Schmidt子群為Hall S-擬正規(guī)嵌入群的有限群①

鄭添尉， 劉建軍

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

本文所涉及的群均為有限群．Schmidt子群為所有真子群冪零的非冪零群．關(guān)于Schmidt子群的結(jié)構(gòu)及其在有限群理論中的應(yīng)用見文獻(xiàn)[1]．每個(gè)非冪零群都包含Schmidt子群，自然地，Schmidt子群具有的性質(zhì)在有限群的研究中扮演著十分重要的角色．許多學(xué)者對其進(jìn)行了研究，并獲得了豐富的結(jié)果．文獻(xiàn)[2]研究了所有Schmidt子群均為次正規(guī)群的有限群的結(jié)構(gòu)．文獻(xiàn)[3]對這類群做了更深入的研究．文獻(xiàn)[4-5]分別研究了所有Schmidt子群均為Hall子群和Hall正規(guī)嵌入子群(如果群G的子群H為HG的Hall子群，則稱H為G的Hall正規(guī)嵌入子群)的有限群的結(jié)構(gòu)．

文獻(xiàn)[6]引入了HallS-擬正規(guī)嵌入子群的概念：設(shè)H為G的子群，如果H為G中的S-擬正規(guī)閉包HsqG的Hall子群， 則稱H為G的一個(gè)HallS-擬正規(guī)嵌入子群． 其中，HsqG指G中包含H的所有S-擬正規(guī)子群(與群G的所有Sylow子群可置換)的交． 由于S-擬正規(guī)子群的交仍為S-擬正規(guī)子群，故HsqG為G的S-擬正規(guī)子群．顯然HsqG≤HG． HallS-擬正規(guī)嵌入子群是比Hall正規(guī)嵌入子群更廣泛的一個(gè)概念[6]．

本文繼續(xù)研究了Schmidt子群的嵌入性對群結(jié)構(gòu)的影響． 得到了：當(dāng)G的每個(gè)Schmidt子群都為HallS-擬正規(guī)嵌入子群時(shí)，G的導(dǎo)子群冪零． 本文的結(jié)論推廣了已有相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論．

本文所涉及的所有術(shù)語和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的(見文獻(xiàn)[1])．

引理1[2]假定G是有限群， 則下列命題成立：

(i) 如果G沒有p-閉的Schmidt子群， 則G是p-冪零群；

(ii) 如果G沒有偶數(shù)階2-冪零的Schmidt子群， 則G是2-閉群；

(iii) 如果p-可解群G沒有含素因子p的p-冪零的Schmidt子群， 則G是p-閉群．

引理2[6]設(shè)H是群G中的HallS-擬正規(guī)嵌入子群， 則下列命題成立：

(i) 如果H≤M≤G， 那么H是M中的HallS-擬正規(guī)嵌入子群；

(ii) 如果N?_G， 那么HN/N是G/N中的HallS-擬正規(guī)嵌入子群．

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，我們規(guī)定，S〈p，q〉指具有正規(guī)Sylowp-子群P和非正規(guī)Sylowq-子群Q的Schmidt群．

引理3假設(shè)K和D是群G的子群， 且D?_K． 如果K/D為S〈p，q〉-群， 則D在K中有一個(gè)滿足K=DL的最小階子群L， 并有：

(i)L是一個(gè)p-閉的{p，q}-子群；

(ii)L的所有真正規(guī)子群冪零；

(iii)L中包含一個(gè)S〈p，q〉-子群P×|Q， 使得D不包含Q， 并且L=(P×|Q)L=QL；

(iv) 如果L中的S〈p，q〉-子群P×|Q是(P×|Q)sqG的Hall子群， 則L=P×|Q．

證(i)-(iii)的證明由文獻(xiàn)[2]的引理2給出．下證(iv)成立．

設(shè)P×|Q是(P×|Q)sqG的Hall子群， 由引理2得，P×|Q是(P×|Q)sqL的Hall子群．又由

π(L)=π(P×|Q)=2

得

P×|Q=(P×|Q)sqL

因此P×|Q在L中為S-擬正規(guī)的，故由文獻(xiàn)[7]的引理2可知，P×|Q在L中為次正規(guī)的．由此知P×|Q包含在L的一個(gè)正規(guī)子群中． 但由(ii)知，L的所有真正規(guī)子群冪零，這與P×|Q為Schmidt群矛盾．(iv) 得證．

