具有時(shí)滯效應(yīng)的SIS模型的動(dòng)力學(xué)分析①

劉志華， 曹慧， 徐河苗

1.陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，西安 710029； 2.長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治 046011

1 模型的建立

以流感背景，并基于經(jīng)典的SIS傳染病模型，將媒體報(bào)道的染病人數(shù)對(duì)疾病發(fā)生率的影響用函數(shù)e-αI(t-τ)來(lái)刻畫，建立如下的模型：

(1)

其中：S(t)和I(t)分別表示t時(shí)刻的易感染者和染病者人數(shù)，Λ表示易感者的常數(shù)輸入率，μ表示自然死亡率，γ表示染病者的恢復(fù)率．

2 模型的適定性與平衡點(diǎn)

在本節(jié)中，我們將先分析模型(1)的解的非負(fù)性和有界性，再借助極限系統(tǒng)理論給出平衡點(diǎn)的存在性．

事實(shí)上，由模型(1)中的第二個(gè)方程直接計(jì)算可得

顯然，I(t)≥0，t∈(0，τ]． 進(jìn)而，類似計(jì)算得

以上分析說(shuō)明，對(duì)于任意非負(fù)初值，必有I(t)≥0，t≥0成立．

下面說(shuō)明S(t)≥0，t≥0成立． 假設(shè)?t1>0，使得S(t)>0，t∈(0，t1)，S(t1)=0，且S(t)>0，t>t1． 則有

與S(t)<0，t>t1矛盾． 也就是假設(shè)不成立． 即S(t)≥0，t≥0成立．

以上分析說(shuō)明，模型(1)中任意具有非負(fù)初值的解一定是非負(fù)的． 下面來(lái)說(shuō)明模型(1)解的有界性．將模型(1)中的兩個(gè)方程相加可得

(2)

另外，利用再生矩陣的辦法[15]可以得到模型(1)的基本再生數(shù)為

將S(t)=N*-I(t)代入模型(1)，可得模型(1)的極限模型

(3)

利用極限系統(tǒng)理論可知[16]，模型(3)與模型(1)有相同的動(dòng)力學(xué)性態(tài)． 接下來(lái)的研究將借助模型(3)來(lái)分析模型(1)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．

(4)

顯然，模型(4)始終有零平衡點(diǎn)X0=0． 為了找到模型(4)的正平衡點(diǎn)X*，令

f(X)=ae-bX(1-X) ，X∈[0， 1]

通過(guò)直接計(jì)算可得：f(0)=a，f(1)=0，且f′(X)<0，這說(shuō)明a>c時(shí)，也就是，當(dāng)R0>1時(shí)，模型(4)存在唯一的正平衡點(diǎn)X*，滿足ae-bX*(1-X*)=c．即下面的定理成立：

定理1模型(4)始終存在零平衡點(diǎn)X0=0，并且當(dāng)R0>1時(shí)，模型(4)還存在唯一的正平衡點(diǎn)X*，滿足ae-bX*(1-X*)=c．

下面研究模型(4)的零平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性．

定理2如果R0<1，模型(4)的零平衡點(diǎn)X0是全局漸近穩(wěn)定的； 如果R0>1，X0是不穩(wěn)定的．

證直接計(jì)算可得，模型(4)在X0=0處的特征方程為

λ-a+c=0

(5)

即λ=c(R0-1)． 由Hurwitz判據(jù)可知，若R0<1，有λ<0，即模型(4)的零平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的．若R0>1，則λ>0，這說(shuō)明模型(4)的零平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的．

下面來(lái)證明零平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性． 記V1(t)=X(t)，則

(6)

顯然，當(dāng)R0<1時(shí)，V′1|(4)<0，故模型(4)的零平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的． 證畢．

定理3如果R0>1，τ=0，那么模型(4)的正平衡點(diǎn)X*是全局漸近穩(wěn)定的．

證直接計(jì)算可知，模型(4)在X=X*處的特征方程為

(7)

當(dāng)τ=0時(shí)，特征方程(7)可重新寫為

(8)

(9)

由于y=e-bX是一個(gè)遞減函數(shù)，因此，有(X-X*)(e-bX-e-bX*)<0成立． 也就是，V′2|(4)≤0． 另外，當(dāng)且僅當(dāng)X=X*時(shí)，V′2|(4)=0． 這說(shuō)明M={X|V′2(x)=0}={X*}，也就是，模型(4)在M上的最大不變集就是{X*}．根據(jù)LaSsalle不變集原理可知，當(dāng)R0>1時(shí)，模型(4)的正平衡點(diǎn)X*是全局漸近穩(wěn)定的． 證畢．

