Heisenberg 群中極小平移曲面的分類

朱尚書，楊瀟陽

（東北大學(xué)南湖校區(qū)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧 沈陽 110004）

1 預(yù)備知識

三維Heisenberg 群是帶有左不變度量ds2=dx2+dy2+[τ（ydx-xdy）+dz]2的線性空間R3，其中τ∈{1}，被稱為曲率參數(shù)，一般取值為1 或。在所有具有三次冪零性質(zhì)的李群中，Heisenberg 群是最具有代表性的一個。這不僅僅是因?yàn)镠eisenberg 群在群表示論方面的性質(zhì)在三次冪零群中具有代表性，更重要的是物理學(xué)家認(rèn)為Heisenberg 群和Heisenberg 李代數(shù)是研究量子力學(xué)的基本方程的理論基礎(chǔ)。

令e1，e2，e3為Heisenberg 群中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則其李代數(shù)滿足李括號：[e1，e2]=e3，[e2，e3]=0，[e3，e1]=0. 由標(biāo)架e1，e2，e3可得Heisenberg 群上一組左不變標(biāo)準(zhǔn)正交基[1-7]：E1，E2，E3.該基底與自然基底?x，?y，?z 之間的關(guān)系為：

2 第一類平移曲面

本小節(jié)先討論第一類平移曲面M1：r（u，v）=（u，v，f（u）+g（v））。直接計(jì)算可得：

則的第一基本量為：

則有如下定理

定理1：對Heisenberg 群中第一類平移曲面M1:r（u，v）=（u，v，f（u）+g（v）），當(dāng)曲面M1為極小曲面時，函數(shù)f（u），g（v）滿足如下微分方程：

對H=0 式關(guān)于u，v 求偏導(dǎo)，得：

等式兩邊同除以f"g"，再對u，v 求偏導(dǎo)，可得：

回代到H=0 的等式中，有：

對其關(guān)于u，v 求偏導(dǎo)后，再對等式兩邊同除以f"g"后，再對其關(guān)于u，v 求偏導(dǎo)，

因該解二階導(dǎo)為0，不符合題設(shè)條件，故所求函數(shù)f（u），g（v）不是H=0 的解。

將此解回代到H=0 的原式中進(jìn)行驗(yàn)證，有：（cτv-c1）2=（c2-cτu）2，故該解是增根。

由于定理1 中的微分方程不能直接求解，下面將考慮該方程中函數(shù)f（u）所有的多項(xiàng)式特解。

情況3：設(shè)函數(shù)f（u）是關(guān)于u 的1 階多項(xiàng)式，即f（u）=a1u+a0.將其代入等式H=0 可得等式：[（τv+a1）2+1]g"=0，因（τv+a1）2+1非負(fù)，故可得g"=0，即g 是有關(guān)v 的一階多項(xiàng)式。

情況4：設(shè)函數(shù)f（u）是0 階多項(xiàng)式，即f（u）=a0是個常數(shù)。將其代入等式H=0 可得：（τ2v2+1）g"=0，因τ2v2+1非負(fù)，故可得g"=0，即g 是有關(guān)v 的一階多項(xiàng)式。

綜上所述，則有如下命題：

圖1 是三維Heisenberg 群中第一類平移曲面里一個極小曲面的圖形。

圖1 （u，v，u2+u-v2-v）

3 第二類平移曲面

本小節(jié)討論第二類平移曲面M2：φ（u，v）=（u，f（u）+g（v），v）。直接計(jì)算可得：

則M2的第一基本量為：

第二基本量為：

當(dāng)H=0 時，可得微分方程：

則有如下定理

定理3：對Heisenberg 群中第二類平移曲面M2：φ（u，v）=（u，f（u）+g（v），v，當(dāng)曲面M2為極小曲面時，函數(shù)f（u），g（v）滿足如下微分方程：

由于定理3 中的微分方程不能直接求解，下面將考慮該方程中函數(shù)f（u）所有的多項(xiàng)式特解。

圖2 是三維Heisenberg 群中第二類平移曲面里一個極小曲面的圖形。由圖發(fā)現(xiàn)，其多項(xiàng)式解只有平凡解。

圖2 （u，u+v，v）

4 第三類平移曲面

本小節(jié)討論第三類平移曲面M3：ψ（u，v）=（f（u）+g（v），u，v）。直接計(jì)算可得：

則M3的第一基本量為：

第二基本量為：

當(dāng)H=0 時，可得微分方程：

則有如下定理

定理5：對Heisenberg 群中第三類平移曲面M3：ψ（u，v）=（f（u）+g（v），u，v），當(dāng)曲面M3為極小曲面時，函數(shù)f（u），g（v）滿足如下微分方程：

由于定理5 中的微分方程不能直接求解，下面將考慮該方程中函數(shù)f（u）所有的多項(xiàng)式特解。

圖3 是三維Heisenberg 群中第三類平移曲面里一個極小曲面的圖形。

圖3 （u+v，u，v）

由圖3 可知，這也是個平凡解。

5 結(jié)論

本研究在三維Heisenberg 群中討論了平移曲面。因?yàn)樵撊褐械亩攘繉τ谧鴺?biāo)不具有對稱性，所以文中分別對三種類型的平移曲面進(jìn)行了討論，得到了三種平移曲面為極小曲面時的函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程。由于計(jì)算量大，平均曲率的方程過于復(fù)雜，所以目前只對極小的平移曲面進(jìn)行了分類，而沒有找到更好的方法對具有常平均曲率的平移曲面進(jìn)行分類。接下來需要考慮的是，如何從已得的微分方程求出所有非增根的解，以及討論方程是否其存在非多項(xiàng)式的解。