雙零階貝塞爾波束的傳播及對單軸各向異性球的散射特性*

李順 李正軍? 屈檀 李海英 吳振森

1) (西安電子科技大學物理學院,西安 710071)

2) (西安電子科技大學,信息感知技術協同創新中心,西安 710071)

3) (西安電子科技大學電子工程學院,西安 710071)

基于廣義洛倫茲Mie 理論,研究了單軸各向異性球形粒子對兩束具有任意傳播和極化方向的零階貝塞爾波束的傳播和散射特性,并與單零階貝賽爾波束入射單軸各向異性球形粒子時的傳播和散射特性進行了對比研究.利用球矢量波函數的正交關系及坐標旋轉定理,導出了任意傳播和極化方向零階貝塞爾波束的球矢量波函數的展開形式,通過矢量疊加得到了總入射場的展開系數.基于傅里葉變換方法和切向連續的邊界條件,得到了單軸各向異性球內部電磁場的球矢量波函數展開式,并導出了散射系數解析表達式.將零階貝塞爾波束退化成平面波,通過將其入射到單軸各向異性球形粒子的雷達散射截面角分布與文獻結果進行對比,驗證了本文理論及程序的正確性.數值分析了入射角、錐角及極化角等參數對雷達散射截面角分布的影響.本文理論和數值結果希望能應用于多波束入射下各向異性粒子、生物細胞等復雜粒子體系的散射、粒徑分析以及光學俘獲等特性的研究中.

1 引言

自從Durnin[1]提出貝塞爾波束以來,由于其非衍射和自重構特性,受到越來越多的關注,并廣泛應用于不同的領域,如光捕獲和操作、粒徑分析、光導和對準等[2-5].作為激光束,許多學者對貝塞爾波束在球面和柱面坐標系中的輪廓和描述進行了深入研究[6-11].基于該描述,許多學者進一步研究了球形粒子對貝塞爾波束的散射問題.Marson[12]使用平面波分解方法研究了球體對零階貝塞爾的散射特性,Ma 和Li[13]研究了球形粒子對非偏振貝塞爾波束的散射.入射貝塞爾波束被認為是Cimár等[8]提出的平面波的疊加,并在球面矢量波函數方面進行了展開,實際上它是軸棱鏡生成的貝塞爾波束.基于廣義洛倫茲Mie 理論[14],Li 等[15]研究了由棱鏡生成的貝塞爾波束照射的球形粒子的散射.用積分局域近似法(integral local approximation,ILA),Ambrosio 和Herández-Figueroa[10]給出了零階貝塞爾波束的球矢量波函數展開系數.然而,貝塞爾波束由標量波理論描述,只有當圓錐角比較小時才能提供令人滿意的結果.Mishra[11]則利用矢量波理論來描述任意圓錐角的貝塞爾波束,得到了比較滿意無衍射特性的貝塞爾波束.使用這種矢量描述,Mitri[16]研究了各向同性球形粒子對零階貝塞爾波束的散射特性.利用數值方法,Cui 等[17]研究了任意形狀的均勻介電粒子對零階貝塞爾波束的散射特性.Klimov[18]導出了零階貝塞爾波束在球體上散射的解析解,Wang 等[19]研究了零階貝塞爾波束激發的受激拉曼散射顯微成像用于散射組織中深層目標的成像.但是上述研究主要針對簡單的各向同向粒子的散射問題,關于各向異性粒子對零階貝塞爾波束散射特性的研究還比較少.

近年來,各向異性介質的散射特性因其在光信號處理、雷達散射截面(radar cross section,RCS)控制和微波器件制造等領域的應用越來越廣泛而備受關注.Stout 等[20]使用微分理論給出了由任意各向異性介質構成的任意形狀物體的散射解.Wong等[21]和Qiu 等[22]研究了單軸各向異性(uniaxial anisotropy,UA)球形粒子對平面波的散射特性.通過引入傅里葉變換的方法,Geng 等[23]利用解析方法研究了UA 球形粒子對平面波的散射特性,Wang 等[24]研究了旋轉各向異性介質球對離軸高斯波束的散射特性.近十年,Yuan 等[25,26]深入研究了在軸、離軸和任意入射高斯波束照射下UA 球體的散射特性.Wang 等[27]基于T矩陣方法研究了UA 介質球對高斯波束的散射特性,并與解析方法進行了比較驗證.Qu 等[28]研究了UA 球體對離軸零階貝塞爾波束的散射特性.

