數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究

奚煒奇

（上海海事大學(xué)附屬北蔡高級(jí)中學(xué) 上海 201204）

一、理論基礎(chǔ)

1.數(shù)學(xué)思想理論

數(shù)學(xué)思想理論是在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)所運(yùn)用到的解決方法與思考方式。數(shù)學(xué)思想方法是用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中最重要的解決手段，其中不僅僅包涵了數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還包括了數(shù)學(xué)方法。但這兩者有著不同的概念：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)和內(nèi)容，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體形式。在處理問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)思維方法具有指導(dǎo)性和通用性。

2.數(shù)學(xué)的基本思想

教學(xué)的基本思想，大都源自于生活。因此，我們需要抽象思維來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的幾何問(wèn)題；我們需要建模思維來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的復(fù)雜問(wèn)題；我們同樣需要推理思維來(lái)解決生活中的許多邏輯問(wèn)題[1]。

3.數(shù)形結(jié)合思想理論

數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題，我們并不陌生。最常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合的用法便是找出題目中所給出的數(shù)量關(guān)系，然后將數(shù)量關(guān)系運(yùn)用自己所學(xué)過(guò)的幾何概念，用圖形的方式表達(dá)出來(lái)，巧妙地把兩者結(jié)合起來(lái)。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的意識(shí)，使學(xué)生做到“腦中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，看圖得數(shù)”。

二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)視角下的“數(shù)形結(jié)合”

1.數(shù)形結(jié)合的概念界定

“數(shù)”和“形”二字涵義豐富。從廣義上說(shuō)，“數(shù)”作為客觀世界的研究工具，“形”是整個(gè)世界。狹義上來(lái)說(shuō)，“數(shù)”是數(shù)學(xué)題目中的數(shù)量關(guān)系，“形”是數(shù)學(xué)題目中的形象對(duì)象。數(shù)學(xué)不僅是一門(mén)研究數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，還是一門(mén)研究各個(gè)空間維度上的幾何關(guān)系的學(xué)科，兩類(lèi)關(guān)系互相交錯(cuò)才組成了數(shù)學(xué)。“組合”一詞具有很強(qiáng)的方法論意義，其基本內(nèi)涵彼此密切相關(guān)。把“結(jié)合”放在“數(shù)形結(jié)合”一詞中，應(yīng)被理解為使用某些數(shù)學(xué)模型或結(jié)構(gòu)來(lái)轉(zhuǎn)換[2]。如果按轉(zhuǎn)換對(duì)象來(lái)分，分為“以數(shù)化形”“以形變數(shù)”“形數(shù)互變”三大類(lèi)。

2.新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)形結(jié)合

（1）從對(duì)思維能力的要求來(lái)看數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想能有效地幫助學(xué)生樹(shù)立良好的現(xiàn)代思維意識(shí)。

①通過(guò)數(shù)形組合，學(xué)生可以從多個(gè)角度考慮問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。例如，在解決一元二次不等式的時(shí)候，不僅可以利用代數(shù)方法，還可以利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解。

又如，解決一元二次不等式x2+3x+4〉0時(shí)

再進(jìn)行解決。同樣，也可以將x2+3x+4〉0看作函數(shù)f（x）=x2+3x+4〉0的那一部分，即圖像上y軸的上半部分。

②教師應(yīng)通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，努力培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。在初中數(shù)學(xué)當(dāng)中，主要以形象思維的訓(xùn)練為主，但進(jìn)入了高中之后，抽象思維占據(jù)了數(shù)學(xué)問(wèn)題中的主要地位，學(xué)生可能很難從形象思維轉(zhuǎn)到抽象思維當(dāng)中去，所以教師需要幫助學(xué)生加快從形象思維轉(zhuǎn)化為抽象思維，更進(jìn)一步地將形象思維和抽象思維相結(jié)合。

③教師通過(guò)利用數(shù)形結(jié)合思想，有效地引導(dǎo)學(xué)生將靜態(tài)思維轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)思維，尤其是坐標(biāo)中的動(dòng)直線問(wèn)題。典型問(wèn)題就是如直線y=ax-a雖然直線是一條不確定的動(dòng)直線，但是直線卻恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）。這就是最典型地將靜態(tài)思維和動(dòng)態(tài)思維相結(jié)合的實(shí)例了。（2）從數(shù)學(xué)的自身特點(diǎn)來(lái)看數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)不僅是抽象的、復(fù)雜的，而且非常形式化、符號(hào)化，因此它不受學(xué)生的歡迎。事實(shí)上，高中教材中有很多內(nèi)容運(yùn)用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法，教師可以不單單從概念上幫助學(xué)生了解，還可以通過(guò)數(shù)與形的組合，更直觀地揭示出更多的現(xiàn)象，不僅幫助學(xué)生理解，還能夠給予同學(xué)一種“原來(lái)數(shù)學(xué)也可以這么理解”的想法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣[3]。

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的實(shí)證研究

1.高中生數(shù)形結(jié)合解題能力現(xiàn)狀分析

當(dāng)今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)給予了數(shù)形結(jié)合足夠的重視，數(shù)形結(jié)合的思想方法簡(jiǎn)潔、快速、易于理解，是學(xué)生喜歡使用的數(shù)學(xué)方法[4]。但是學(xué)生在使用數(shù)形結(jié)合的思想方法的時(shí)候，卻很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

2.高中生數(shù)形結(jié)合解題能力教學(xué)策略

（1）圖形的精確性的教學(xué)

