楊振寧先生和冷原子物理

翟薈

(清華大學高等研究院,北京 100084)

早在20 世紀50 年代,楊振寧先生和他的合作者們就意識到,稀薄中性量子氣體中最主要的相互作用效應可以被s-波散射長度來描述,從而可以得到不依賴于粒子間相互作用的細節的普適描述.這一洞見奠定了量子氣體的理論基礎.他們還由此給出了玻色氣體基態能量的表達式,后來被稱為“Lee-Huang-Yang 修正”.實驗物理學家克服種種困難,在近40 年后的1995 年,才將冷原子氣體冷卻到量子簡并.此后,冷原子物理展示出來種種優勢,包括相互作用和維度的可調控性以及測量的精密性,這使之成為研究量子多體物理的理想平臺之一.多個冷原子實驗觀測到“Lee-Huang-Yang 修正”的效應.通過有效地降低系統維度,冷原子實驗對一維體系的研究,還證實了楊先生在20 世紀60 年代提出的Yang-Yang thermodynamics.2010 年左右,年逾八旬的楊先生再次研究一維可解模型,他發現的一維多分量費米子系統的極限行為,又很快被冷原子實驗證實.通過內態調控產生等效的人工維度,冷原子體系還可以模擬高維體系的物理,其中包括實驗模擬了楊先生于20 世紀70 年代提出的SU(2)非阿貝爾規范場中的Yang monopole 這一拓撲解.這些冷原子物理的進展,展示了楊先生的這些工作不僅具有理論的深度,還對實際實驗的發展具有長遠的影響力.

1956 年,楊振寧先生和李政道先生[1]寫下了著名的“弱作用宇稱不守恒”的論文,隨后于1957 年他們因此獲得了諾貝爾物理學獎.可能大家并不太知道,就在同一時期,他們還在研究一個量子統計物理的問題—具有硬球相互作用的稀薄氣體的量子多體物理.差不多在宇稱不守恒論文發表的同時,他們還將另一篇文章投稿到了Physical Review[2].這篇文章總結了他們已經得到的關于稀薄硬核玻色或費米氣體的結果.這其中就包括該玻色子多體系統基態能量的表達式[2]:

式中,ρ是玻色子的密度,as是粒子間的s-波散射長度.次年,楊振寧先生和李政道先生、黃克孫先生[3]又發表了另一篇文章,他們利用贗勢方法系統地給出了研究硬球玻色模型的計算細節,計算得到了和(1)式同樣的關于基態能量的表達式.這一結果后來被稱為“Lee-Huang-Yang 修正”.2012 年,在慶祝楊先生90 華誕的活動上,清華大學贈給了楊先生一個禮物: 精致的黑色立方體的四面鐫刻著楊先生在粒子物理、場論、統計物理和凝聚態物理四個方面的13 項杰出的貢獻.其中統計物理的那一面,“1957 Bosons”指的就是這個工作[3].

楊先生和他的合作者在1956—1958 年期間的一系列工作,其實已經開拓了一個全新的領域.但他們還需要等待40 年,才能看到這個領域真正的誕生.這個領域現在被稱為“量子氣體”或“超冷原子氣體”.近四十年后的1995 年,在堿金屬原子氣體中實驗實現了玻色-愛因斯坦凝聚,標志著這一領域的誕生[4,5].

而在當時,他們的研究動機主要是為了理解液氦超流.但是,液氦是一個液體,氦原子之間的相互作用非常強,而且在液氦中,氦原子相對距離比較近,在這個距離上,原子間相互作用勢較為復雜.楊先生和他的合作者們在探索一個相對簡單些的情形: 一方面,原子間的相互作用在這個多體系統中仍然扮演著重要的作用;另一方面,處理相互作用的所需的近似方法的有效性是可控的.在文獻[6]中,他們寫道:

“ It is physically obvious that a complete knowledge of the detailed interaction potential is often not necessary for a satisfactory description of the system.For example,when a state of the many-body system is such that the particles are so far apart from one another that their fields of force do not appreciably overlap,their mutual influence is essentially determined by the asymptotic wave functions,which are directly related to the phase shifts.Furthermore,under certain conditions only a few phase shifts are important.For example,at low energies,all but the s-wave phase shift are negligible.The proposed formulation would provide a natural framework in which an approximation such as this could be systematically carried out.”