然而這些研究中,入射波僅限于平面波或單個貝塞爾波束,其中各向異性球體對雙零階貝塞爾波束散射特性的研究還是非常少的.特別地,由于主光軸的存在,零階貝塞爾波束離軸斜入射到UA 粒子上時,其散射特性與在軸和離軸入射情況下UA粒子的散射特性有很大不同.并且,與單波束光勢阱相比,雙波束光勢阱或駐波光勢阱用于非常小的同位素球形粒子及非各向同性粒子的光學捕獲更加具有優勢[29].這就要求對于非各向同性球形粒子對雙聚焦波束的散射理論及特性問題要研究透徹.基于此,本文主要研究了UA 球形粒子對于雙任意方向入射零階貝塞爾波束的散射問題,并詳細討論了雙零階貝塞爾波束的電場強度分布及作用于UA 球形粒子RCS 角分布的情況.值得注意的是,本文的研究與廣義洛倫茲Mie 理論不同的地方主要有兩點: 一是入射波束從高斯波束入射擴展到任意方向傳播雙零階貝塞爾波束入射,其球矢量波函數的展開利用了坐標旋轉定理,展開系數是通過積分方法及矢量加法定理得到的;二是內場的展開要比各向同性球形粒子要復雜得多,基于傅里葉變換方法根據球矢量波函數L,M和N的正交完備性進行展開.因而,UA 球體對于雙任意方向入射零階貝塞爾波束散射問題的研究是廣義洛倫茲Mie 理論的深入的擴展.

2 散射理論

2.1 零階貝塞爾波束的描述

作為一種典型的有形波束,零階貝塞爾波束的標量形式可以看作是標量波動方程的一類精確解.假設時諧因子為 e-iωt(ω為角頻率),零階貝塞爾波束電場在波束坐標系Oxyz中可表示為[1]

其中E0為歸一化振幅,J0(·) 為零階柱階貝塞爾函數,參數R=以及?=tan-1(y/x) 分別為橫向面平面 (x,y)上的半徑和方位角,kR=k0sinC0和kz=k0cosC0分別為波矢k的橫向分量和縱向分量,C0為波束的半錐角.

一般來說,當半錐角小于10°時,上述標量表示(1)式足以精確地描述零階貝塞爾波束的無衍射特性.但是,當半錐角比較大時: 例如kR≈k0,(1)式所表示的貝塞爾波束就會與實際情況出現比較大的誤差.因此,Mishra[11]通過兩個矢勢來構建一個電磁場,得到具有對稱性的電場強度和磁場強度的表達式.矢量描述是通過引入矢量勢A來定義零階貝塞爾波束的電磁場[30]:

假設矢勢A沿x軸方向偏振,通過求解亥姆霍茲方程,可以得到

對于矢量波方法,為得到圓對稱的零階貝塞爾波束,設沿y方向偏振的矢勢A′,則

E′和H′的表達式為

(5)式與(2)式結果相加再取平均,即可得到沿z軸傳播、x軸偏振的零階貝塞爾波束在其波束坐標系Oxyz中的電磁場表示式[11,16]:

