畫圖策略在數學教學中的運用

山東利津縣汀羅鎮中心小學（257452）陳燕

著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。數形結合，指數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”（即抽象思維與形象思維的結合），將復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而實現優化解題思路的目的。因此，在數學教學中，教師應根據具體的教學內容和學生的實際學情，適時滲透數形結合這一數學思想方法，引導學生巧妙運用畫圖策略解決問題。這樣既可以豐富學生的解題思路，提高學生解決問題的能力，又能提升課堂教學效率和學生的數學核心素養，使學生在數學學習上得到更好的發展。

一、畫圖策略揭示概念內涵

小學生的思維正處于由形象思維向抽象思維過渡的時期，所以抽象的數學概念令他們感覺晦澀難懂，進而影響對所學數學知識的理解。因此，教師要想深刻地揭示數學概念的本質，僅靠單純的口頭講授往往收效甚微，而借助數形結合的直觀性，可以深化學生對數學概念的理解。

例如，教學人教版數學教材第七冊《倍的認識》這一內容時，“倍”本身就是一個比較抽象的概念，所以學生解題時經常因為錯誤理解而出錯，即使教師反復糾正，學生也不知道自己錯在哪里。面對這樣抽象的數學概念，僅靠教師的口頭講授，很難讓學生理解。因此，筆者教學時另辟蹊徑，借助幾何直觀，先出示兩組圖（見圖1），讓學生觀察對比，再分析兩種圖形的數量關系。這樣，學生就能直接觀察得出：橢圓形和三角形的數量之間存在倍數關系，即把2個三角形視為一份（虛線打圈），那么6個橢圓形就有這樣的三份（三個虛線圈）。在學生初步感知“倍”的外在形式后，筆者讓他們圈一圈，將“倍”的外在形式用分堆計數的方法表示出來，從而巧妙地轉化成數學上“倍”的概念。在學生掌握“倍”的概念后，筆者仍借助三角形和橢圓形，隨機舉出若干倍數的例子，讓學生嘗試在作業本上畫出示意圖。這樣反復通過幾何直觀，先后揭示和展示倍數，鞏固和加深了學生對“倍”的概念的理解。

圖1

由此可見，教學數學概念時，教師如能借助幾何直觀，從“數”和“形”兩個維度詮釋數學概念，讓學生進行切實有效的體驗感知，建立正確的概念表象，就能深化學生對所學數學概念的理解和掌握。

二、畫圖策略詮釋算理本質

要想提高學生的計算能力，就要讓學生理解算理，因為理解算理是理論支撐和方法保障。但是，算理不像算法那樣具體可感，因為算理是抽象的，甚至沒有準確的科學語言來定義，只能靠學生去領悟。如果學生沒有深刻理解算理，或者根本無視算理的存在，甚至把算理當成兒戲，每次都是重復例題的演算步驟，就極易形成僵化思維和機械行為，導致解決問題時束手束腳，計算時呆板、生硬。那么，如何讓學生理解算理呢？畫圖是一條捷徑。圖形能夠直觀反映計算過程的細節，并演繹出每一步計算的邏輯原理，其推理過程都記錄在圖形中，這些優勢能協助學生理解算理。

例如，運用乘法分配律進行計算時，學生常常出錯，根本原因是學生沒有真正理解乘法分配律的原理，出錯在所難免。透析代數公式（a+b）×c=a×c+b×c的計算原理，不妨先賦值，再把它移植到兩個等寬的長方形中，通過計算兩個長方形的面積和來理解這個公式的計算原理。如，賦值為（8+7）×5=8×5+7×5，那么第一個長方形的長賦值為8，第二個長方形的長賦值為7，兩個長方形的寬一律賦值為5；先分別求出兩個長方形的面積，再求和，那么列式為8×5+7×5（見圖2）。這里，因為兩個長方形的寬相等，所以不妨將兩個長方形以寬邊重合拼接，拼組成一個大長方形，從幾何變換上理解，此時拼組而成的大長方形面積等于兩個小長方形的面積和。這樣，大長方形的長變成（8+7），寬仍為5，根據長方形的面積計算公式列式為（8+7）×5。前后用不一樣的方法計算出的面積相等，于是就有了（a+b）×c=a×c+b×c。雖然前后意義不一樣，但是結果一致。所以，通過數形結合這一數學思想方法，乘法分配律的計算原理便在幾何圖形組合這個維度上站穩了腳跟，巧妙地突出教學重點、突破教學難點。

