結構的力量：觀念指向的單元整體教學建構
——以小學數學“漫步空間 體積測量”單元學習為例

●董文彬

數學大觀念作為數學學習的核心，能夠把各種數學理解聯系成一個連貫的整體，其本質是結構、聯系和遷移。 觀念指向下的單元整體教學就是要發揮觀念的結構和關聯的力量，統整數學內部的核心知識與思想方法，聚焦數學本質、核心素養與關鍵能力，整體設計與把握單元教學，指向學生數學發展，以最終實現數學立人。 本文以小學數學北師大版五年級下冊第四單元“長方體（二）”學習內容為依托，重新確定單元學習主題及具體觀念，基于學生學情調研制訂學習目標及學習主線，形成單元學習的核心問題及關鍵子問題， 設計有意義的單元學習活動任務序列，進行素養導向的單元整體教學建構，著力數學學習的深度理解與自主遷移，促進學生的素養發展。

一、單元學習主題與單元具體觀念的確定

(一)對度量的再認識

史寧中教授說：“度量是數學的本質， 是人創造出來的認識數學進而認識現實世界的工具。 ” 度量是小學數學課程中的重要核心內容， 包括時間、質量、角度、長度、面積、體積等的度量，其中長度、面積和體積的度量是主體內容（如圖1）。 張丹教授指出：“在這部分內容中， 可以體現如下的數學大觀念：測量是對現實生活中事物某方面屬性大小的刻畫；測量的基本方法是統一單位的不斷累積， 將多個度量單位組合在一起產生了工具，使得測量更加方便；測量方法和測量單位的選取源于實際生活的需要，以及對測量結果精確程度的需求； 尋找圖形要素之間的關系、圖形之間的轉化、二維與三維的類比等可以幫助人們獲得常見圖形的公式， 這提供了運用推理產生圖形面積公式的角度； 以上過程發展了度量意識、推理能力和直觀想象，而測量過程發展了解決問題能力及創新意識。 ”[1]這些對于整體建構“體積測量”單元教學具有很好的指導作用。

圖1 小學數學度量主體教學結構（以北師大版教材為例）

(二)單元具體觀念

以小學數學北師大版五年級下冊第四單元“長方體（二）”內容單元為例。學生在第一學段已經初步識別長方體、正方體，認識了周長、面積等圖形核心概念，并已經探究學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形這些平面圖形面積的測量計算，積累了研究平面圖形一維長度、二維面積度量學習的基本方法和活動經驗。 在本冊第二單元， 學生已經直觀地認識了長方體、正方體的特點以及展開圖，學習了長方體、正方體的結構特征和表面積的含義及計算。 本單元是在上述學習內容的基礎上進行學習的。主要內容包括：認識體積和容積，體積、容積單位的實際意義及換算，長方體、正方體的體積、容積的測量計算方法，探索不規則物體體積的測量方法。依據本單元學習內容， 將單元學習主題重新確定為“漫步空間 體積測量”。

依據數學課程標準與教材對比分析，追問本單元的教育價值，具體化之后可以得到本單元教學的具體觀念：測量體積的基本方法是用統一體積單位不斷累加，體積單位的小正方體是體積測量的基本工具；公式度量源于工具度量的抽象；度量的原始本質是一維度量，圖形體積的度量都可以利用長度而得到；通過體積單位的小正方體的拼擺累積表示已知立體圖形，發現立體圖形三維空間大小與一維長度之間的對應關系可以幫助我們獲得基本立體圖形長方體的體積公式；從圖形運動的視角，尋找圖形要素之間的關系、圖形之間的類比遷移等可以幫助獲得常見圖形的體積公式，這提供了運用推理產生新的圖形體積公式的角度。 以上學習過程幫助學生在基于多種操作與空間想象思維活動的基礎上積累了研究立體圖形體積度量的經驗與方法，發展了度量意識、推理能力和直觀想象，培養了空間觀念以及問題解決和自主學習的能力。

二、基于學情調研診斷學生先期學習經驗

為了解學生的單元學習起點、思維結點、學習困難及生長需求，需要基于學情調研對學生的先期學習經驗作評估和預判。

比如，對于“體積測量”單元，可以設計有關“體積”和“容積”認識的題目。如你認為什么是體積？ 什么是容積？考查學生對核心概念（測量對象）的理解。可以給出一個由體積單位（比如1 立方厘米）的小正方體累積而成的物體，啟發學生獲得它的體積，考查學生已有的學習基礎。還可以給出一個長方體，鼓勵學生想辦法得到它的體積， 以評判學生先期的學習經驗、學習困難和數學生長需求。

通過對學生的先期前測調研發現，造成學生真正認識體積含義的障礙有兩個。一是感受什么是“空間”，這比體積本身更難理解；二是表面積（或占地面積）和質量對體積含義認識的干擾，有近20%的學生明確表示“體積就是表面積（或占地面積）”，同時有34%的學生認為“質量大的物體體積就大”。 可以說“表面積”和“質量”是干擾學生正確建立體積概念最重要的兩個因素，教學中不能回避，需層層剝繭。而對于容積，70%的學生舉例說明什么是容積時，只舉出“杯子裝水”的例子，對于生活中形形色色的容器認識不全面；15%的學生認為“容積就是容量”(香港版教材稱容積為容量)，30%的學生認為“容積就是一個物體里面所能容納多少東西”，但對于“東西”的理解又很片面，只理解為液體，而對于固體和看不見摸不著的氣體占不占空間認識模糊；10%的學生對“所能容納”只理解為“裝有”而不是“裝滿”，或者認為“超出容器內部空間的部分”也是容積。 此外，“體積”和“容積”這兩個概念有很多相似之處，容易混淆， 學生對兩者的區別和聯系的認識和體會是理解上的另一重困難。

