溫度場影響下功能梯度圓錐殼振動特性分析

石先杰， 左 朋,2

(1. 中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621999； 2. 中國科學技術大學 近代力學系，合肥 230026)

功能梯度材料(functionally graded material, FGM)在厚度方向上具有平滑且連續的材料特性變化。由于其獨特的性能，FGM已成功應用到各個工程領域。由其所制成的圓柱殼[1-2]、圓錐殼[3-4]和環形板[5-6]是飛機、航天器和軍事工業領域常見的結構元件。此外，FGM利用陶瓷的耐熱和耐腐蝕性以及金屬的高拉伸強度、韌性和黏合能力等良好的材料特性，被開發用于航空航天結構和反應堆等高溫環境。因此，研究它們在溫度場影響下的振動特性對工程設計和制造具有重要的實際工程意義。

在國外，Malekzadeh等[7]采用微分正交法分析了受熱環境影響的FGM圓錐殼振動特性。考慮材料特性與溫度的相關性，Zhou等[8]研究了FGM板的振動特性及顫振行為。Li等[9]使用特征正交多項式詳細分析了FGM階梯圓柱殼的自由振動、穩態和瞬態響應。Li等[10]根據微分求積法和Hamilton原理對FGM圓板的熱振特性進行了研究。基于廣義微分求積法求解控制方程，Shakouri[11]研究了材料性質與溫度有關的旋轉FGM圓錐殼振動問題。采用有限元方法結合高階剪切變形理論，Singha等[12]研究了旋轉預扭曲FGM夾層圓錐殼板在均勻熱環境下的自由振動行為。在國內，滕兆春等[13]應用微分求積法對FGM薄環形板的面內自由振動特性進行了分析。基于改進傅里葉級數法，呂朋等[14]分析了具有彈性邊界約束的FGM薄環形板的面內熱振特性。

從國內外研究情況可知，目前關于FGM結構熱振特性的研究已經取得一定的成果，但在國內，絕大多數還只是局限于環板結構，而對于同樣應用廣泛的FGM圓錐殼結構的研究還較少。鑒于此，文中基于譜幾何法構建了可以有效分析熱環境下FGM圓錐殼振動特性的半解析分析模型。假設有效材料特性與溫度有關并沿厚度方向變化。基于一階剪切變形理論推導出FGM圓錐殼在溫度場影響下的能量方程，然后采用譜幾何法[15]求解能量方程得到熱環境下殼體結構自由和瞬態振動特性。通過將模型求解結果與相關文獻解和有限元仿真分析結果進行對比分析以驗證文中方法有效性。最后，利用所構建參數化模型開展參數影響規律研究，探討邊界條件、幾何結構參數、材料屬性以及溫度場等因素對FGM圓錐殼瞬態振動的影響。

1 理論方法

1.1 FGM圓錐殼的能量表達式

圖1 FGM圓錐殼的幾何模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of geometric model of FGM conical shell

U(s,θ,z,t)=u(s,θ,t)+zψs(s,θ,t)V(s,θ,z,t)=v(s,θ,t)+zψθ(s,θ,t)W(s,θ,z,t)=w(s,θ,t)

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，B=ssinα以及Rθ=stanα分別為沿θ方向的拉密系數以及主曲率半徑。

因此，FGM圓錐殼的本構關系可以表示為

(5)

(6)

(7)

式中，彈性常數Qjk(z,T)為厚度方向z以及溫度值T(單位為K)的函數，具體表達式參照Zhou等的研究。在高溫環境下，所研究的FGM圓錐殼的有效材料特性P(包括彈性模量E, 熱膨脹系數αT, 質量密度ρ, 熱導率κ和泊松比ν)會發生顯著變化，因此考慮溫度依賴性，材料特性可以表示為

P(T)=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(8)

式中，P0,P-1,P1,P2和P3為溫度系數，由其組成材料所決定。此外，FGM通常情況下是由兩種材料混合而成，其有效材料特性沿厚度方向可以被描述為

P(z,T)=[Pc(T)-Pm(T)]× [(h+2z)/2h]φ+Pm(T)

(9)

式中：φ為梯度指數；Pc(T)和Pm(T)分別為FGM圓錐殼內表面和外表面材料的有效材料特性。因為z∈[-h/2,h/2]，故根據式(9)，φ的取值范圍應為[0,∞)。當φ=0時，P(z,T)=Pc(T)，此時的功能梯度材料屬性與內表面材料保持一致；而當φ=∞時，P(z,T)=Pm(T)，此時的功能梯度材料屬性與外表面材料保持一致。

