擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率對(duì)Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou 回歸現(xiàn)象的影響

鄭州 李金花 馬佑橋 任海東

1) (南京信息工程大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,南京 210044)

2) (江蘇海威光電科技有限公司,南通 226000)

Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT)回歸現(xiàn)象指一個(gè)多模非線性系統(tǒng)能周期性回到初始激發(fā)態(tài)的一個(gè)復(fù)雜的非線性過程,與該非線性系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性密切相關(guān).針對(duì)實(shí)驗(yàn)中能如何較為方便地觀察到FPUT 回歸現(xiàn)象以及能如何觀察到更多FPUT 循環(huán)的問題,本文基于調(diào)制不穩(wěn)定性重點(diǎn)分析研究了施加在平面波上的擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率對(duì)所觀察到的FPUT 循環(huán)的影響.我們發(fā)現(xiàn),擾動(dòng)振幅可以極大程度地影響所觀察到的FPUT 現(xiàn)象: 1) FPUT 循環(huán)數(shù)對(duì)擾動(dòng)振幅的值非常敏感,擾動(dòng)振幅越大,FPUT 循環(huán)數(shù)越多;2) 擾動(dòng)振幅較小(較大)時(shí),相應(yīng)的FPUT 循環(huán)頻譜就比較規(guī)則(很不規(guī)則).相比之下,擾動(dòng)頻率對(duì)FPUT 循環(huán)數(shù)的影響不是很大(在最佳調(diào)制頻率附近的一個(gè)小范圍內(nèi),可觀察到FPUT 循環(huán)最多),但是它對(duì)脈沖周期性振幅最大位置處所激發(fā)的高階頻率成分的影響比較大,擾動(dòng)頻率越大(越小),其可以激發(fā)的高階頻率成分越少(越多).本文的研究結(jié)果將對(duì)FPUT 實(shí)驗(yàn)的觀測和理論發(fā)展提供一定的幫助.

1 引言

Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT)回歸現(xiàn)象指一個(gè)多模系統(tǒng)周期性回歸到初始激發(fā)態(tài)的非線性過程[1],是物理學(xué)領(lǐng)域中經(jīng)典的非線性問題,由Fermi 等[1]在1955 年使用第一代計(jì)算機(jī)仿真模擬多粒子非線性振動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn).FPUT 的發(fā)現(xiàn)是非線性物理學(xué)發(fā)展史上一個(gè)重要的里程碑,該研究直接促使了1965 年“孤子”概念的提出,是近代理論物理和可積系統(tǒng)研究的起點(diǎn)[2].隨著儀器精度和制作工藝的進(jìn)步,近年來FPUT 回歸現(xiàn)象陸續(xù)在熱傳輸動(dòng)力學(xué)[3]、晶格動(dòng)力學(xué)[4]、流體力學(xué)[5]以及非線性光學(xué)[6]等不同物理領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)中被觀察到.

調(diào)制不穩(wěn)定性是加在平面波上的微小擾動(dòng)隨傳輸距離(或傳輸時(shí)間)指數(shù)增長的一種不穩(wěn)定性行為.由于能量不會(huì)無限增長,所以加在平面波上的微小正弦擾動(dòng)在實(shí)際的模擬和實(shí)驗(yàn)中均不會(huì)隨傳輸距離無限地指數(shù)增長,而是當(dāng)其增加到一定程度后快速衰減,形成一系列的周期性脈沖,該過程隨著傳輸距離(或傳輸時(shí)間)的增加會(huì)周期性地復(fù)現(xiàn),這一演化過程即FPUT 回歸現(xiàn)象[7-9].理論上講,FPUT 回歸現(xiàn)象與該非線性系統(tǒng)的嚴(yán)格雙周期波解[10-16]、Akhmediev 呼吸子解[17]及其他新型局域波解[18,19]等密切相關(guān).盡管如此,人們發(fā)現(xiàn)FPUT回歸現(xiàn)象的主要特征可以通過分析平面波的調(diào)制不穩(wěn)定性來定量地獲取[10-16],國際上發(fā)現(xiàn)了最新且非常有趣的研究結(jié)果,如由擾動(dòng)平面波的非線性演化描述一定高階效應(yīng)下非線性系統(tǒng)的解析非對(duì)稱FPUT 回歸頻譜[20],以及不同擾動(dòng)頻率會(huì)帶來結(jié)果相變[21]等.