2.2 雙零階貝塞爾波束的展開

如圖1(a)所示,兩束零階貝塞爾波束離軸斜入射到UA 介質球上,兩波束中心分別為O1和O2.O1x1y1z1和O2x2y2z2分別是以各自波束中心為原點,傳播方向為z1和z2軸建立的直角坐標系.Oxyz是以UA 介質球心O為原點建立的直角坐標系,設定各向異性介質球的主光軸沿z軸方向,半徑為a.設定在粒子坐標系Oxyz中,兩波束中心O1和O2的坐標分別為 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2),兩束零階貝塞爾波束的半錐角分別用C1和C2表示,傳播方向分別用k1和k2表示.如圖1(b)所示,設定α1為第一束零階貝塞爾波束的入射角,是波束傳播方向k1與粒子坐標系Oxyz中z軸的夾角;β1為第一束零階貝塞爾波束的極化角,是波束傳播方向k1在粒子坐標系Oxyz下xOy面上的投影與x軸的夾角,這樣可以表示出零階貝塞爾波束的傳播和極化方向的任意性.類似地,可以設定α2和β2為第二束零階貝塞爾波束的入射角和極化角.這里與圖1(b)的情況相同,只是角度的表示不一樣,不再重復畫出示意圖.值得注意的是,由于UA 介質存在主光軸,當波束的入射方向與主光軸不同時會產生不同的散射特性.入射角定義為0°—180°的范圍,相對各向異性球形粒子的主光軸z軸而言,零階貝塞爾波束是以任意方向入射UA 介質球的.

圖1 雙零階貝塞爾波束離軸斜入射UA 介質球的示意圖Fig.1.Schematic diagram of a uniaxial anisotropic sphere illuminated by off-axis obliquely incident double zero-order Bessel beams.

將(6)式和(7)式中相應的坐標表示 (x,y,z) 分別替代成坐標表示 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2),即可以得到兩束零階貝塞爾波束在各自坐標系O1x1y1z1和O2x2y2z2的電磁場矢量表示式.由于零階貝塞爾波束的矢量表示式本身就是從麥克斯韋方程組推導得來的,因此可以將這兩束零階貝塞爾波束根據球矢量波函數進行展開.以第一束零階貝塞爾波束為例,可根據球矢量波函數在粒子坐標系Oxyz下展開:

其中,ε0和μ0分別為在真空傳播時的介電常數和磁導率,ψn(k0a)=k0ajn(k0a) 為黎卡提貝塞爾函數.如果已知原始零階貝塞爾波束在粒子坐標系Oxyz下的徑向電磁場,則可以通過求解方程(11)式中的二重積分來得到展開系數.需要注意的是,零階貝塞爾波束的入射方向不平行于z軸,因此無法通過簡單的坐標平移得到波束的徑向電磁場.可以通過坐標系的旋轉理論來解決這個問題.如圖2 所示,以第一束零階貝塞爾波束中心O1為原點建立與粒子坐標系Oxyz相互平行的中間直角坐標系O1x10y10z10.一般地,任意兩個非平行的直角坐標系都可以通過歐勒角α,β,γ角相互旋轉得到[34,35].為了簡化,這里只用兩個角即α1,β1.首先將直角坐標系O1x1y1z1繞y1軸逆時針旋轉α1角,得 到z1與z10軸重合;再將O1x1y1z1以z1為軸逆時針旋轉β1角,即可以使直角坐標系O1x1y1z1與O1x10y10z10相互重合.

通過圖2 的旋轉關系,可以得到兩個坐標系下坐標的關系:

圖2 兩直角坐標的旋轉關系示意圖Fig.2.Schematic diagram of rotation relationship between two rectangular coordinate systems.

由于中間坐標系O1x10y10z10與粒子坐標系Oxyz的坐標之間有如下關系:

因此可以得到第一束零階貝塞爾波束在粒子坐標系下的電磁場徑向分量,再代入(11)式即可以獲得第一束零階貝塞爾波束在粒子坐標系Oxyz下的展開系數.