今天看來,這一段論述仍然非常精彩而重要.這一段論述所體現的洞見揭示出中性原子量子氣體這一系統獨特而重要的優勢.和液體所不同的是,氣體是稀薄的、密度低.和電子所不同的是,中性原子間的相互作用勢是短程的.因此,在原子氣體中,原子間的間距遠大于相互作用的力程.在這樣的情形下,相互作用效應本質上被波函數的漸近行為所決定,而對于短程勢而言,波函數的漸近行為又體現在散射相移上.在低能下,s-波散射相移起到決定性的作用,而s-波散射相移又主要被s-波散射長度決定.因此,對量子氣體來說,并不需要知道原子間相互作用復雜的細節,最主要的相互作用的物理可以完全由s-波散射長度來刻畫.正因為如此,量子氣體中的相互作用效應常常能得到簡潔而普適的刻畫.這正是量子氣體成為一個研究量子多體物理的理想平臺的重要原因.1995 年超冷原子氣體實驗實現以后,這一優勢被廣為認同.而楊先生和他的合作者們在此40 年前就已經將其闡述得非常清楚了.

意識到as是描述原子間相互作用的最重要的參數之后,就不難發現,是一個無量綱的參數.當這個參數是一個小量時,就可以將基態能量等物理量按照這個參數展開,這就得到了(1)式.(1)式中第1 項來自于平均場效應,它描述的是一個原子感受到的其他原子平均的一個相互作用效果.因此,這一項正比于原子的平均密度.第2 項是完全的量子效應,它代表的是超越平均場之外的量子修正.這一修正就是“Lee-Huang-Yang 修正”.這一項也有明確的物理意義,那就是真空零點能.在無相互作用的情況下,該系統的基態是所有的玻色子都凝聚在零動量上.有相互作用之后,一對玻色子可以從零動量被散射到正負相反的有限動量,這就產生了所謂的Bogoliubov 元激發.在每一個動量上,都有一個Bogoliubov 元激發的模式,而由于量子漲落,每一個元激發模式都有一個非零的零點能.也就是說,在零溫下,即便每個Bogoliubov 元激發的模式都沒有實際的占據,這些零點能也會對系統的基態能量產生貢獻.對所有動量上這些零點能的求和,就構成了“Lee-Huang-Yang 修正”.正因為如此,我們說“Lee-Huang-Yang 修正”代表了真空的零點能.而且,這個求和會表現出紫外發散,因而需要被重整化.為了消除發散,楊先生他們用文獻[6]中引入的贗勢方法來進行重整化,最終得到了一個有限的結果.

雖然這些奠基性的理論在20 世紀50 年代就已經提出來了,但是,離實驗實現量子氣體還需要40 年的時間.這里有很多實驗上的困難需要被克服,為此還有很多實驗技術需要被發明.首先,需要保持這個系統足夠稀薄.只有這樣,才能使得兩體碰撞相對三體碰撞更占主導.這樣的話,系統才能在氣態達到熱平衡,而不會形成化學上更穩定的分子態,甚至成為固體.其次,需要防止氣態原子附著在腔壁上.這個問題被20 世紀80 年代發展的磁束縛和90 年代發展的激光束縛所解決.再則,因為氣體很稀薄,所以要達到量子簡并,就需要更低的溫度.從20 世紀70—80 年代先后發展出來的激光冷卻和蒸發冷卻,成為解決這一問題的重要手段.隨著這些技術手段的不斷成熟,終于在1995 年,堿金屬玻色原子氣體率先被冷卻到量子簡并,并在其中觀測到玻色-愛因斯坦凝聚的現象[4,5],這一成就在2001 年獲得了諾貝爾物理獎[7].