引理4設(shè)群G中每個(gè)S〈p，q〉-子群是HallS-擬正規(guī)嵌入子群，則下列命題成立：

(i) 如果H≤G，那么H中的每個(gè)S〈p，q〉-子群在H中是HallS-擬正規(guī)嵌入的．

(ii) 如果N?_G，那么G/N中的每個(gè)S〈p，q〉-子群在G/N中是HallS-擬正規(guī)嵌入的．

證(i) 假設(shè)A是H中的S〈p，q〉-子群． 則由引理4的條件及引理2得，A在H中是HallS-擬正規(guī)嵌入的．

(ii) 假設(shè)K/N是G/N中的S〈p，q〉-子群，由引理3知，N在K中存在一個(gè)極小補(bǔ)子群L，且L為G的Schmidt子群． 由引理4的條件及引理2得，K/N=LN/N在G/N中是HallS-擬正規(guī)嵌入的．

引理5[4]如果H是由群G中的所有S〈p，q〉-子群生成， 則G/H中無S〈p，q〉-子群．

引理6[5]令群G為p-可解群．假設(shè)G的任一真子群和真同態(tài)像的p-長不超過1，而lp(G)>1． 則：

(i)Φ(G)=Op′(G)=1；

(ii)G有唯一極小正規(guī)子群N=F(G)=Op(G)=CG(N)；

(iii)lp(G)=2；

(iv)G=N×|S，其中S=Q×|P為一個(gè)p-冪零的Schmidt子群，且|P|=p．

引理7[5]令n≥2為一個(gè)正整數(shù)，r為一個(gè)素?cái)?shù)，π為一個(gè)素?cái)?shù)集合．假設(shè)對任意的t∈π且對任意的n1，當(dāng)1≤n1

定理1假設(shè)群G中每個(gè)Schmidt子群都為G中的HallS-擬正規(guī)嵌入子群，則G′冪零．

證為證明定理1，我們按照以下步驟證明：

步驟1G可解．

由奇階群可解定理知，僅需考慮G為偶數(shù)階群的情況． 如果G不可解，由引理1(ii)可知，在G中存在2-冪零的偶階Schmidt子群A． 令A(yù)=P×|Q，其中P為正規(guī)的Sylowp-子群且p>2，Q為非正規(guī)的循環(huán)2-群．由定理1的條件知，A是G的HallS-擬正規(guī)嵌入子群， 因此A為AsqG的Hall子群， 故Q為AsqG的Sylowq-子群．由此知，AsqG有循環(huán)的Sylow 2-子群， 則AsqG為2-冪零群．由AsqG在G中為S-擬正規(guī)的，可知AsqG在G中為次正規(guī)子群， 故AsqG≤D，其中D為群G中最大的正規(guī)2-冪零子群． 對任意的g∈G， (AsqG)g在G中為次正規(guī)的，且(AsqG)g為2-冪零群， 則(AsqG)g≤D，故

〈(AsqG)g：g∈G〉=(AsqG)G≤D

從而(AsqG)G是G的2-冪零子群．令H為群G中所有(AsqG)G的乘積，其中A為G的任一2-冪零偶數(shù)階Schmidt子群， 故H?_G，且H為G的2-冪零子群．由引理5得，G/H中不包含2-冪零的偶數(shù)階Schmidt子群，則由引理1知，G/H為2-閉群， 故G/H可解，從而G可解．矛盾．