自2001 年在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中首次觀察到FPUT現(xiàn)象以來[6],FPUT 的研究再次成為了非線性物理領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)[7-9,22-30].理論方面,人們構(gòu)建了形成FPUT 不同種類的呼吸子解及雙周期波解[7-9]、預(yù)測了首次FPUT 及第二次FPUT 出現(xiàn)的位置[23,24]、研究了高階諧波的形成過程[25-27,31]、泵浦和擾動(dòng)信號(hào)的初始相位差以及線性損耗和高階色散對(duì)FPUT 回歸現(xiàn)象的影響[28-30]等.實(shí)驗(yàn)方面,人們?cè)O(shè)計(jì)了不同的實(shí)驗(yàn)方案觀測FPUT 回歸現(xiàn)象,且改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方案嘗試在實(shí)驗(yàn)中能觀察到更多的FPUT 循環(huán)[30,32-37].

文獻(xiàn)[30,32-37]所報(bào)道的實(shí)驗(yàn)基本上都是給定一組特定的擾動(dòng)參數(shù)來觀察FPUT 回歸現(xiàn)象,同時(shí)從理論上一定程度地討論了各項(xiàng)擾動(dòng)參數(shù)對(duì)FPUT 回歸現(xiàn)象的影響[30,32-37].針對(duì)如何在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中能相對(duì)容易地觀察到FPUT 回歸現(xiàn)象,以及如何能觀察到更多FPUT 循環(huán)的問題,本文基于調(diào)制不穩(wěn)定性分析通過數(shù)值模擬方法較為系統(tǒng)地研究了擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率對(duì)FPUT 回歸現(xiàn)象的影響.本文研究結(jié)果將為FPUT 的實(shí)驗(yàn)觀察提供一定的理論支持.

2 模型方程與調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜

本文主要考慮非線性光纖光學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典模型方程,忽略光纖的損耗,平面波在單模光纖中傳播的非線性控制方程為

其中,A為單模光纖中電場的慢變包絡(luò),z是傳播距離,t是時(shí)間坐標(biāo),β2是群速度色散系數(shù),三階克爾非線性系數(shù)γ=2πn2/(λAeff)(n2是折射率,λ是載波波長,Aeff是有效模面積).方程(1)的平面波解為

其中,P0是z=0 處的入射功率,γP0z是克爾效應(yīng)引起的非線性相移.平面波(2)式在光纖的正常色散區(qū)域(β2＞0)比較穩(wěn)定,施加在平面波上的微小擾動(dòng)不會(huì)隨傳輸距離的增加而增長,而在光纖的反常色散區(qū)域(β2＜0),平面波是不穩(wěn)定的,加在平面波上的微小擾動(dòng)會(huì)隨著傳輸距離的增長而急劇增長.依據(jù)線性穩(wěn)定性分析方法,其對(duì)應(yīng)的調(diào)制不穩(wěn)定性增益譜為[38]

峰值增益及最佳擾動(dòng)頻率(即能產(chǎn)生峰值增益的擾動(dòng)頻率)分別為

在(3)式和(4)式中,K和Ω分別代表擾動(dòng)波束和擾動(dòng)頻率.

3 FPUT 回歸現(xiàn)象

調(diào)制不穩(wěn)定性與FPUT 回歸現(xiàn)象密切相關(guān),本文基于調(diào)制不穩(wěn)定性研究擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率對(duì)FPUT 回歸現(xiàn)象的影響,采用實(shí)驗(yàn)中常見的一類初始條件[30,32-36],即

其中δ為擾動(dòng)振幅,Ω為滿足(3)式的擾動(dòng)頻率.

人們?cè)谘芯縁PUT 問題時(shí),通常都是在某一給定擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率條件下進(jìn)行,而忽略了不同擾動(dòng)振幅和不同擾動(dòng)頻率對(duì)所觀察到的FPUT現(xiàn)象的影響.本文發(fā)現(xiàn)擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率均可以對(duì)所觀察到的FPUT 現(xiàn)象產(chǎn)生極大的影響,研究中采用常見的單芯單模非線性光纖參數(shù)即β2=—0.02 ps2/m,γ=2.5 kW—1·m—1.這里我們需要聲明本文以下結(jié)果的討論適用于其他在實(shí)驗(yàn)中常見的入射條件[30,32-36].