從1995 年以來,超冷原子物理得到了飛速的發展[8].楊振寧先生從一開始就極力提倡和推動這一領域,特別是建議中國學者積極投身到這一研究方向.在玻色-愛因斯坦凝聚實驗實現后不久,楊先生自己也立刻回到了這個領域開展研究,又發表了多篇研究論文[9,10].20 世紀50 年代早期的工作主要考慮的是熱力學極限下的均勻體系,而在實驗中,由激光或磁場產生了一個諧振子勢阱,以此來束縛原子.楊先生等就將20 世紀50 年代的一些早期的結果推廣到了有諧振子外勢的情況[9,10].

隨著冷原子物理的發展,很快還展現出其他幾方面的優勢[8].一是可調控性.例如,原子間的相互作用可以被一種稱為Feshbach 共振的機制來調節;系統的維度也可以被光晶格等光和原子相互作用的手段來操控.二是測量的高精度.例如,為了發展原子鐘,需要將頻率測準到很高的精度.這一技術就可以被遷移到研究量子多體物理,例如將系統的相互作用能測準到一個很高的精度.

利用冷原子體系的這些優勢,一系列的實驗很快就觀測到“Lee-Huang-Yang 修正”的效應[11-16].因為“Lee-Huang-Yang 修正”是按照展開的第二階項,因此,如果太小的話,這一項的效應就很難被觀測到.也就是說,要想觀察到“Lee-Huang-Yang 修正”的效應,需要適當地把as調大一些.而Feshbach 共振正是這樣一個調節散射長度的手段.另一方面,冷原子體系的能量可以通過集體激發的頻率、密度分布、壓強或譜學等方法來測量[11-16].所有這些實驗測量都發現,隨著的增大,實驗測得的能量明顯地偏離平均場的結果,而和包含了“Lee-Huang-Yang 修正”的結果更為吻合.圖1 展示了一個有代表性的實驗結果.

圖1 “Lee-Huang-Yang 修正”的實驗證實.縱軸壓強 h 反映了系統的狀態方程,橫軸是 μa3/g.這里,a 就是文中的散射長度 as;μ 是巨正則系統的化學勢;g=4π?2a/m,m是原子的質量.黑色點是實驗結果,紅色實線是加入“Lee-Huang-Yang 修正”的理論結果,黑色實線是蒙特卡羅計算的結果,紅色虛線是沒有加入“Lee-Huang-Yang 修正”的平均場結果.插圖是弱相互作用區域的結果 [15]Fig.1.Experimental observation of the Lee-Huang-Yangcorrection.The equation-of-state,measured through the pressure h,is plotted as a function of μa3/g.Here a is the s-wave scattering length as in the text.μ is the chemical potential in the grand canonical ensemble.g=4π?2a/m .The solid red line is theoretical result with the Lee-Huang-Yang corrections,and the solid black line is the result obtained by quantum Monte Carlo simulation.The red dashed line is the mean-field result without including the Lee-Huang-Yang corrections.The inset is a zoom-in plot of the weakly interacting regime[15].

在冷原子體系中,除了相互作用的強度可以調節以外,系統的維度也可以調控.特別地,對維度的調控使實現一維多體系統成為可能.在20 世紀60 年代,楊先生利用Bethe 提出的Bethe Ansatz方法[17],對一維體系的多體問題做了大量的研究工作.其中最為著名的工作就是他求解了一維接觸相互作用的自旋-1/2 的費米子多體問題[18].這導致了著名的Yang-Baxter 方程,后來在數學物理中產生了重大的影響.在20 世紀60 年代,這些問題被看成純粹的數學物理問題.而40 年后,冷原子物理的發展使得這些問題成為非常實際的問題.

