具有共因故障和不完全檢測的多部件可修復系統非負時間依賴解的存在唯一性

閆 妍，趙志欣

(長春師范大學數學學院，吉林 長春 130032)

0 引言

共因故障是在短時間內或者同一時間，多個相關部件由于共同原因而發生失效的現象.目前，復雜的工業系統中共因故障普遍存在，特別是在高可靠性設備中，如核設施和航空航天器等.一般地，具有共因故障的可修復系統雖然會增加系統可靠性建模分析的難度，但是其分析結果也更接近實際情況.結合共因故障，許多學者都對系統可靠性進行了廣泛研究.SINGH[1]研究了具有檢測不完全和共因故障的多部件并聯系統，得到了系統有效性的測度；ALIZADEH[2]結合共因故障給出了冗余安全相關系統模型，分析了系統可靠性指標；CHENG[3]給出了具有逆變器、不可靠轉換開關和共因故障太陽能電力系統模型，提出了可靠性指標顯式解的算法；黃泰俊[4]提出了概率共因失效的多狀態可靠度計算方法，解決了單元和系統狀態丟失的問題.這些研究多集中于系統的可靠性及相關指標，本文將在文獻[1]的基礎上對系統非負時間依賴解的存在唯一性進行研究.

1 系統模型

系統由兩個相同的部件并聯組成，每個部件由C個串聯可維修的獨立組件構成.部件有兩種狀態，即工作狀態和故障狀態.系統有一個檢測器，用于維修設備和更換設備.當部件發生故障時，檢測器進行檢測.如果檢測器成功檢測出部件中故障的組件，則維修故障組件；如果檢測器未檢測出部件中故障的組件，則更換該部件.維修遵循先壞先修的原則，維修后立即返回系統使用，同時假定修后如新.在維修期間，檢測器監測維修過程.只有一個以上部件運行時共因故障才會發生.檢測、維修、共因故障和更換相互獨立，部件或組件的故障率均假定為常數，系統維修時間服從一般分布.

系統狀態如下：狀態S0表示兩部件處于工作狀態，系統正常運行且處于完好狀態；狀態S1，一個部件發生故障，另一個部件處于工作狀態，系統正常運行；狀態S2，檢測器檢測出故障部件中第c個組件故障，并對故障組件進行維修，另一部件處于工作狀態，系統正常運行；狀態S3，檢測器未檢測出部件中故障組件，對其進行更換，另一部件處于工作狀態，系統正常運行；狀態S4，對故障部件中的組件進行維修，另一部件發生故障并等待檢測，系統失效；狀態S5，部件發生故障并進行更換，另一部件發生故障并進行檢測，系統失效；狀態S6，部件發生故障并進行檢測，另一部件發生故障并等待檢測，系統失效；狀態S7，部件發生故障并進行更換，另一部件發生故障并檢測出第c個組件故障，故障組件進行維修，系統失效；狀態S8，部件發生故障并進行替換，另一部件發生故障并等待更換，系統失效；狀態S9，共因故障導致處于系統失效.結合文獻[1]，利用隨機過程并全概率分析的方法，系統可以用微分-積分方程組描述為

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

邊界條件為

P9(0,t)=β(P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)).

(11)

初值條件為

P0(0)=1，其余為0.

其中，P9(x)絕對連續.D(B)=X，系統方程可以轉化為Banach空間X中的抽象Cauchy問題：

(12)

2 主要結論

系統轉化為抽象Cauchy問題后，為了證明該系統解的存在唯一性，先討論系統算子的相關性質.

證明 對任意給定的Y=(y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9(x))∈X, 考慮方程(rI-A)P=Y, 即

結合邊界條件, 解得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由(13)～(22)并結合Fubini定理, 可以得到

定理2D(A)在X中稠.

由定理1、定理2和Hille-Yoside定理，算子A生成一個C0半群.易得‖BP‖≤N‖P‖，這里N=max{2α,pcpγ+qγ+α,μ+α,η+α,μ,η+pcpγ+qγ,pcpγ+qγ,η,η+μ,M}.顯然算子B為有界線性算子.再由C0半群有界線性算子擾動定理，則可以得到如下定理.

定理3系統算子A+B生成一個C0半群T(t).

定理4系統算子A+B是耗散算子.

證明 對?P=(P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7,P8,P9(x))T∈D(A)，取

這里，

結合邊界條件，可得

[-(α+β+pcpγ+qγ)[P1]++2α[P0]++μ[P4]++η[P5]+]+[-(α+β+μ)[P2]++

pcpγ[P1]++η[P7]+]+[-(α+β+η)[P3]++qγ[P1]++μ[P7]++η[P8]+]+

[-μ[P4]++α[P2]++pcpγ[P6]+]+[-(η+pcpγ+qγ)[P5]++α[P3]++qγ[P6]+]+

[-(pcpγ+qγ)[P6]++α[P1]+]+[-(η+μ)[P7]++pcpγ[P5]+]+[-η[P8]++qγ[P5]+]-

由定理3、定理4和Philps定理[6]，A+B生成一個正壓縮C0半群T(t).

定理5系統(12)存在唯一非負時間依賴解，且‖P(t,·)‖=1.