為了獲得熱環境下FGM圓錐殼振動特性分析模型，其拉格朗日泛函可描述為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，ΔT=T-T0為殼體溫度值T和參考溫度值T0的溫度差。對于均勻溫度場，T是恒定的。而對于線性和非線性溫度場，T沿著殼體厚度方向有著如下的變化。

線性溫度場

(15)

非線性溫度場

(16)

式中：Tc和Tm分別為FGM圓錐殼內表面和外表面的溫度值；κ為熱導率，其定義是單位溫度梯度在單位時間內經單位導熱面所傳遞的熱量，在非均勻溫度場下，κ為關于z的函數。

本文基于人工彈簧理論來模擬圓錐殼邊界約束條件，因此邊界勢能即為儲存在彈簧中的彈性勢能

(17)

式中： 上標“0”和“1”分別對應FGM圓錐殼的左邊界和右邊界；k為約束對應位移分量的彈簧剛度值,k=diag(ku,kv,kw,ks,kθ)。

(18)

式中：f為外力向量，與加載位置相關，故為s和θ的函數；Ls與Lθ為載荷作用區域； 其中，f=(fu,fv,fw,fs,fθ)T為激勵幅值， (fu,fv,fw)為s，θ，z方向上的力矢量， (fs,fθ)分別為s和θ方向上的力矩。

1.2 求解過程

由于圓錐殼結構的位移變量在空間中具有對稱性，可將其沿周向坐標方向采用傅里葉正余弦函數展開，同時根據譜幾何法[15]的基本原理，FGM圓錐殼的位移容許函數可以表示為

p(s,θ,t)=[Θp(s,θ),Θf,p(s,θ)]Apeiωt

(19)

(20)

將方程相關能量表達式和結構的位移容許函數代入式(10)，并運用Rayleigh-Ritz法對未知系數進行變分操作，可以得到熱環境下FGM圓錐殼的振動特性特征方程，即

(K-ω2M)H=F

(21)

式中，K和M分別為FGM圓錐殼的剛度矩陣和質量矩陣

(22)

Muu=I0UTU,Mvv=I0VTV,Mww=I0WTW,Mss=I2STS,Mθθ=I2ΘTΘ,Mus=I1UTS,Mvθ=I0VTΘ

(23)

(24)

diag[Kbr,uu,Kbr,vv,Kbr,ww,Kbr,ss,Kbr,θθ]s=LR1}dθ

(25)

式中：I0，I1和I2為轉動慣量；Muu,Mvv,Mww,Mss,Mθθ,Mus,Mvθ為質量分塊矩陣表達式；K為整體剛度矩陣；Kc為結構剛度矩陣；Kb為邊界彈簧的剛度矩陣； 下標bl為邊界彈簧布置在s=0邊界處； 下標br為邊界彈簧布置在s=l邊界處；U,V,W,S,Θ為軸向方向傅里葉級數展開式組成的向量。

限于篇幅，這里不再詳細給出K矩陣內部各分塊矩陣的表達式。

H為全局廣義坐標向量，而F則為外力矢量矩陣。當F=0時，則式(21)簡化為一個標準的特征值問題，可方便求解獲取自由振動特性(固有頻率及其對應的特征向量)。

對于瞬態振動問題，功能梯度圓錐殼的動力學方程可以描述為

(26)

2 數值算例與分析

首先，將模型求解結果與相關文獻解和有限元分析結果進行對比分析，以驗證模型的正確性和可行性。本章對FGM圓錐殼的熱振特性(包括自由振動和瞬態振動)進行了研究。在此基礎上，最后還考慮了一些參數對FGM圓錐殼瞬態響應的影響。為簡便起見，以下數值討論中選擇的FGM圓錐殼結構，在沒有特殊說明的前提下其默認的幾何與材料屬性分別定義為：α=30°,h=0.1 m,R0=0.5 m,L=4 m/cosα，內表面材料為SUS304，外表面為Si3N4，這兩種材料在受溫度場影響下的有效材料特性可參考Zhou等的研究。邊界條件的設置通過改變邊界彈簧的剛度值而實現，本文研究涉及了自由(F)、固支(C)和簡支(S)3種經典邊界，其邊界彈簧剛度值按Li等的研究設置。圓錐殼的邊界條件可通過這些符號的組合進行描述，第一個符號代表圓錐殼小端的邊界條件，第二個符號代表圓錐殼大端的邊界條件。