由定理2和定理3可知，當(dāng)R0<1時(shí)，模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0和地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的．

3 Hopf分支

在本小節(jié)中將討論τ>0時(shí)，模型(4)可能發(fā)生的Hopf分支． 為此，假設(shè)λ=iω，ω>0，代入方程(7)可得

(10)

進(jìn)而有

(11)

也即

(12)

如果方程(12)有一個(gè)正根ω0，則正平衡點(diǎn)X*的穩(wěn)定性可能會(huì)隨著τ的改變而改變． 為此，記c*=e-bX*，則當(dāng)b>1且c*>e1-b時(shí)，方程(12)存在一個(gè)正根

(13)

進(jìn)而可得

(14)

因此，

(15)

利用泛函微分方程的Hopf分支理論[17]，得到下面的結(jié)論．

定理4假設(shè)R0>1，

(1) 若0

(2) 若b>1，c*≤e1-b，則對(duì)任意τ≥0，模型(4)的正平衡點(diǎn)X*是漸近穩(wěn)定的；

(3) 若b>1，c*>e1-b，則對(duì)任意τ∈[0，τ0]，模型(4)的正平衡點(diǎn)X*是漸近穩(wěn)定的；

(4) 若b>1，c*>e1-b，則對(duì)任意τ≥τ0，正平衡點(diǎn)X*是漸近穩(wěn)定的； 且在τ=τk，k=0，1，2…時(shí)，模型(4)會(huì)在X*處發(fā)生Hopf分支．

3.1 全局Hopf分支的存在性

在本小節(jié)中，將利用文獻(xiàn)[18-19]中的全局Hopf分支理論來(lái)討論模型(4)產(chǎn)生的局部Hopf分支的全局延拓問(wèn)題． 為此，引入變換y(t)=x(τt)，模型(4)可被改寫為

y′(t)=F(yt，τ，T)F(yt，τ，T)∈X×R×R+

(16)

這里yt(θ)=y(t+θ)，θ∈[-1，0]，yt∈X，X=C([-1，0]，T)，并且

y′(t)=τae-by(t-1)(1-y(t))y(t)-τcy(t)

(17)

引入下面的記號(hào)：

∑=Cl{(y，τ，T)：y是方程(17)的T周期解}∈X×R×R+

引理1方程(17)的所有周期解是一致有界的．

證設(shè)y(t)是方程(17)的一個(gè)非平凡的周期解，且令y(t1)=N和y(t2)=n分別為其最大值和最小值，滿足0

((1-N)ae-by(t1-1)-c)N=0

(18)

((1-n)ae-by(t2-1)-c)n=0

(19)

引理2如果b>1，且c*>e1-b滿足，方程(17)沒(méi)有周期為1或2的周期解[19]．

證方程(17)的任意非平凡的周期為1周期解為u(t)，且為如下常微分方程的非平凡周期解：

u′(t)=τ(ae-bu(1-u-c))u

(20)

由于一階純量常微分方程不存在非平凡周期解，故(20)式不存在周期解．

若(17)式有周期為2的非平凡周期解u(t)，則u1(t)=u(t)，u2(t)=u(t-1)，并且滿足

(21)

由(21)式與y(t)相對(duì)應(yīng)的周期軌道包含在如下區(qū)域：

則對(duì)所有的(u1，u2)∈G1總存在

因此由Bendixson周期解不存在準(zhǔn)則[20]知(21)式?jīng)]有平凡周期解． 證畢．

證設(shè)y(t)為方程(17)的周期為4的周期解，并令ui(t)=y(t-i+1)，i=1，2，3，4． 于是u(t)=(u1(t)，u2(t)，u3(t)，u4(t))是下述常微分方程的周期：

(22)

由引理1可知(22)式與y(t)相對(duì)應(yīng)的周期軌道包含在如下區(qū)域：

(23)

解的一致有界性表明所有周期解均位于G2內(nèi)，為了說(shuō)明方程(17)沒(méi)有4的周期解，只需證明方程(17)在區(qū)域G2中不存在周期解即可． 那么為證明方程(17)在區(qū)域G2中不存在周期解，我們將應(yīng)用高維常微分方程Bendixson準(zhǔn)則[20]得到方程(22)右端的Jacobi矩陣為