1969 年,楊先生和他的弟弟楊振平教授[19]一起求解了一維接觸相互作用的玻色子體系有限溫度的統計問題.這一工作在楊先生的13 項杰出成就中也被提到,被標注為“1969 Finite Temperature”.此前,Lieb 和Liniger[20]求解了這個系統的基態問題.楊先生的工作解決了整個有限溫度的問題.這種有相互作用的多體統計物理問題可以被嚴格求解,也是一個很少見的情況.這一結果被稱為Yang-Yang thermodynamics.Yang-Yang thermodynamics 的預言也在冷原子體系被實驗所證實.如圖2 所示,無論是測量的密度分布還是動量分布,都和Yang-Yang thermodynamics 的預言非常吻合[21].

圖2 Yang-Yang Thermodynamics 的實驗證實 (a)—(d) 原位成像的密度分布;(e)—(h) 動量分布.實線是Yang-Yang Thermodynamics 的理論預言,虛線是無相互作用玻色子的結果.黑色的點是實驗數據點[21]Fig.2.Experimental observation of Yang-Yang thermodynamics: (a)—(d) The in-situ density distribution;(e)—(h) the momentum distribution.The solid lines are obtained from the Yang-Yang thermodynamics and the dashed lines are the results of non-interacting bosons[21].

2010 年左右,楊先生已年逾八旬.他對冷原子物理在一維系統的這些進展非常感興趣,重新回來研究這方面的課題.他和尤亦莊一起,求解了一維N個分量的費米子系統的狀態方程.他們發現,當內態數目N趨向于無窮大時,這個多分量費米體系的狀態方程趨于一個單分量玻色子體系的狀態方程[22].佛羅倫薩的一個冷原子實驗組很快就實驗證實了這個理論預言[23].實驗上,他們通過測量集體激發模的頻率來反映系統的狀態方程.他們通過改變內態的數目,測量這個激發模的頻率,實驗結果如圖3 所示.他們發現,當內態數目增加時,這個激發模的頻率趨近于單分量玻色子系統中的同種激發模的頻率[23].這一實驗結果和楊先生論文的預言非常吻合[22].佛羅倫薩的實驗文章中引用了楊先生和尤亦莊的論文,并寫道:

圖3 N 分量一維費米氣體的實驗結果.β=ωB/ωx,其中 ωB 是測得的沿方向系統呼吸模的頻率,ωx 是沿 方向諧振子勢阱的頻率.橫軸是費米子內態的數目N.其中正方形方塊是實驗數據,圓圈是理論預言.上面的橫線是無相互作用(N=1)費米子的情況;下面的橫線是單分量玻色子的情況,即 N→∞ 的極限情況[23]Fig.3.Experiments on N-component one-dimensional Fermi gas.β=ωB/ωx,where ωB is the breathing mode frequency along and ωx is the harmonic trap frequency along .This frequency is plotted as a function of the number of fermion components N.The squares are experimental data and the circles are theoretical predictions.The upper horizontal line shows the theoretical value for non-interacting Fermi gas (N=1) and the lower line shows the result for spinless bosons,as N→∞ limit[23].

“ This bosonic limit forN→∞ is aremarkable property of multi-component 1Dfermions that has been pointed out theoretically only very recently and that our experimental system is capable to clearly evidence.”

冷原子體系的可調控性,不僅可以等效地降低系統的維度,而且還可以等效地提升系統的維度.降低系統的維度通常是通過光晶格等方法產生一個束縛勢,限制原子在其他方向的運動.而另一方面,通過光和原子的相互作用還可以耦合原子不同的內態[24].如果把這些耦合起來的內態等效地看成一個“人工維度”的話,就可以等效地提升系統的維度,從而利用冷原子體系去實現一些高維空間的物理.