2.1 自由振動分析

由建模過程可知，文中構建的位移容許函數的軸向部分在理論上可以展開為無窮多項。但在實際計算時，由于計算硬件資源有限，無法取無窮多級數展開項進行計算。因此，在滿足計算精度的要求下，通常需進行有限項數的截斷來獲得較為逼近精確解的近似計算結果。因此，在熱環境下振動特性研究之前，有必要分析文中方法對FGM圓錐殼結構熱振特性計算的收斂特性。不同邊界條件下FGM圓錐殼的第1階、第3階、第5階、第7階和第9階頻率結果隨軸向級數截斷值M的變化曲線，如圖2所示。圓錐殼的幾何結構參數為默認參數值，溫度變化為ΔT=50 K，功能梯度指數φ=1，同時還考慮了C-C和C-F兩種邊界條件。由圖2可知：無論是C-C還是C-F邊界，所有頻率結果都隨著M的線性增加而迅速收斂；當M≥12時，所有頻率結果都收斂于穩定值。因此，在接下來的研究中，M的值設定為20。

圖2 不同級數截斷值M下FGM圓錐殼結構的頻率結果Fig.2 Frequency results for FGM conical shell structures with different truncated values M

不考慮溫度場影響的FGM圓錐殼的前10階頻率結果對比，如表1所示。結構的幾何參數為：α=40°,h=0.1 m,R0=0.5 m,L=2 m/cosα。其內外表面材料分別是氧化鋯(陶瓷)和鋁(金屬)，其材料特性參數見文獻[16]。邊界條件為F-C，考慮了φ=1,φ=5,φ=50和∞這4種梯度指數。與采用廣義微分正交法的文獻結果進行了對比，可以看出兩種方法的計算結果可以很好的匹配。

表1 具有不同梯度指數的F-C FGM圓錐殼的前10階頻率結果對比Tab.1 Comparisons of the first tenth frequency results of F-C FGM conical shells with different gradient indices Hz

均勻溫度場下的FGM圓錐殼的前10階頻率結果對比，如表2所示。參考溫度T0=300 K，溫度差ΔT=50 K。梯度指數φ=0，考慮了C-C, F-C, S-S和S-F 4種邊界條件。對比數據為有限元分析結果，有限元模型網格尺寸采用四邊形網格單元，尺寸為0.02 m×0.02 m。通過結果對比可知，兩種方法的計算結果可以較好的匹配，最大相對誤差均在0.6%以內。因此，文中構建分析模型可以有效準確地分析溫度場影響下FGM圓錐殼的自由振動特性。

表2 具有不同邊界條件的FGM圓錐殼在溫度場影響下的前10階頻率結果對比Tab.2 Comparisons of the first 10 frequency results of FGM conical shells with different boundary conditions under the influence of temperature field Hz

2.2 瞬態振動分析

本節針對FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態振動特性進行了研究。在接下來的分析中，施加的載荷為f=(0, 0, -1 N, 0, 0)T，時間范圍為0～0.02 s，載荷激勵時間為0.01 s，激勵位置為Ls=[s0,s1],Lθ= [θ0,θ1]。其中：s0和s1分別為沿s方向的起點和終點位置； 而θ0,θ1分別為沿θ方向的起點和終點位置。因此根據激勵位置的不同可以分為點力、線力和面力3種類型。

FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態振動曲線對比，如圖3所示。邊界條件為C-C，梯度指數φ=1，溫度差ΔT=0，其余參數與表2算例保持一致。載荷的激勵位置為Ls=[1 m/cosα, 1 m/cosα],Lθ= [0, 0]，采用的是矩形脈沖。其中還包括了3種測點位置(s,θ)，分別是：測點1(2 m/cosα, 0)，測點2(2.5 m/cosα, 0)和測點3(3 m/cosα, 0)。與基于有限元法得到的瞬態響應特性進行對比可以發現，兩種方法獲得的瞬態振動響應無論是趨勢還是峰值都能很好的吻合。故文中方法可以有效預測FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態振動特性。