(24)

這里記Ai=c-a(1-2ui)e-bui+1，Bi=abui(1-ui)e-bui+1，u5=u1，i=1，2，3，4．

下面對(duì)R6選取向量模：

其中(i，j)∈{(1，4)，(2，1)，(3，2)，(4，3)}，(p，q)∈{(1，3)，(2，4)}．

要使μ(J[2](u))<0，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)所有u∈G2，使得

(25)

(26)

進(jìn)一步有

因此，應(yīng)用文獻(xiàn)[20]中的推論3.5可得方程組(22)不存在周期為4的周期解． 證畢．

定理51) 如果R0>1，b>1，且c*>e1-b，則對(duì)任意τ>τ1，方程(17)至少有一個(gè)非平凡的周期解．

對(duì)τ∈[τk-δk，τk+δk]成立，且

Ωεk={(u，T)|0

所以，

4 數(shù)值模擬

在本小節(jié)中，將借助數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證所得理論結(jié)果的合理性． 為此，令a=1.2，c=0.3． 下面分情況討論．

當(dāng)b=0.8<1，τ=10時(shí)，如圖1(a)所示，模型(4)從不同初值出發(fā)的解最終都趨近于正平衡點(diǎn)X*，這說(shuō)明X*是穩(wěn)定的． 當(dāng)b=1.5>1時(shí)，直接計(jì)算得e1-b=0.606 5>c*． 令τ=15，則X*仍是穩(wěn)定的，見(jiàn)圖1(b)．

圖1 b=0.8，τ=10時(shí)模型(4)平衡點(diǎn)X*的穩(wěn)定性

當(dāng)b=2.5>1時(shí)，e1-b=0.223 1τ0時(shí)，X*不再穩(wěn)定，Hopf分支發(fā)生，見(jiàn)圖2(b)．

圖2 b=2.5，τ=8時(shí)模型(4)平衡點(diǎn)X*的穩(wěn)定性

下面展示平衡點(diǎn)X*處的Hopf分支的全局延拓性． 此時(shí)令a=1.2，b=2.5，c=0.3，相應(yīng)地，平衡點(diǎn)X*=0.369 8，R0=4>1，c*=0.396 7．通過(guò)(13)和(14)式計(jì)算得τ0=8.517 9，τ1=37.833 8． 當(dāng)b=2.5，并且分別滿足定理5的條件1)和2)時(shí)，各自選取τ=40>τ1，τ=20>τ0，如圖3(a)，(b)所示，兩張圖都展示了在平衡點(diǎn)X*附近從τ0分支出的周期解是大范圍存在的．

圖3 模型(4)在平衡點(diǎn)X*處的大范圍周期解

相應(yīng)地， 隨著時(shí)滯τ的不斷增加，模型(4)在平衡點(diǎn)X*處展現(xiàn)出了Hopf分支(圖4)．

圖4 系統(tǒng)(4)在平衡點(diǎn)X*處的Hopf分支圖

5 總結(jié)

在本小節(jié)中，主要研究了媒體報(bào)道的染病者數(shù)量對(duì)SIS模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的影響． 給出了模型(1)的基本再生數(shù)，借助極限系統(tǒng)，討論了系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)的存在性、穩(wěn)定性，以及平衡點(diǎn)不穩(wěn)定時(shí)可能發(fā)生的Hopf分支． 當(dāng)R0<1時(shí)，模型(1)存在全局漸近穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn)； 而當(dāng)R0>1時(shí)，模型(1)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)， 并且地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會(huì)隨著時(shí)滯τ的增加而發(fā)生改變，即：在τ=0的情況下，地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)τ>τ0時(shí)，地方病平衡點(diǎn)不再穩(wěn)定，并會(huì)發(fā)生全局延拓的Hopf分支．我們也給出了發(fā)生全局Hopf分支延拓的條件．

系統(tǒng)(4)中的參數(shù)b=αN*，通過(guò)改變b的參數(shù)值大小，可以明顯看出b值對(duì)平衡點(diǎn)的影響．也就是說(shuō)， 由媒體報(bào)道的染病者數(shù)量所引起的時(shí)滯效應(yīng)會(huì)使得模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)更加豐富． 即媒體報(bào)道引起的時(shí)滯效應(yīng)會(huì)改變地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，產(chǎn)生全局Hopf分支．