值為1 或。在所有具有三次冪零性質的李群中，Heisenberg 群是最具有代表性的一個。這不僅僅是因為Heisenberg 群在群表示論方面的性質在三次冪零群中具有代表性，更重要的是物理學家認為Heisenberg 群和Heisenberg 李代數是研究量子力學的基本方程的理論基礎。

令e1，e2，e3為Heisenberg 群中的標準正交基，則其李代數滿足李括號：[e1，e2]=e3，[e2，e3]=0，[e3，e1]=0. 由標架e1，e2，e3可得Heisenberg 群上一組左不變標準正交基[1-7]：E1，E2，E3.該基底與自然基底?x，?y，?z 之間的關系為：

2 第一類平移曲面

本小節先討論第一類平移曲面M1：r（u，v）=（u，v，f（u）+g（v））。直接計算可得：

則的第一基本量為：

則有如下定理

定理1：對Heisenberg 群中第一類平移曲面M1:r（u，v）=（u，v，f（u）+g（v）），當曲面M1為極小曲面時，函數f（u），g（v）滿足如下微分方程：

對H=0 式關于u，v 求偏導，得：

等式兩邊同除以f"g"，再對u，v 求偏導，可得：

回代到H=0 的等式中，有：

對其關于u，v 求偏導后，再對等式兩邊同除以f"g"后，再對其關于u，v 求偏導，

因該解二階導為0，不符合題設條件，故所求函數f（u），g（v）不是H=0 的解。

將此解回代到H=0 的原式中進行驗證，有：（cτv-c1）2=（c2-cτu）2，故該解是增根。

由于定理1 中的微分方程不能直接求解，下面將考慮該方程中函數f（u）所有的多項式特解。

情況3：設函數f（u）是關于u 的1 階多項式，即f（u）=a1u+a0.將其代入等式H=0 可得等式：[（τv+a1）2+1]g"=0，因（τv+a1）2+1非負，故可得g"=0，即g 是有關v 的一階多項式。

情況4：設函數f（u）是0 階多項式，即f（u）=a0是個常數。將其代入等式H=0 可得：（τ2v2+1）g"=0，因τ2v2+1非負，故可得g"=0，即g 是有關v 的一階多項式。

綜上所述，則有如下命題：

圖1 是三維Heisenberg 群中第一類平移曲面里一個極小曲面的圖形。

圖1 （u，v，u2+u-v2-v）

3 第二類平移曲面

本小節討論第二類平移曲面M2：φ（u，v）=（u，f（u）+g（v），v）。直接計算可得：

則M2的第一基本量為：

第二基本量為：

當H=0 時，可得微分方程：

則有如下定理

定理3：對Heisenberg 群中第二類平移曲面M2：φ（u，v）=（u，f（u）+g（v），v，當曲面M2為極小曲面時，函數f（u），g（v）滿足如下微分方程：

由于定理3 中的微分方程不能直接求解，下面將考慮該方程中函數f（u）所有的多項式特解。

圖2 是三維Heisenberg 群中第二類平移曲面里一個極小曲面的圖形。由圖發現，其多項式解只有平凡解。

圖2 （u，u+v，v）

4 第三類平移曲面

本小節討論第三類平移曲面M3：ψ（u，v）=（f（u）+g（v），u，v）。直接計算可得：

則M3的第一基本量為：

第二基本量為：

當H=0 時，可得微分方程：

則有如下定理

定理5：對Heisenberg 群中第三類平移曲面M3：ψ（u，v）=（f（u）+g（v），u，v），當曲面M3為極小曲面時，函數f（u），g（v）滿足如下微分方程：

由于定理5 中的微分方程不能直接求解，下面將考慮該方程中函數f（u）所有的多項式特解。

圖3 是三維Heisenberg 群中第三類平移曲面里一個極小曲面的圖形。

圖3 （u+v，u，v）

由圖3 可知，這也是個平凡解。

5 結論

本研究在三維Heisenberg 群中討論了平移曲面。因為該群中的度量對于坐標不具有對稱性，所以文中分別對三種類型的平移曲面進行了討論，得到了三種平移曲面為極小曲面時的函數應滿足的微分方程。由于計算量大，平均曲率的方程過于復雜，所以目前只對極小的平移曲面進行了分類，而沒有找到更好的方法對具有常平均曲率的平移曲面進行分類。接下來需要考慮的是，如何從已得的微分方程求出所有非增根的解，以及討論方程是否其存在非多項式的解。