步驟2lp(G)=1，這里p為π(G)中的任意元．

設(shè)G為一個(gè)極小階反例．由引理4知，定理1的條件對子群、商群是遺傳的．故對G的任一真子群和真同態(tài)像p-長為1．根據(jù)G的極小性，lp(G)> 1， 由引理6知

G=N×|SΦ(G)=Op′(G)=1

N=Op(G)=F(G)=CG(N)

其中S=Q×|P為G的極大子群且為G的Schmidt子群． 由已知得，S為SsqG的Hall子群，則僅有S=SsqG或SsqG=G成立．若S=SsqG，則S在G中為次正規(guī)的．又由S的極大性得S?_G．所以SsqG=G．于是S為G的Hall子群，即N≤S．這個(gè)矛盾說明： 對任意p∈π(G)，lp(G)=1．

步驟3 完成證明．

事實(shí)上，僅需證明G滿足G∈NA，其中NA為導(dǎo)群冪零的群類．

假設(shè)G為極小階反例．由文獻(xiàn)[8]知，NA為飽和群系．且由G的極小性知Φ(G)=1． 設(shè)N1和N2為G的極小正規(guī)子群，則G/N1，G/N2∈NA，從而

G?G/N1∩N2∈NA

矛盾．因此，G有唯一極小正規(guī)子群．又由G可解和Φ(G)=1，得N=CG(N)． 此時(shí)由文獻(xiàn)[9]的定理3.3知G為本原群．由文獻(xiàn)[10]的定理1.8得

G=N×|MF(G)=N=CG(N)Op(M)=1

其中p∈π(G)，N為p-群且為G的極小正規(guī)子群，M為G的極大子群．由lp(G)=1得，N為G的Sylowp-子群．令

π=π(M)=π(G)-{p}r∈π

設(shè)R為G的Sylowr-子群， 故N×|R不為p-冪零群．根據(jù)引理1(iii)得，N×|R中存在p-閉的Schmidt子群H=N1×|R1．由定理1的假設(shè)知，G中存在H的S-擬正規(guī)閉包HsqG且H為HsqG的Hall子群．設(shè)HsqG=K．由定義可知，K在G中為S-擬正規(guī)的．由文獻(xiàn)[11]的定理1.2.14得KG/KG為冪零群， 故K/KG為冪零群，從而N≤K．再由H為K的Hall子群得

(|H|，p)≠1N?_GN≤K

這表明N為K的Sylowp-子群，故|N|=|H|p， 從而N=N1．此時(shí)Φ(N)=1，則

|N/Φ(N)|=|N|=pn

由Schmidt群的結(jié)構(gòu)知，假設(shè)對任意的r∈π和任意的n1，當(dāng)1≤n1

r|pn-1r?pn1-1

故由引理7得，GL(n，p)中包含一個(gè)循環(huán)的Hallπ-子群H， 又由

知，存在x∈GL(n，p)，使得M≤Hx， 這意味著M循環(huán)．從而G的導(dǎo)子群包含在一個(gè)交換群中，故G為冪零的． 矛盾．

推論1[5]假設(shè)群G中每個(gè)Schmidt子群都為G中的Hall正規(guī)嵌入子群， 則G′冪零．

注1定理1和推論1中的條件并不等價(jià)．也就是說， 條件“群G的所有Schmidt子群都是G的HallS-擬正規(guī)嵌入子群”并不能推出“群G的所有Schmidt子群都是G的Hall正規(guī)嵌入子群”．如：令G為24階二面體群D24． 顯然G中存在非平凡的Schmidt子群H，這意味著H?S3． 而H是G的S-擬正規(guī)子群，故也是G的HallS-擬正規(guī)嵌入子群．所以G中所有的Schmidt子群都是G的HallS-擬正規(guī)嵌入子群．然而，H不是HG?D12的Hall子群，也就是說G中所有的Schmidt子群都不是G的Hall正規(guī)嵌入子群．