3.1 擾動(dòng)振幅的影響

在本節(jié)研究中,不失一般性地固定擾動(dòng)頻率為能產(chǎn)生增大增益的最佳擾動(dòng)頻率,即Ω=Ωmax=.圖1(a)和圖1(b)分別描述平面波隨傳輸距離的三維波形演化和頻譜演化(δ=0.001,P0=1 kW,Ω=Ωmax=rad/ps);圖1(c)和圖1(d)給出了脈沖振幅在首次增長到峰值的空間距離處(z1FPUT=3.2 m)的波形和頻譜.如圖1(a)所示,脈沖振幅增加至最大值后快速衰減至初始狀態(tài),即FPUT 回歸現(xiàn)象.從圖1(a)和圖1(b)中可觀察到3 個(gè)完整的FPUT 循環(huán),z1FPUT=3.2 m 與文獻(xiàn)[23,24]中所預(yù)測的z1FPUT==3.04 m 符合地非常好,相鄰兩次脈沖振幅增長至最大值的空間位置呈等間距分布.圖1 所反映的FPUT 回歸現(xiàn)象的主要特征與文獻(xiàn)[23,24]在同樣初始條件下的結(jié)果類似.當(dāng)傳輸距離約大于20 m時(shí),FPUT 現(xiàn)象消失,非線性波的演化開始變得毫無規(guī)律,這應(yīng)該是由非線性所激發(fā)的多頻率成分之間的相互作用所導(dǎo)致,此外可能和數(shù)值模擬所引入的噪聲有一定的關(guān)系(在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中,噪聲總是存在,我們的模擬結(jié)果是合理的).

圖1 非線性光纖中,擾動(dòng)平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=3.2 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωmax=rad/psFig.1.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=3.2 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωmax=rad/ps .

當(dāng)擾動(dòng)振幅增長時(shí) (δ=0.1,其他參數(shù)不變),平面波的演化如圖2 所示.與圖1 相比,平面波的演化過程主要有三方面顯著的變化.第一,FPUT循環(huán)數(shù)明顯增長,這是圖2 (11 個(gè)FPUT 循環(huán))區(qū)別于圖1 (3 個(gè)FPUT 循環(huán))最大的不同之處;第二,同一個(gè)時(shí)刻處,脈沖振幅相鄰兩次出現(xiàn)最大值的空間周期減小 (圖1 周期為z1,2=6.3 m,圖2周期為z1,2=2.7 m);第三,如理論預(yù)測,z1FPUT隨δ的增加而逐步減小.從物理角度來看,上述變化可以解釋為: 固定泵浦功率P0和擾動(dòng)頻率Ω(見(5)式),擾動(dòng)功率增長的速度將隨擾動(dòng)振幅δ的增加而增加,因此,脈沖振幅首次增長至峰值所需要的傳輸距離z1FPUT就變短,兩相鄰脈沖振幅最大值的空間周期隨之而變小;同時(shí)由于完成一個(gè)FPUT 循環(huán)的空間周期快速縮短,非線性所激發(fā)的多個(gè)頻率成分還沒有來得及相互作用就又開始下一個(gè)循環(huán),相應(yīng)地,FPUT 循環(huán)數(shù)也隨δ的增加而快速增加.

圖2 非線性光纖中,擾動(dòng)平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=1.3 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.1,Ω=Ωmax=rad/psFig.2.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=1.3 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.1,Ω=Ωmax= rad/ps .

當(dāng)擾動(dòng)振幅進(jìn)一步增加 (δ＞0.1,其他參數(shù)保持不變),如圖3 所示,FPUT 循環(huán)數(shù)隨δ增加而繼續(xù)大幅增加,z1FPUT隨δ的增加而持續(xù)減小,兩相鄰FPUT 形成的空間間距進(jìn)一步縮小.同時(shí)我們注意到,當(dāng)δ比較大時(shí),平面波的波形演化和頻譜演化變得越來越不規(guī)則,如圖4 所示 (δ=0.7).當(dāng)δ較大時(shí),調(diào)制信號(hào)就變得比較強(qiáng),原來由線性理論所計(jì)算的調(diào)制不穩(wěn)定性就不再完全適用,這時(shí)調(diào)制信號(hào)的非線性就會(huì)比較突出,因此我們認(rèn)為頻譜和波形演化得不規(guī)則性應(yīng)該是由調(diào)制信號(hào)和泵浦信號(hào)之間的強(qiáng)相互作用所引起.