在面對(duì)需要精確作圖的題目時(shí)，學(xué)生很容易出現(xiàn)對(duì)于圖形判斷不準(zhǔn)確，圖像過(guò)于潦草的問(wèn)題。這些問(wèn)題就很容易導(dǎo)致圖像交點(diǎn)不準(zhǔn)確以及圖像位置不確定。在這種問(wèn)題上，就要先采用數(shù)量關(guān)系決定圖像關(guān)系的方法了。

例：函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝tanx的圖像在[-2π，2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。

A .3 個(gè) B .5 個(gè) C .7 個(gè) D .9 個(gè)

（2）圖形的等價(jià)性的教學(xué)

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題時(shí)，很容易因?yàn)楦鞣N運(yùn)算，以及范圍的不斷變化而導(dǎo)致圖形的變化。在解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡M(jìn)行每一步的推理與作圖，確保精確性、完整性以及等價(jià)性。

如例題：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A地坐標(biāo)為（4，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線x+2y-13＝0上，求一點(diǎn)P使ΔPOA為等腰三角形。

解析：在解決這類(lèi)型題目的時(shí)候，很多學(xué)生只能想到一種情況。若將視野擴(kuò)寬，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，還存在著多種情況。例如，以P為頂點(diǎn)，O為頂點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)不同，腰也會(huì)不同，從而導(dǎo)致P點(diǎn)位置也不同。

四、有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)研究

1.以數(shù)助形

（1）利用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題

坐標(biāo)法即將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化。首先，根據(jù)幾何問(wèn)題的特點(diǎn)，建立了適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并利用坐標(biāo)法求解幾何問(wèn)題，將題目中的數(shù)量關(guān)系變化為坐標(biāo)系中的幾何問(wèn)題，再根據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)，進(jìn)行嚴(yán)密的推理運(yùn)算，得到相關(guān)的屬相關(guān)系結(jié)論，從而揭示幾何上的問(wèn)題答案。

（2）利用向量法解決幾何問(wèn)題

在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，向量是作為一個(gè)單獨(dú)的章節(jié)出現(xiàn)的。在解決向量的運(yùn)算問(wèn)題中，利用與物理學(xué)相類(lèi)似的矢量法來(lái)解決向量的加減乘除問(wèn)題，這是向量的重點(diǎn)問(wèn)題。高中向量強(qiáng)化了向量的代數(shù)運(yùn)算，但其實(shí)向量運(yùn)算中的幾何意義，如向量數(shù)量積的幾何意義等仍不可或缺。

2.以形助數(shù)

（1）利用數(shù)形結(jié)合法解決集合的問(wèn)題

在學(xué)習(xí)向量的交、并、補(bǔ)的時(shí)候，我們就利用了韋恩圖來(lái)進(jìn)行理解，這樣能夠更快地幫助學(xué)生形象地了解集合的運(yùn)算。

例如有48 名學(xué)生，每人至少參加一個(gè)活動(dòng)小組，參加數(shù)、理、化小組的人數(shù)分別為28、25、15，同時(shí)參加數(shù)、理小組的8人，同時(shí)參加數(shù)、化小組的6人，同時(shí)參加理、化小組的7人，問(wèn)：同時(shí)參加數(shù)、理、化小組的有多少人？

分析：將數(shù)理化小組的人數(shù)用三個(gè)圓來(lái)表示，根據(jù)韋恩圖可知，AB兩圓的公共部分代表同時(shí)參加數(shù)、理小組的人，ABC三圓的公共部分代表同時(shí)參加數(shù)、理、化小組的人。再根據(jù)總?cè)藬?shù)來(lái)進(jìn)行列式。

即28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48。

故n（A∩B∩C）=1即同時(shí)參加數(shù)理化小組的有 1 人.

（2）利用數(shù)形結(jié)合法解決方程和不等式問(wèn)題

將二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與方程ax2+bx+c=0放在一起考慮，就會(huì)發(fā)現(xiàn)方程ax2+bx+c=0就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)y=0時(shí)的情況，即方程y=ax2+bx+c的根，就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)。函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化，相互理解，幫助學(xué)生理解一元二次的解法的同時(shí)，也幫助學(xué)生復(fù)習(xí)并掌握了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)。

3.數(shù)與形的相互結(jié)合

“以形助數(shù)” “以數(shù)助形”都是數(shù)形結(jié)合的概念，它們其實(shí)從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)都是數(shù)形結(jié)合的思維方法，只是偏重點(diǎn)不同罷了。做題目時(shí)，我們習(xí)慣從結(jié)論出發(fā)，所以才有了“以形助數(shù)” “以數(shù)助形”。但是，在實(shí)際解決的問(wèn)題當(dāng)中，我們經(jīng)常碰到的是，數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，沒(méi)有側(cè)重于數(shù)，也同樣沒(méi)有側(cè)重于形，兩者處于同樣的高度，需要相互結(jié)合才能解決出最后的結(jié)論。

結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用十分廣泛，不僅僅運(yùn)用在經(jīng)典的幾何題目當(dāng)中。集合、方程、函數(shù)、向量、三角、不等式、線性規(guī)劃等，均對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法有所涉及[5]。在各地高考當(dāng)中，數(shù)形結(jié)合也占據(jù)著最重要的數(shù)學(xué)思想的地位，不論是簡(jiǎn)單的題目，還是壓軸的難題，數(shù)形結(jié)合都是用來(lái)解決難題的一個(gè)好方法。本文主要先通過(guò)分析數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的概念，從而引出當(dāng)今數(shù)學(xué)教育發(fā)展下的數(shù)形結(jié)合的地位，再通過(guò)列舉典型例題，闡述數(shù)形結(jié)合的具體方法以及便捷原因。分析在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)常見(jiàn)的錯(cuò)誤，整理出一些典型問(wèn)題，歸納總結(jié)一些有效的數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)方法。