基于代理模型技術(shù)的玻璃纖維復(fù)合裝甲抗彈性能多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

王 威， 胡鵬程， 張 攀， 劉 均， 程遠(yuǎn)勝

(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074)

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料因其質(zhì)量較輕、強(qiáng)度和模量高、抗疲勞性能好等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于抗彈防護(hù)等領(lǐng)域[1]。纖維增強(qiáng)復(fù)合材料主要由纖維和基體組合而成。在復(fù)合材料中，纖維通常按照一定方式鋪設(shè)。常見的布置方式有單向布置、二維布置和三維布置。特殊的布置方式使得材料在整體上呈現(xiàn)出遠(yuǎn)超單根纖維的優(yōu)良力學(xué)特性[2]。纖維對材料起增強(qiáng)作用，其種類繁多，常用的高性能抗彈纖維有芳綸纖維、超高分子量聚乙烯纖維、玻璃纖維[3]等。纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的抗彈性能一直受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，研究重點集中在其受到?jīng)_擊載荷時的彈道極限、失效形式和吸能機(jī)制等[4]。隨著計算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)值方法已成為彈道沖擊領(lǐng)域最常用的方法，與彈道試驗和理論分析相結(jié)合的研究思路被廣泛使用。

目前，建立纖維增強(qiáng)復(fù)合材料板數(shù)值模型的方法主要有兩種：連續(xù)均質(zhì)模型和微觀結(jié)構(gòu)模型[5]。前者將整個材料簡化為具有正交各向異性的均質(zhì)材料，后者則用兩種材料還原纖維和基體結(jié)構(gòu)。連續(xù)均質(zhì)模型不能完全反映復(fù)合材料的失效方式，但其優(yōu)點是簡便、耗費的計算資源更少，目前仍使用較多。

為使防護(hù)裝甲能夠適應(yīng)多種類型的沖擊工況，多層板復(fù)合裝甲的設(shè)計思路被提出，將不同類型的材料組合在一起使之具備更優(yōu)良的防護(hù)性能[6]。針對復(fù)合裝甲的抗彈性能已開展了一些相關(guān)研究[7-10]。對于由多種材料、多個結(jié)構(gòu)組成的復(fù)合裝甲，它的抗彈性能直接受到自身結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，如前后面板的厚度、芯層厚度等，選擇合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)能夠讓復(fù)合裝甲的防護(hù)效果達(dá)到最佳[11-13]。

若芯層結(jié)構(gòu)為波紋結(jié)構(gòu)、蜂窩結(jié)構(gòu)、梯形結(jié)構(gòu)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，或者復(fù)合裝甲的板層數(shù)量較多，那么整個復(fù)合裝甲抗彈性能的影響因素會更多。通過試驗方法或數(shù)值方法進(jìn)行參數(shù)研究可以定性分析這些結(jié)構(gòu)參數(shù)對抗彈性能的影響，而理論解析方法在面對這種材料組分多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況時，很難得到較精確的結(jié)果。結(jié)構(gòu)參數(shù)較多的復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)，往往會構(gòu)成數(shù)目較多的組合方式，若采用有限元方法探索最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計方案將會非常耗時。

針對這類耗時的優(yōu)化問題，可以采用代理模型技術(shù)進(jìn)行解決。通過利用少量的高精度結(jié)果數(shù)據(jù)，選擇合適的數(shù)學(xué)模型，近似預(yù)估其他參數(shù)下的輸出結(jié)果，可以大大縮短分析時間，提高優(yōu)化速度[14]。基于代理模型技術(shù)對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能開展優(yōu)化設(shè)計研究的方法獲得了一些學(xué)者的關(guān)注。Qi等[15]以三明治板面板厚度和泡沫鋁密度為設(shè)計參數(shù)，采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型和NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法，對泡沫鋁夾芯三明治板結(jié)構(gòu)的防爆性能進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。Chen等[16]采用多項式響應(yīng)面代理模型，建立了蜂窩夾層結(jié)構(gòu)在垂直和45°傾斜載荷下吸能特性與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而通過多目標(biāo)遺傳算法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了輕量化設(shè)計。Cai等[17]基于Kriging模型，建立了金屬波紋芯層夾層結(jié)構(gòu)的抗爆性能和面板厚度、波紋芯層厚度、高度和傾斜角度間的關(guān)系，并對結(jié)構(gòu)最大撓度和比吸能量進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。

本研究將以由高強(qiáng)度鋼面板和玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料芯層組成的復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)為研究對象。將采用有限元分析軟件ANSYS/AUTODYN，建立該復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)彈道行為的數(shù)值預(yù)報模型，并與文獻(xiàn)、試驗數(shù)據(jù)對比驗證數(shù)值模型的有效性。采用Kriging代理模型技術(shù)，建立復(fù)合裝甲彈道極限速度的快速預(yù)報代理模型，通過與有限元結(jié)果對比驗證代理模型的預(yù)報精度，并開展相關(guān)性分析。最后，基于構(gòu)建的代理模型，采用NSGA-Ⅱ算法對復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，獲得其帕累托前沿曲線，并對初始設(shè)計結(jié)構(gòu)提出兩種優(yōu)化方案。

1 玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)有限元模型

1.1 有限元模型建立

1.1.1 幾何模型與網(wǎng)格劃分

復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)由前、后置面板和芯層組成，它們的面內(nèi)尺寸均為480 mm×480 mm。子彈為圓柱形，直徑為12.8 mm，長度為40 mm。利用有限元分析軟件AUTODYN 建立彈體和復(fù)合裝甲的全尺寸模型，采用六面體拉格朗日網(wǎng)格對靶板和彈體進(jìn)行離散化。彈體直徑方向和長度方向分別劃分為14份和40份，單元近似為邊長1 mm的立方體。靶板面內(nèi)采用“梯度劃分”策略，在沖擊中心約兩倍彈體直徑范圍劃分1 mm大小網(wǎng)格，離中心越遠(yuǎn)網(wǎng)格越大，厚度方向單元大小同樣為1 mm。靶板結(jié)構(gòu)和彈體的有限元模型，如圖1所示。