1954 年,楊先生和Mills[25]一起提出了非阿貝爾規范場理論,后來被稱為Yang-Mills 理論.他們將電磁理論這一U(1)規范理論推廣到非阿貝爾的情形.Yang-Mills 理論后來成為統一電磁相互作用、弱作用和強作用的標準模型的基礎.在三維空間電磁理論這一U(1)阿貝爾規范理論中,存在著名的Dirac 磁單極子解.Dirac 磁單極子是電磁場的拓撲缺陷.數學上,刻畫這一拓撲缺陷的工具是第一類陳數:

第一類陳數是磁場B或者說阿貝爾規范場的場強Fμν定義在三維空間中一個二維閉曲面S2上的積分.1978 年,楊先生[26]將Dirac 磁單極子解推廣到SU(2)非阿貝爾規范場的情況.這個情況下的磁單極子解后來被稱為Yang monopole.Yang monopole 存在于五維空間中,它的拓撲特性是由第二類陳數來刻畫的.第二類陳數是定義在五維空間中一個四維閉合曲面S4上的積分,它的表達式是

這里聯系非阿貝爾規范場的場強F和規范式A的公式,就是楊先生和Mills 文章中給出的著名的公式[25]:

SU(2)非阿貝爾規范場中的Yang monopole 具有非零的第二類陳數,但是其第一類陳數總是為零.

美國國家標準局的實驗組用耦合原子內態的方法來模擬空間維度,從而來模擬Yang monopole[27].特別地,他們將4 個不同的內態用5 個獨立的參數耦合起來,并通過巧妙的設計,使得這5 個參數恰巧位于一個4 維球上.他們測量了這個體系的第一類陳數和第二類陳數.如圖4 所示,他們發現第一類陳數總是等于零,而第二類陳數會隨著Yang monopole 移出球面而從1 變到0.

圖4 實驗觀測到Yang monopole (a) 隨著Yang monopole移入或移出球面,系統拓撲的變化;(b) 第一類陳數(下圖)和第二類陳數(上圖).第一類陳數總是零.第二類陳數隨著Yang monopole 移出球面,從1 變成0[27]Fig.4.Experimental observation of Yang monopole: (a) Illustration of the topological transition when the Yang monopole moves out of the sphere;(b) the first (lower) and the second (upper) Chern number.The first Chern number is constantly zero and the second Chern number changes from unity to zero as the Yang monopole moves out of the sphere[27].

楊先生的工作先于實驗近40 年,奠定了冷原子物理的理論基礎.楊先生在20 世紀50—70 年代的多個理論工作,時隔幾十年之后,被冷原子實驗所證實.楊先生年逾八旬,再重新研究相關理論問題,提出的新理論又很快被實驗證實.

自冷原子這一領域從1995 年誕生以來,楊先生一直關注重視這個領域,多次公開談到這是一個有發展前途的研究方向.二十多年來,冷原子物理的發展,憑借其高度的可調控性和測量的精確性等優勢,不僅證實了楊先生的一系列理論預言,而且在量子多體物理,特別是量子多體非平衡動力學方面,取得了很多令人矚目的成果.此前,針對量子多體系統的研究,主要是基于固體材料的凝聚態物理研究的內容.近年來,冷原子量子氣體已成為研究量子多體物理的另一個重要平臺.冷原子物理和凝聚態物理既有很大的交集,又高度互補,兩者相得益彰.兩者的協同發展,會更加豐富我們對量子物質的理解,有益于未來量子科技的發展.

楊先生的這些工作既具有理論的深度,又能和實驗結合,并且對實驗產生長久的影響力.這不禁讓人稱奇.楊先生的研究工作,是如何能達到這個境界的,值得我們深思.我想,我們選擇一個研究課題,有兩方面的考量: 一是這個題目和當前實際物理系統之間的關系;二是這個題目和基本物理問題或其中優美的數學結構的關系.最為重要的是,我們如何能在這兩種考量之間取得一個平衡.毫無疑問,楊先生在兩者之間取得的平衡,可謂極致.

注: 該文章英文版,收錄于World Scientific 出版社將出版的A Festschrift for the Yang Centenary: Scientific Papers.