類似地,建立一個平行于粒子坐標系Oxyz的中間坐標系O2x20y20z20,第二束零階貝塞爾波束也可以根據球矢量波函數在粒子坐標系Oxyz下展開:

同樣可以得到第二束零階貝塞爾波束在粒子坐標系下的展開系數:

對于兩束入射的零階貝塞爾波束,可通過兩個電磁場的矢量疊加來計算總入射場,則總入射場展開系數為

2.3 雙零階貝塞爾波束的傳播特性

圖3 為不同半錐角下沿z軸正、負方向相同極化角時,反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場強度分布情況.零階貝塞爾波束電場振幅E0設定為1,計算參數為:α1=β1=β2=0°,α2=180°,z1=1 μm,z2=-1 μm (后文若無特殊說明,E0=1,z1與z2保持不變).與單束零階貝塞爾波束相比,反向傳播雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場強度分布形成了4 個明顯的孤島.同時,半錐角越大,反向傳播雙零階貝塞爾波束在xOy的場值整體越強,4 個孤島更加向中心區域集中,周邊區域的電場強度分布也會形成更多的孤島.

如圖4 所示,計算了不同半錐角下沿z軸正、負方向不同極化角時,反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場強度分布情況.計算參數為:α1=β1=0°,α2=β2=180°.與極化角相同時反向傳播雙零階貝塞爾波束(圖3)相比,形成的孤島有所減少,而孤島中心強度卻明顯增加,形成孤島的位置和方位也發生了較大的改變.在與粒子相互作用中,兩束零階貝塞爾波束極化角不同時,散射特性應該會不同.

圖5 給出了不同半錐角下斜入射反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場強度分布情況.計算參數為:α1=30°,α2=210°,β1=β2=0°.雖然雙零階貝塞爾波束的傳播方向是反向的,但是電場強度分布并沒有形成孤島.因為斜入射情況下,雙波束相向傳播到波束中心時,應該在與其傳播方向相互垂直的面上形成孤島而不是xOy面上.隨著半錐角的增大,雙零階貝塞爾波束在中心區域的電場漸漸集中,強度增強,與圖3 和圖4 所示的電場強度分布非常不同.

圖3 相同極化角下反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場強度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.3.Electric intensity distribution of back propagating double zero-order Bessel beams with identical polarization angles:(a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

圖4 不同極化角下反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場強度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.4.Electric intensity distribution of back propagating double zero-order Bessel beams with different polarization angles:(a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

圖6 展示了不同半錐角下斜入射非反向傳播的雙零階貝塞爾波束在xOy面的電場強度分布情況.計算參數為:α1=30°,α2=120°,β1=β2=0°.由于雙零階貝塞爾波束的傳播方向不是反向,電場強度在xOy面的分布沒有形成較為明顯的孤島,這與非反向傳播的波束并不會形成駐波的事實相符合.隨著半錐角的增大,雙零階貝塞爾波束中心區域的電場漸漸分散,與圖5 所示的電場強度分布剛好相反.與圖3—圖5 相比,圖6 所展示的非反向傳播的雙零階貝塞爾波束場強分布與反向傳播的雙零階貝塞爾波束場強分布有著明顯的區別,這會導致入射粒子的散射特性的不同.

圖5 斜入射時反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場強度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.5.Electric intensity distribution of back propagating double zero-order Bessel beams with oblique incidence: (a) C1=C2=5° ;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

圖6 斜入射時非反向傳播雙零階貝塞爾波束的電場強度分布 (a) C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c)C1=C2=30°Fig.6.Electric intensity distribution of non-back propagating double zero-order Bessel beams with oblique incidence: (a)C1=C2=5°;(b) C1=C2=15°;(c) C1=C2=30°.

2.4 UA 介質球的內場展開

對于半徑為a的UA 介質球,其介電常數和磁導率分別表示為

在無源情況下,由UA 介質的麥克斯韋方程組可以得到電場矢量波動方程:

(19)式即是無源UA 介質中電場矢量所滿足的微分波動方程.該波動方程由于是張量,電場的各個分量耦合在一起,無法用分離變量法來求解,可以引入傅里葉變換來求解[23]:

通過引入傅里葉變換解本征方程,UA 介質球的內部電磁場可以用球矢量波函數表示為[36]