圖3 非線性光纖中FPUT 循環(huán)數(shù)隨擾動(dòng)振幅δ 的演化Fig.3.Variation of the number of FPUT cycle with the perturbation amplitude δ in nonlinear fibers.

圖4 非線性光纖中,擾動(dòng)平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=0.4 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.7,Ω=Ωmax= rad/psFig.4.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=0.4 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.7,Ω=Ωmax= rad/ps.

通過本節(jié)分析,發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)可觀察的FPUT 循環(huán)數(shù)隨擾動(dòng)振幅的增長而急劇增長,而且當(dāng)擾動(dòng)振幅較大時(shí),平面波的波形演化和頻譜演化變得越來越不規(guī)則.該發(fā)現(xiàn)尚未在文獻(xiàn)中有過報(bào)道.

3.2 擾動(dòng)頻率的影響

當(dāng)擾動(dòng)頻率滿足Ω＜Ωc/2 時(shí),高階諧波成分將會(huì)被激發(fā)[25-27],本節(jié)考慮不激發(fā)高階諧波情況下,即當(dāng)擾動(dòng)頻率滿足Ωc≥Ω≥Ωc/2 時(shí),擾動(dòng)頻率對(duì)所觀察到的FPUT 現(xiàn)象的影響.

圖5(a)和圖5(b)分別反映了擾動(dòng)平面波隨傳輸距離的波形演化和頻譜演化(P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/ps);圖5(c)和圖5(d)分別為脈沖振幅在z1FPUT=3.4 m 處的波形和頻譜.可以看出Ω=Ωc/2 時(shí)有兩個(gè)完整的FPUT 循環(huán)(圖5(a)和圖5(b)),且當(dāng)z=z1FPUT時(shí),在[—80 dB,0 dB]的相對(duì)出射光強(qiáng)范圍內(nèi)可觀察到64 個(gè)非線性所激發(fā)的高階諧波(圖5(d)).

通過大量的數(shù)值模擬計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)擾動(dòng)頻率從Ω=Ωc/2 開始增加時(shí),在相同的相對(duì)出射光強(qiáng)范圍內(nèi),可觀察到的高階諧波數(shù)呈明顯的遞減趨勢,如圖6 所示.隨著Ω的增加,可觀察到的高階諧波數(shù)顯著遞減的原因和z1FPUT處脈沖所具備的光強(qiáng)密切相關(guān).Ω越大,z1FPUT處脈沖的振幅越小,光強(qiáng)越弱,非線性效應(yīng)就越弱,相應(yīng)地,非線性所激發(fā)的高階諧波成分就越少.對(duì)比圖5(c)和圖1(c),擾動(dòng)頻率為Ω=Ωc/2 的擾動(dòng)平面波在z1FPUT處演化出的脈沖最大振幅|a|max=2.688,明顯大于擾動(dòng)頻率為Ω=Ωmax情況下擾動(dòng)平面波在z1FPUT處演化出的脈沖最大振幅|a|max=2.403,這應(yīng)該和高階諧波成分與入射擾動(dòng)頻率成分在傳輸中產(chǎn)生的復(fù)雜非線性相互作用有關(guān).

圖5 非線性光纖中,擾動(dòng)平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=3.4 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/psFig.5.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=3.4 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/ps .

圖6 高階諧波數(shù)隨擾動(dòng)頻率Ω (Ωc/2＜Ω＜Ωc)的變化關(guān)系圖Fig.6.Variation of mode numbers of high-order sidebands with perturbation frequency Ω (Ωc/2＜Ω＜Ωc).