圖3 C-C FGM圓錐殼在溫度場影響下的瞬態振動響應對比Fig.3 Comparisons of transient vibration characteristics of C-C FGM conical shell under the influence of temperature field

在上述數值驗證的基礎上，接下來將開展參數化分析研究。邊界約束彈簧剛度值變化對圓錐殼測點2的瞬態振動特性的影響情況，如圖4所示。研究過程中將某幾組彈簧剛度值(k)分別取為0, 1×108, 1×1011和1×1014，而將其余各組彈簧剛度值均設為1×1014。分析模型其余參數與圖3算例參數保持一致。由圖4可知，ku和kv的變化對結構瞬態振動的影響更為明顯，尤其是剛度值在1011～1014，ku和kv的變大會使得瞬態振動曲線明顯向左移動，而且幅值也有所降低。

圖4 邊界彈簧剛度值的變化對于FGM圓錐殼瞬態振動的影響規律Fig.4 The influence of boundary spring stiffness on transient vibration of FGM conical shell

不同溫度場對FGM圓錐殼的瞬態振動特性的影響，如圖5所示。邊界條件為C-C，結構的幾何材料屬性以及載荷激勵的設置與圖4算例一致。需要注意的是，對于線性和非線性溫度場而言，T′=Tc-Tm。不難看出，對于3種溫度場而言，ΔT或者T′的增大都會使得結構的瞬態振動曲線稍向右移動，而且在均勻溫度場下的變化要較為明顯。

圖5 溫度場的變化對FGM圓錐殼瞬態振動的影響規律Fig.5 The influence of temperature field change on transient vibration of FGM conical shell

梯度指數φ、殼體厚度h以及半頂角α等幾何結構參數對FGM圓錐殼瞬態振動特性的影響，如圖6所示。在研究過程中，除了需要變化的參數外，其余的設置均與圖4算例保持一致。由圖6可知：φ的增大會使得結構的瞬態振動曲線出現向右移動的趨勢，而其當φ>20后，趨勢逐漸不明顯；而h的增大會非常明顯的降低曲線的幅值；α的變大會令曲線向右移動，而且幅值也會有所增大。

圖6 幾何材料屬性的變化對FGM圓錐殼瞬態振動的影響Fig.6 The influence of geometry and material properties on the transient vibration of FGM conical shell

最后研究了載荷的脈沖類型對FGM圓錐殼瞬態振動曲線的影響，對比情況如圖7所示。考慮了矩形、三角形、半正弦以及指數4種脈沖類型，它們的定義可參考Li等的研究。線力的激勵位置為Ls=[1 m/cosα, 2 m/cosα],Lθ=[0, 0]；面力的激勵位置為Ls=[1 m/cosα, 2 m/cosα],Lθ=[0, 30°]。點力以及其余參數設置均與圖4算例保持一致。通過對比分析不難看出，無論是點力、線力還是面力，相比較三角形和半正弦脈沖而言，矩形和指數脈沖下的瞬態曲線有著更明顯的幅值。

圖7 不同載荷脈沖類型所對應的FGM圓錐殼瞬態振動曲線Fig.7 Transient vibration curves of FGM conical shells corresponding to different load pulse types

3 結 論

基于人工彈簧理論模擬邊界約束條件，在一階剪切變形理論和譜幾何法框架下構建了熱環境影響下FGM圓錐殼自由振動和瞬態振動特性分析模型。通過將模型解與相關文獻解和有限元分析結果進行對比分析，驗證了所構建分析模型的準確性和可靠性。在此基礎上開展參數化分析，獲得了材料屬性、幾何結構參數、邊界條件、熱環境等參數對FGM圓錐殼瞬態振動特性的影響規律：

(1) 在邊界條件方面，邊界彈簧ku和kv對結構瞬態振動的影響更為明顯，在一定區間內，ku和kv的增大會使得瞬態曲線向左移動并降低幅值。

(2) 均勻溫度場下的溫度變化會較為明顯地影響結構的瞬態振動響應，響應特性曲線會隨著溫度差的變大而稍向右移動。

(3) 梯度指數或者半頂角的增大會使得結構的瞬態振動響應曲線出現向右移動的趨勢，而殼體厚度的增大會非常明顯的降低響應幅值。

(4) 對于載荷的脈沖類型，矩形和指數脈沖作用下的瞬態曲線的幅值更加明顯。