2.5 通過邊界條件求解散系數

在r=a處,由電磁場在邊界上切向分量連續有

其中t表示電場磁場的切向分量.將入射場、內場及散射場的展開詳細表達式代入邊界條件,于是在r=a處,可得

求解上述方程組(27)—(30),消去散射系數可得

其中,

化簡后可以得到關于內場展開系數Gmr′q的方程組:

聯立方程組求解內場展開系數Gmr′q將其代入(27)式和(30)式,可求解出散射系數的表達式為[37]

將散射系數代入(23)式和(24)式中得到散射場的電場強度.由RCS 的定義可得

3 數值結果和討論

當半錐角為0 時,零階貝塞爾波束將退化為平面波形式.為了驗證程序的正確性,我們將單零階貝塞爾波束退化成平面波,計算了入射UA 介質球RCS 的角分布,并且與文獻[38]給出的結果進行了比較.如圖7 所示,發現二者結果符合較好,驗證了程序與理論公式推導的正確性.圖7 使用的參數為:εt=2.5ε0,εz=1.0ε0,μt=μz=1.0μ0,λ=1.064 μm,α=β=0°,a=1 μm,C0=0°.Eplane 對應xOz面,稱為E面;H-plane 對應yOz面,稱為H面.

圖7 UA 介質球對單零階貝塞爾波束的RCS 角分布Fig.7.Normalized RCS of a UA dielectric sphere illuminated by single zero-order Bessel beam versus the scattering angle.

圖8 計算了反向傳輸的雙零階貝塞爾波束退化成平面波入射到UA 球形粒子的RCS 的角分布,并與文獻[39]結果進行了對比,發現兩者也符合得比較好,進一步驗證了本文理論和程序的正確性.計算過程中所使用的參數為εt=2.5ε0,εz=1.0ε0,μt=μz=1.0μ0,λ=1.064 μm,a=1 μm,α1=β1=β2=0°,α2=180°,x1=y1=x2=y2=0,z1=1 μm,z2=-1 μm.比較圖7 和圖8 可以看出,當雙零階貝塞爾波束照射UA 球形粒子時,產生的散射效應是增加的.雙零階貝塞爾波束入射情況下,由于波束在粒子中存在干涉效應,所以E面和H面的峰值也不是特別明顯.

圖8 雙零階貝塞爾波束退化成平面波入射UA 介質球的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.8.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere by double zero-order Bessel beams when degenerating into plane waves: (a) E-plane;(b) H-plane.

如圖9 所示,計算了UA 介質球對不同離軸情形單零階貝塞爾波束的RCS 角分布,計算參數為:λ=1.064 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1,n0=1.0,α1=β1=0°,C1=C1=10°.當入射波束沿x軸方向偏移時,E面和H面上的RCS 值都在減小,E面出現了不對稱的情況,但是H面上的RCS 的角分布對稱性和形狀都沒有太大改變.當單波束沿y軸方向偏移時,E面和H面上的RCS值也都在減小,與沿x軸方向偏移時的情形不同,此時E面上的RCS 角分布的對稱性和形狀都沒有太大的改變,但是在H面出現不對稱的情況.之所以出現RCS 值減小的情況,是因為波束離軸入射粒子,波束中心距離球心橫向位置越遠時,波束照射球體的強度會越小.而沿x軸和y軸偏移會出現不一樣的情況,是因為方位角為?=arctan(y/x),x和y的改變會影響到散射系數.

圖9 UA 介質球對不同離軸情形入射的單零階貝塞爾波束的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.9.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by different off-axis incident zero-order Bessel beams:(a) E-plane;(b) H-plane.

如圖10 所示,計算了UA 介質球對不同離軸雙零階貝塞爾波束的RCS 角分布,計算參數為:λ=1.064 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1,n0=1.0,α1=β1=β2=0°,α2=180°,C1=C2=10°.可以明顯地看到,無論波束是沿x軸方向還是沿y軸方向偏離,RCS 值都會減小.這是因為離軸入射時波束中心偏離球心的橫向位置越遠,波束照射到球體上的強度就會越小,這與單波束的情況類似.與圖9 所示單離軸零階貝塞爾波束入射情況相比,圖10 中RCS 角分布發生了明顯地改變,尤其是雙零階貝塞爾波束沿正y軸和負y軸離軸入射UA 介質球時,RCS 出現了兩個極小值點.