圖2

在數學教學中，有些算理如能融入幾何圖形的變換中，利用幾何圖形的拆分、組合進行面積與長度的運算變換，將圖形上的直觀變化轉化成數字計算上的變化，那么算理就可以被揭示得淋漓盡致，易于學生理解和掌握。學生一看到相關算式腦海里就會浮現出圖形，邊回顧圖形變換邊推演算式，進行雙重思考。這樣通過數形結合，學生既理解了算理，也掌握了算法，真正達到形神兼具的目標。

三、畫圖策略拓展解題思路

畫圖是數學解決問題的重要策略，它利用圖形展現和記錄問題中的數量關系，從而簡化題意，便于找到解題思路。同時，畫圖又是一個抽象、提煉的過程，即刪去情境枝葉，提取數量關系主干，并進行簡練轉述。

1.畫圖，可以有效突出解題線索

例如，人教版數學教材第十二冊《圓柱與圓錐的認識》的練習中有這樣一道題：“一個圓錐形沙堆，底面積是28.26平方米，高為2.5米。將其鋪在10米寬的便道上，施工要求鋪成2厘米厚，能鋪多少米？”教學時，部分學生無法進行等體積轉換，不知道如何將圓錐形沙堆轉化成長方體。于是，教師先引導學生構思如下動圖（見圖3），再予以點撥：“解題主線是什么？”（沙子的體積始終不變，只是形狀發生了變化）“解題的過程是怎樣的？”（先求出圓錐形沙堆的體積，再用沙堆的體積除以長方體沙層的橫截面面積，就能求出長方體的長）

圖3

又如，教學人教版數學二年級的乘法內容后，學生計算時常常在加法和乘法之間不知如何抉擇。這時，教師可以通過即時畫圖，輔助學生理解。如“大頭兒子買了3瓶胃動力，又買了5瓶王老吉，一共有幾瓶飲料？”，可畫示意圖4；“大頭兒子買了3提胃動力，每提5瓶，一共有多少瓶胃動力？”，可畫示意圖5。學生通過畫圖就能直觀感知，加法和乘法都是對數量的合并，只是加法是將不同的數量合并，乘法是針對相同的數合并，從而很快弄清加法和乘法的異同點，能正確區分二者的定義。

圖4

圖5

2.畫圖，可以迅速厘清數量關系

畫圖作為一種解題策略，從原先的輔助工具轉型升級為課程目標，是抽象問題直觀化處理的典型模式，能夠快速厘清題中的數量關系，從而找到解題思路。例如，人教版數學教材第九冊《稍復雜的方程》中有這樣一道例題：“足球表面分為黑白兩色外皮，白皮20塊，比黑皮的2倍少4塊，試問黑皮幾塊？”這道題的文字表述比較煩瑣，難以找到其中的數量關系，但通過畫線段圖（見圖3）分析，就能一目了然。借助線段圖，題中足球表面白皮和黑皮的數量關系就直觀地呈現在眼前，即白皮數=黑皮數×2-4。此外，此題還可以通過倒序厘清數量關系，即白皮數加上4等于黑皮數的2倍。這樣題中的數量關系直觀明了，解題思路也就自然呈現出來了。