另外，100%的學生都能正確計數獲得由體積單位（比如1 立方厘米）的小正方體累積而成的物體的體積。 但面對長方體的體積時，89.2%的學生知道長方體的體積計算公式，10.8%的學生不知道怎么計算。追訪知道公式的學生：為什么長方體的體積是長乘寬乘高？ 83.3%的學生說不清楚， 就學過公式；16.7%的學生認為長乘寬是底面積，乘高就是有多少個底面積。可見，90%的學生知道長方體的體積公式，但是幾乎沒有學生能正確解釋。

由此可見，學生的度量意識比較弱，雖然有過一維長度和二維面積度量的經驗，但是不太容易在新的體積度量學習中遷移。 如何幫助學生自覺運用體積單位去度量一個長方體的體積，叩問度量本質，發展度量意識，這一點很重要。 雖然有近90%的學生知道長方體的體積計算公式，且公式也很容易記憶，但是對公式的理解仍然是單元學習的重點和難點。所以， 探索發現或驗證長方體的體積計算公式的形成過程，溝通圖形體積與圖形要素之間的聯系，在單元學習中更是尤為關鍵。

三、確定單元核心學習目標及成果表現

“‘觀念統領’ 單元教學的核心目標是意義理解和自主遷移， 包含TUK 三個不同層次的學習目標：需要掌握的知識和技能（知識技能目標， 簡稱為K目標），依據具體觀念設定的意義理解目標（U 目標）和遷移目標（T 目標）。 ”[1]由此，我們制訂了“體積測量”的TUK 目標（如表1）。

表1

需要說明的是，TUK 學習目標的結構只是重點幫助理解本單元將實現什么樣的知識意義的深度理解與自主遷移，是幫助學生核心素養落地的重要途徑之一。結合本單元的學習內容，還需要制訂基于標準、教材分析、學情評估，體現素養導向的更具體的學習目標。比如結合實際問題情境與設計實驗活動，形成體積、容積概念的表象，理解體積、容積的意義；認識體積、容積的計量單位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），會進行單位之間的換算，感受1 米3、1 分米3、1厘米3以及1 升、1 毫升的實際意義，發展量感；在問題解決的過程中通過設計實驗方案，探索某些不規則物體體積測量的方法，積累轉化度量的數學活動經驗， 在多樣化的策略中發展解決問題能力及創新意識，等等。

確定了單元核心學習目標之后，接下來需要著重思考的問題是：學生出現什么樣的預期表現或者學習成果可以說明學生的學習達成了學習目標？ 這就需要教師設計表現性學習任務來進行評判。 比如“表1”中的T 目標，不妨給學生一個三棱柱或圓柱，觀察學生是否能主動尋找立體圖形要素間的關系進行類比，或嘗試將此圖形轉化為長方體來獲得體積的計算。

四、設計單元學習思考的核心關鍵問題

數學學習的最高境界是問題引領下的自主探究學習，觀念指向下的單元整體教學就是要引領學生對重要的核心內容進行深度探究。因此，形成單元學習思考的核心關鍵問題十分重要，它可以聚焦單元具體觀念，幫助學生關聯先期的學習經驗而對問題進行深度探究，以強化對數學學習的深度理解與自主遷移，指向數學核心素養的培育，并促進學生的素養發展。 “表2”是體積測量單元的核心關鍵問題。

表2 “體積測量”單元學習思考的核心關鍵問題

需要指出的是， 第三個核心關鍵問題的設計意在指向數學研究方法的理解與遷移。實際學習中，學生在經歷得到長方體的體積的過程中積累了體積度量與問題思考的數學方法與活動經驗，通過持續反思與遷移這樣的方法與經驗，可以自主獲得更多立體圖形（如其他棱柱體、圓柱）的體積。

五、分解核心關鍵問題的子問題，形成有意義的單元學習任務序列

在設計了單元學習思考的核心關鍵問題之后，需要進一步將關鍵問題分解為系列子問題，并在此基礎上設計具有挑戰性、充滿智慧、有價值、有意義的單元學習任務序列。 以具體觀念為指向統領單元整體教學建構，在學習子問題基礎上設計學習任務序列時，需要教師深度鉆研教材、挖掘教材、審視教材又超越教材，深度理解教材的編排意圖，同時又能在基于學情前測調研、基于發展學生數學核心素養的基礎上進行科學合理的創造設計。

基于上述思考，我們設計了體積測量單元的學習任務序列（如表3）。

表3 “體積測量”單元學習任務序列設計

上述表2、表3 只呈現了一種單元學習思考的關鍵問題、學習任務序列，同時還需要增加其他核心課時的學習活動任務。 圖2 即是在上述觀念指向下以單元典型核心課為例增加設計的單元整體教學結構圖。

總之，觀念指向的單元整體教學建構是在數學大觀念的具化引領下注重結構與關聯的力量，幫助學生在對測量對象核心概念本質意義深度理解的基礎上，形成體積測量的數學思想方法，并遷移應用到新的問題情境中促進對知識意義的深度理解與自主遷移，以培育學生良好的數學思維品質；基于學習內容的數學本質與數學學科的育人價值，幫助學生從單元之形到素養之魂，最終達成數學核心素養的發展。本文以體積測量單元為例，具體闡述了單元整體教學分析、設計、研發的過程，并根據教學實踐的反饋進一步反思和調整，使觀念指向的單元整體教學更加有意義、有價值，以最終指向學生數學素養的發展。