圖10 UA 介質球對離軸入射的雙零階貝塞爾波束的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.10.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by different off-axis incident double zero-order Bessel beams: (a) E-plane;(b) H-plane.

圖11 計算了第二束零階貝塞爾波束入射角與第一束零階貝塞爾波束的不同時,雙波束非反向入射UA 球形粒子的RCS 角分布,所用參數為:λ=1.064 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1.0μ0,n0=1.0,x1=y1=z1=0,x2=y2=z2=0,α1=β1=β2=0°,C1=C2=20°.可以看出,隨著第二束零階貝塞爾波束入射角不斷的變化而產生的RCS 角分布是不同的.當入射角都是0°時,兩束零階貝塞爾波束的傳播方向相同,此時RCS 值最大.但是兩束波束由于在粒子之間有相互作用的關系,所得的RCS 值并不是單零階貝塞爾波束入射UA球形粒子時RCS 的2 倍.隨著第二束零階貝塞爾波束的入射角不斷增大,即第二束零階貝塞爾波束是斜入射時,在E面上峰值沒有正入射時大,并且峰值出現的次數會隨著入射角的不斷增大而增加.這說明在雙波束的入射角度變大時,其相互干涉的效應不斷增大.而在H面上,由于雙零階貝塞爾波束的極化方向垂直于H面,所以H面上的RCS 角分布總是對稱的.

圖11 UA 介質球對不同入射角下雙零階貝塞爾波束的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.11.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by double zero-order Bessel beams with different incident angles: (a) E-plane;(b) H-plane.

圖12 計算了雙反向傳輸的零階貝塞爾波束在不同錐角入射的情況下UA 介質球的RCS 角分布,參數如下:λ=1.064 μm,a=0.5 μm,εt=5.3495,εz=4.9284,μt=μz=1.0μ0,n0=1.0,x1=y1=x2=y2=0,z1=z2=1 μm,α1=β1=β2=0°,α2=180°.可以看出,隨著零階貝塞爾波束錐角的逐漸增大,在E面和H面的RCS 值都是逐漸減小.這是因為隨著錐角的增大,波束之間的干涉效應在逐漸增加.當兩束波束都沿z軸傳播時,所得到的RCS 值是對稱的.

圖12 雙反向傳輸的零階貝塞爾波束在不同錐角入射的情況下UA 介質球的RCS 角分布 (a) E-plane;(b) H-planeFig.12.Angular distribution of the RCS of a UA dielectric sphere illuminated by back propagating double zero-order Bessel beams with different conic angles: (a) E-plane;(b) H-plane.

4 結論

基于廣義洛倫茲Mie 理論,研究了UA 球形粒子對兩束具有任意傳播和極化方向的零階貝塞爾波束的傳播和散射特性.利用坐標旋轉關系及特殊函數的正交關系,導出了任意傳播和極化方向的雙零階貝塞爾波束的球矢量波函數的展開形式及展開系數的解析表達式,詳細討論了單、雙零階貝塞爾波束的電場強度分布特性.通過將單、雙零階貝塞爾波束退化成平面波的特殊情況下的RCS 角分布與文獻結果進行對比,驗證了本文理論及程序的正確性.數值分析了各參數對雙零階貝塞爾波束入射UA 球形粒子的RCS 角分布的影響,并與單零階貝塞爾波束入射UA 球形粒子的散射特性進行對比.由于干涉效應,當粒子被雙零階貝塞爾波束照射時,RCS 值并不是單零階貝塞爾波束入射時的兩倍.且第二束零階貝塞爾波束在入射角增大的時候干涉效應逐漸增強,說明使用雙波束與各向異性介質產生的相互作用會更強.本文理論和數值結果希望能為多波束入射下非各向同性、生物細胞等復雜粒子的散射特性、粒徑分析以及光學微操控等提供理論依據.