隨著擾動(dòng)頻率從Ω=Ωc/2 開始增加,如圖5(d)所示,FPUT 循環(huán)周期數(shù)先緩慢增長,在Ω=Ωmax附近處,FPUT 循環(huán)周期數(shù)最多(見圖1).當(dāng)Ω＞Ωmax時(shí),FPUT 循環(huán)周期又開始緩慢減少(見圖7,Ω=22 THz).在Ω=Ωmax附近處出現(xiàn)最多的FPUT 循環(huán)數(shù)在物理層面上是可以理解的.最佳擾動(dòng)頻率對(duì)應(yīng)的增益最大,以該頻率作為擾動(dòng)信號(hào)頻率,擾動(dòng)增長的速度最快,所以FPUT 出現(xiàn)的速度就會(huì)非常快,導(dǎo)致出現(xiàn)的FPUT 周期數(shù)相應(yīng)地比較多.相反,當(dāng)擾動(dòng)頻率Ω≠Ωmax＜Ωc時(shí),平面波演化過程中所出現(xiàn)的噪聲中,Ωmax成分振幅會(huì)隨著傳輸距離增加而迅速增強(qiáng),從而導(dǎo)致Ωmax頻率成分和入射的Ω頻率成分產(chǎn)生強(qiáng)相互作用而破壞掉原來的FPUT,所以Ω≠Ωmax＜Ωc時(shí)所觀察到的FPUT 循環(huán)數(shù)比較少.

圖7 非線性光纖中,擾動(dòng)平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=8.22 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22 rad/psFig.7.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=8.22 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22 rad/ps.

當(dāng)擾動(dòng)頻率增至Ω=Ωc=22.3607 rad/ps 時(shí),平面波穩(wěn)定,FPUT 消失,如圖8(d)所示.當(dāng)擾動(dòng)頻率Ω=Ωc時(shí),調(diào)制不穩(wěn)定性消失,入射的擾動(dòng)頻率不會(huì)隨傳輸距離的增加而增長,隨著傳輸距離的增加,在光纖某距離處由噪聲引入的最佳調(diào)制頻率成分出現(xiàn)并迅速增長,同時(shí)會(huì)與其他調(diào)制頻率成分在傳輸中產(chǎn)生相互作用,最終導(dǎo)致頻譜的極端不規(guī)則性,在整個(gè)過程中觀測不到FPUT 現(xiàn)象.

圖8 非線性光纖中,擾動(dòng)平面波(a)和相應(yīng)頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=14.6 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22.3607 rad/psFig.8.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=14.6 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22.3607 rad/ps.

4 結(jié)論

基于調(diào)制不穩(wěn)定性分析,本文通過數(shù)值模擬系統(tǒng)地研究了擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率對(duì)單模單芯光纖中FPUT 現(xiàn)象的影響,發(fā)現(xiàn)擾動(dòng)振幅和擾動(dòng)頻率可以極大程度地影響所觀察到的FPUT 現(xiàn)象.擾動(dòng)振幅對(duì)所觀察到的FPUT 循環(huán)數(shù)的影響極大.擾動(dòng)振幅越大,可觀察到的FPUT 循環(huán)數(shù)越多,當(dāng)擾動(dòng)振幅較小時(shí),相應(yīng)的FPUT 頻譜演化就比較規(guī)則,相反,相應(yīng)的FPUT 頻譜演化就非常不規(guī)則.擾動(dòng)頻率對(duì)所觀察的FPUT 循環(huán)數(shù)的影響不大,但是它可以極大地影響在脈沖振幅最大位置處所產(chǎn)生的高階諧波成分的數(shù)目.擾動(dòng)頻率越大,所產(chǎn)生的高階諧波成分就越少.

為了方便FPUT 的實(shí)驗(yàn)觀測能觀察到更多的FPUT 循環(huán),分析發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中擾動(dòng)振幅要設(shè)置得較大,同時(shí)擾動(dòng)頻率應(yīng)該選擇在最佳擾動(dòng)頻率附近的值域.同時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào),大的擾動(dòng)振幅對(duì)應(yīng)的FPUT 譜會(huì)比較不規(guī)則,當(dāng)擾動(dòng)頻率比較大時(shí),其所激發(fā)的高階諧波成分就會(huì)非常少.相信本文的研究結(jié)果將對(duì)基于調(diào)制不穩(wěn)定性分析的FPUT 實(shí)驗(yàn)觀測以及理論理解提供一定的幫助.非線性光纖中有待解決的FPUT 問題還有很多,包括非傳統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定性相關(guān)的FPUT 研究[7,8]、高階效應(yīng)對(duì)實(shí)驗(yàn)觀察到的FPUT 的影響[39]等,這將是我們下一步研究的主要任務(wù).