一類數學物理方程整體解的存在性和爆破問題

耿永才，胡小林

(上海應用技術大學理學院，上海 201418)

1 擬線性雙曲方程組柯西問題整體解以及爆破相關知識

數學物理方程在很多種情況下都可以用偏微分方程來表示(包含未知函數及其偏導數的等式).本文主要考慮一類一階擬線性雙曲方程組柯西問題(初值問題)解的整體存在性和爆破問題.擬線性方程組定義是方程組中最高階導數為線性，但是方程本身是非線性，也就是說，方程中最高階導數的系數與它本身無關，但整個方程是非線性的.例如，考慮方程組(一階擬線性方程組)：

(1.1)

其中，u為向量(u1,u2,…,un)T，x為表示時間，t為空間變量.

如果(1.1)中矩陣A(u)的特征值都是實數，并且是可對角化的，則稱方程組(1.1)是雙曲型的.進一步地，如果這些特征值互不相同，則稱(1.1)為嚴格雙曲系統.

與拋物、橢圓系統相比，線性、非線性雙曲方程組解的性質的差別非常大.這也是我們選擇雙曲方程組研究的主要原因.對于系統(1.1)的解的研究，最根本也最自然的問題就是解是否存在，是局部經典解還是整體經典解，如果整體經典解不存在，在什么時候解會發生爆破.有關一階擬線性方程組柯西問題整體解是否存在的問題，LI[1]給出了一般的結論.但是如果想直接了解整體解以及解的爆破問題，文獻[2]中給定了系統(1.1)的初值滿足不同條件下解的整體存在性和爆破結果，但是有些過于抽象，證明過程十分嚴謹且復雜，不太直觀.所以我們想用一些簡單例子，給出直觀的證明，并在證明過程中指出定理條件的必要性.如果給定初值u(x,0)=φ(x)有緊支集，并且在u=0的鄰域內A(u),φ(x)∈C2，系統(1.1)是完全非線性的，或者部分特征值是線性退化，FRITZ[3]和LIU[4]討論了當初值比較小時C2解的爆破問題.

在文獻[2]的結論中，系統(1.1)是否弱線性退化起著至關重要的作用.若方程組(1.1)第i個特征向量λi(u)是弱線性退化的，即如果沿著過原點的第i個特征軌跡ui(s)，有

對于適當小的s成立.對于任意很小的│u│,s，有

?λi(u)ri(u)=0，λi(ui(s))=λi(0).

(1.2)

若對每個特征上述結論成立，則稱方程組為弱線性退化.當系統不是弱線性退化時，則一定存在一個非空集合J?{1,2,…,n}，對任意的i∈J，存在一個整數αi≥0，使得

(1.3)

2 研究綜述

2.1 高維方程組柯西問題結果

對于柯西問題[2]：

(2.1)

結論一 如果在u=0的鄰域內，A(u)∈C1,φ(x)∈C2，并且系統是嚴格雙曲且弱線性退化的.并且存在μ>0，使得下式成立：

θ=sup{(1+x)μ(│φ(x)│+│φ′(x)│)}<∞.

(2.2)

則存在一個很小的θ0>0，對于任意給定的θ∈[0,θ0], 柯西問題(2.1)存在一個唯一整體光滑解.

結論二 進一步地，假設φ(x)=εψ(x)，且系統不是弱線性退化的，滿足：

sup{(1+x)μ(│ψ(x)│+│ψ′(x)│)}<∞,

(2.3)

并且α=min{αi,i∈J}<∞. 如果i0∈J1={i│i∈J,αi=α}，使得li0(0)ψ(x)≠0，(這里li0表示第i0族左特征向量)，則問題(2.1)經典解的一階導數在有限時間內一定發生爆破，并且生命區間T(局部經典解的存在區間)滿足：

cε-(1+α)≤T≤Cε-(1+α)?T≈ε-(1+α).

(2.4)

這里，c,C為與ε無關的常數.

上述兩個結論的證明可以參見文獻[1].為了便于理解，給出以下兩方面的解釋.

2.2 一維方程組結果

以下述擬線性雙曲方程組的柯西問題為例，說明解的整體存在性和爆破問題，再用實際的數學物理方程來驗證上述兩個結論.

對于整體解的存在性，考慮一階一維擬線性雙曲類方程組[1]：

(2.5)

證明 首先驗證該結論條件與整體解存在性條件一致.由于φ(u)∈C1(R)，所以存在一個正常數C1，使得對任意的x∈R以及存在一個μ>0，有

接下來證明整體解的存在性.令特征方程如下：

(2.6)

對于解的爆破和生命區間問題，考慮下列問題：

(2.7)

假設ψ(x)∈C1(R)，假設存在整數α≥0，使得

(2.8)

則問題(2.7)的解會發生爆破，且生命存在區間T(ε)≈ε-(1+α).

(2.9)

假設根據隱函數存在定理，該問題不存在反函數，即不存在整體解.

進一步地，由(2.8)可解得

(2.10)

對λ(φ(α))在φ(α)=0處進行泰勒展開，利用(2.8)可得

根據(2.8)以及初始條件φ(α)=εψ(α).所以上式等價于下式：

(2.11)

將(2.11)代入(2.10)，可得

(2.12)

由于ψ∈C1，所以(2.12)意味著T(ε)≈ε-(1+α).

3 實例

物理模型1 非線性弦振動方程柯西問題：

首先引入變量v=ux，w=ut，原系統變為一階擬線性雙曲方程組：

物理模型2 一維拉格朗日坐標下等熵氣體動力學方程組：

非等熵氣體動力學方程組：

還有一些其他的數學物理模型，例如弦振動方程、彈性弦振動方程、氣體動力學拉格朗日坐標形式等，均可以按照上述方法求出系數矩陣的特征值、特征向量，驗證系統是否弱線性退化條件(1.2)，初始條件是否滿足(2.2)(2.3),來討論是否存在整體解和爆破問題.