具有共因故障和不完全檢測(cè)的多部件可修復(fù)系統(tǒng)非負(fù)時(shí)間依賴(lài)解的存在唯一性

閆 妍，趙志欣

(長(zhǎng)春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130032)

0 引言

共因故障是在短時(shí)間內(nèi)或者同一時(shí)間，多個(gè)相關(guān)部件由于共同原因而發(fā)生失效的現(xiàn)象.目前，復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)中共因故障普遍存在，特別是在高可靠性設(shè)備中，如核設(shè)施和航空航天器等.一般地，具有共因故障的可修復(fù)系統(tǒng)雖然會(huì)增加系統(tǒng)可靠性建模分析的難度，但是其分析結(jié)果也更接近實(shí)際情況.結(jié)合共因故障，許多學(xué)者都對(duì)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了廣泛研究.SINGH[1]研究了具有檢測(cè)不完全和共因故障的多部件并聯(lián)系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)有效性的測(cè)度；ALIZADEH[2]結(jié)合共因故障給出了冗余安全相關(guān)系統(tǒng)模型，分析了系統(tǒng)可靠性指標(biāo)；CHENG[3]給出了具有逆變器、不可靠轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)和共因故障太陽(yáng)能電力系統(tǒng)模型，提出了可靠性指標(biāo)顯式解的算法；黃泰俊[4]提出了概率共因失效的多狀態(tài)可靠度計(jì)算方法，解決了單元和系統(tǒng)狀態(tài)丟失的問(wèn)題.這些研究多集中于系統(tǒng)的可靠性及相關(guān)指標(biāo)，本文將在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)非負(fù)時(shí)間依賴(lài)解的存在唯一性進(jìn)行研究.

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)由兩個(gè)相同的部件并聯(lián)組成，每個(gè)部件由C個(gè)串聯(lián)可維修的獨(dú)立組件構(gòu)成.部件有兩種狀態(tài)，即工作狀態(tài)和故障狀態(tài).系統(tǒng)有一個(gè)檢測(cè)器，用于維修設(shè)備和更換設(shè)備.當(dāng)部件發(fā)生故障時(shí)，檢測(cè)器進(jìn)行檢測(cè).如果檢測(cè)器成功檢測(cè)出部件中故障的組件，則維修故障組件；如果檢測(cè)器未檢測(cè)出部件中故障的組件，則更換該部件.維修遵循先壞先修的原則，維修后立即返回系統(tǒng)使用，同時(shí)假定修后如新.在維修期間，檢測(cè)器監(jiān)測(cè)維修過(guò)程.只有一個(gè)以上部件運(yùn)行時(shí)共因故障才會(huì)發(fā)生.檢測(cè)、維修、共因故障和更換相互獨(dú)立，部件或組件的故障率均假定為常數(shù)，系統(tǒng)維修時(shí)間服從一般分布.

系統(tǒng)狀態(tài)如下：狀態(tài)S0表示兩部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運(yùn)行且處于完好狀態(tài)；狀態(tài)S1，一個(gè)部件發(fā)生故障，另一個(gè)部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運(yùn)行；狀態(tài)S2，檢測(cè)器檢測(cè)出故障部件中第c個(gè)組件故障，并對(duì)故障組件進(jìn)行維修，另一部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運(yùn)行；狀態(tài)S3，檢測(cè)器未檢測(cè)出部件中故障組件，對(duì)其進(jìn)行更換，另一部件處于工作狀態(tài)，系統(tǒng)正常運(yùn)行；狀態(tài)S4，對(duì)故障部件中的組件進(jìn)行維修，另一部件發(fā)生故障并等待檢測(cè)，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S5，部件發(fā)生故障并進(jìn)行更換，另一部件發(fā)生故障并進(jìn)行檢測(cè)，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S6，部件發(fā)生故障并進(jìn)行檢測(cè)，另一部件發(fā)生故障并等待檢測(cè)，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S7，部件發(fā)生故障并進(jìn)行更換，另一部件發(fā)生故障并檢測(cè)出第c個(gè)組件故障，故障組件進(jìn)行維修，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S8，部件發(fā)生故障并進(jìn)行替換，另一部件發(fā)生故障并等待更換，系統(tǒng)失效；狀態(tài)S9，共因故障導(dǎo)致處于系統(tǒng)失效.結(jié)合文獻(xiàn)[1]，利用隨機(jī)過(guò)程并全概率分析的方法，系統(tǒng)可以用微分-積分方程組描述為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

邊界條件為

P9(0,t)=β(P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)).

(11)

初值條件為

P0(0)=1，其余為0.

其中，P9(x)絕對(duì)連續(xù).D(B)=X，系統(tǒng)方程可以轉(zhuǎn)化為Banach空間X中的抽象Cauchy問(wèn)題：

(12)

2 主要結(jié)論

系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為抽象Cauchy問(wèn)題后，為了證明該系統(tǒng)解的存在唯一性，先討論系統(tǒng)算子的相關(guān)性質(zhì).

證明 對(duì)任意給定的Y=(y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9(x))∈X, 考慮方程(rI-A)P=Y, 即

結(jié)合邊界條件, 解得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由(13)～(22)并結(jié)合Fubini定理, 可以得到

定理2D(A)在X中稠.

由定理1、定理2和Hille-Yoside定理，算子A生成一個(gè)C0半群.易得‖BP‖≤N‖P‖，這里N=max{2α,pcpγ+qγ+α,μ+α,η+α,μ,η+pcpγ+qγ,pcpγ+qγ,η,η+μ,M}.顯然算子B為有界線性算子.再由C0半群有界線性算子擾動(dòng)定理，則可以得到如下定理.

定理3系統(tǒng)算子A+B生成一個(gè)C0半群T(t).

定理4系統(tǒng)算子A+B是耗散算子.

證明 對(duì)?P=(P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9(x))T∈D(A)，取

這里，

結(jié)合邊界條件，可得

[-(α+β+pcpγ+qγ)[P1]++2α[P0]++μ[P4]++η[P5]+]+[-(α+β+μ)[P2]++

pcpγ[P1]++η[P7]+]+[-(α+β+η)[P3]++qγ[P1]++μ[P7]++η[P8]+]+

[-μ[P4]++α[P2]++pcpγ[P6]+]+[-(η+pcpγ+qγ)[P5]++α[P3]++qγ[P6]+]+

[-(pcpγ+qγ)[P6]++α[P1]+]+[-(η+μ)[P7]++pcpγ[P5]+]+[-η[P8]++qγ[P5]+]-

由定理3、定理4和Philps定理[6]，A+B生成一個(gè)正壓縮C0半群T(t).

定理5系統(tǒng)(12)存在唯一非負(fù)時(shí)間依賴(lài)解，且‖P(t,·)‖=1.