圖6

四、畫圖策略創新思維方法

數形結合是一種數學思想方法，需要教師在教學中適時滲透，使學生遇到相關問題時能靈活運用，正確地分析與解決問題。數形結合也屬于一種解題技巧，可以直接通過畫圖來解決問題；數形結合還屬于一種能力，可借助圖形分析問題，創新解題方法，提高解決問題的能力。當學生遇到抽象的數學問題時，能不能熟練地構圖、制圖、用圖，通過畫圖突破思維瓶頸，尋找到巧妙的解題方法，考驗著學生的思維能力。

例如，教學人教版數學教材第十二冊《數學思考》的這道題“6個點可以連成多少條線段？8個點呢？”時，就可以通過畫圖降低難度，總結規律。又如，人教版數學教材第十二冊中的“擺一擺，找規律”這道題（見圖7）。

圖7

如果真要付諸實踐，就要準備火柴棒，這顯然有難度，且不便于展示，但不擺火柴棒只看圖，又不夠直觀。這時，可通過連續畫圖分析解題：先畫1個正方形，接著往下畫第2個、第3個、第4個……當學生畫到第4、第5個正方形時，隱含的規律已經昭然若揭：除去第一個正方形需要4條線段，后續的正方形只需要3條線段。有了這個規律，再來解決“擺10個正方形所需要的火柴棒數”“301根火柴棒圍成的正方形個數”等問題就輕而易舉了。即使要求擺n個正方形所需要的火柴棒數，也不在話下。

五、畫圖策略助力經驗積累

學習畫圖策略，目的是讓學生能靈活運用數形結合這一數學思想方法解決問題，這與“四基”培養的目標是一致的。因此，在小學數學教學中，教師既要關注畫圖策略在概念內涵學習、算理本質解讀、思維方法拓展等方面的運用，又要重視學生基本數學活動經驗的積累，讓學生在數學學習過程中實現知識與技能的發展，提升學生的數學核心素養。

例如，教學人教版數學教材第五冊《長方形和正方形的周長與面積》的練習課時，教師可通過畫圖幫助學生更好地理解長方形和正方形的周長、面積等概念，讓他們在問題探究中更有效地積累學習經驗，提高解決問題的能力。

師：看著屏幕上的畫面，你獲得了什么數學信息？

生1：米老鼠在用竹籬笆圍庭院，用了96米的竹籬笆，問有哪些不一樣的圍法、怎樣圍面積最大。

生2：這個簡單，圍成正方形的面積是最大的，這在前面已經學習過，即96÷4=24（米）、24×24=576（平方米）。

生3：這樣解答是對的！但是，還有一個問題沒有解決，就是有哪些不一樣的圍法。

生4：剛才的談論都用到了“長+寬”這個關鍵點，它是從“（長+寬）×2=長方形的周長”得來的，所以記好、記牢長方形的周長計算公式非常重要。

生5：這些思考都有一定的道理，但它們都不是米老鼠要圍成的庭院吧？用竹籬笆圍成庭院，難道必須要圍4個面嗎？

生6：哎呀！還真是的。圍庭院可以只圍3個面，靠墻的那一面是不用圍起來的。

生7：對呀！那3個面共長96米，一條邊的長度就是96÷3=32（米），面積最大應該是32×32=1024（平方米）。

……

積累學習經驗雖然是學生數學學習的重要任務之一，但是教師在教學中不能忘卻新課程強調的一個重要理念，那就是“數學教學必須立足于兒童生活的現實”。筆者以為，這也是智慧教學的一種體現。因此，教師在教學中既要重視學生數學知識的習得，又要關注他們數學活動經驗的積累，提高學生解決問題的能力。上述教學，教師意在促進學生關于長方形的周長、面積等知識和經驗的激活，并引導學生聯系生活實際解決問題，讓學生的學習更理性、更高效。

總之，畫圖策略是數學解決問題的基本策略。在數學課堂中，教師應根據具體的教學內容，利用數與圖之間的對應和轉化，適時滲透數形結合這一數學思想方法，讓學生的思維在抽象思維和形象思維之間靈活轉換，將數學問題化抽象為直觀、化難為易，從而豐富學生的解題經驗，提升學生的思維品質。