圖1 靶板和彈體的有限元模型Fig.1 Finite element model of target plate and projectile

1.1.2 玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板材料模型

采用連續(xù)均質(zhì)模型，建立玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板有限元模型，描述其力學(xué)行為的材料模型主要包含狀態(tài)方程、強(qiáng)度模型、失效模型和侵蝕準(zhǔn)則。

固體狀態(tài)方程用來描述固體材料溫度、體積和內(nèi)部壓力之間的關(guān)系。由于玻纖復(fù)合材料中纖維的規(guī)則排列，材料從整體上表現(xiàn)出各向異性，狀態(tài)方程采用正交各向異性類型。采用非線性體積響應(yīng)模型，描述高速沖擊載荷下玻璃纖維材料的狀態(tài)變化，其表達(dá)式為

(1)

式中：μ為壓縮率，μ=ρ/ρ0-1；ρ0為材料未受力時的密度；e為單位質(zhì)量的材料內(nèi)能；A1，A2，A3，B0，B1，T1和T2均為材料常數(shù)。一般情況下，T1=A1，而A1通常取等效體積模量K，由材料的剛度系數(shù)換算得到。僅取非線性狀態(tài)方程的前兩項(A2取10×A1)足以滿足該沖擊問題的求解精度[18]。

材料強(qiáng)度描述材料何時發(fā)生屈服，隨后產(chǎn)生塑性應(yīng)變。選用彈性模型作為玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的強(qiáng)度模型，即假定材料為理想彈性材料，不會達(dá)到屈服狀態(tài)，不發(fā)生塑性變形。

失效模型用來判斷材料何時發(fā)生失效，失效后的力學(xué)行為發(fā)生怎樣的變化，分別對應(yīng)失效準(zhǔn)則和后失效響應(yīng)。在建立材料幾何模型以及定義彈性常數(shù)時，坐標(biāo)系中x，y，z方向分別對應(yīng)材料模型中的3，2，1方向，同時也分別為玻璃纖維板的層內(nèi)相互正交的縱、橫纖維方向和板厚方向。失效準(zhǔn)則基于材料的應(yīng)力和應(yīng)變響應(yīng)，即當(dāng)任意一個應(yīng)力或應(yīng)變分量超過設(shè)定閾值時，判定材料單元在對應(yīng)方向上發(fā)生失效。因玻璃纖維復(fù)合材料具有正交各向異性，各應(yīng)力、應(yīng)變分量的失效設(shè)定值不同，如表1所示。當(dāng)11方向應(yīng)變ε11>0.009時，程序判定該單元發(fā)生11方向拉伸失效；當(dāng)22(33)方向正應(yīng)力σ22(σ33)>432 MPa、或ε22(ε33)>0.02時，單元發(fā)生22(33)方向拉伸失效；當(dāng)面內(nèi)切應(yīng)力τ23>80 MPa時，單元發(fā)生面內(nèi)剪切失效；當(dāng)同時有兩個分量達(dá)到設(shè)定閾值時，單元發(fā)生整體失效，之后將只能承受靜水壓力。上述不同類型的失效發(fā)生后，將會對材料的力學(xué)性能產(chǎn)生不同影響，因此失效后材料的力學(xué)響應(yīng)同樣呈現(xiàn)各向異性。面內(nèi)剪切失效和11方向拉伸失效將造成玻璃纖維板的分層現(xiàn)象，而22(33)方向拉伸失效則造成層內(nèi)對應(yīng)方向的纖維拉伸失效。失效后，材料的剛度矩陣發(fā)生退化，對應(yīng)方向上楊氏模量減為0；剪切模量均產(chǎn)生折減，剩余剪切剛度分?jǐn)?shù)通常取0.2。

表1 玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料材料參數(shù)[19]Tab.1 Material parameters of glass fiber reinforced polymer

侵蝕準(zhǔn)則用來判定何時刪除單元。之所以需要對某些單元實行刪除操作，是因為當(dāng)單元的變形程度很大、形狀十分扭曲時，時間步長將會變得很小，有限元數(shù)值計算過程所需的時間會大大增加，使仿真無法繼續(xù)下去。為了將時間步長維持在合理范圍，保證數(shù)值計算順利進(jìn)行，當(dāng)單元變形過大時，會被程序自動刪除。采用等效幾何應(yīng)變衡量單元的變形程度，應(yīng)變閾值取0.8。

1.1.3 鋼板和子彈的材料模型

復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的面板為高強(qiáng)度鋼，侵徹子彈材料為35CrMnSiA鋼。兩種鋼材的動響應(yīng)力學(xué)行為采用相同的材料模型進(jìn)行模擬。材料模型采用Hugoniot狀態(tài)方程、Cowper-Symonds模型、基于等效塑性應(yīng)變的失效準(zhǔn)則和基于等效應(yīng)變的侵蝕準(zhǔn)則。具體材料參數(shù)取值如表2所示。

表2 某高強(qiáng)度鋼和35CrMnSiA鋼的材料參數(shù)Tab.2 Material parameters of high strength steel and 35CrMnSiA steel

1.1.4 邊界條件、初始條件和接觸設(shè)置

復(fù)合裝甲面板的4條棱邊施加剛性固定邊界條件。子彈施加沿靶板法線方向的初速度。

子彈和復(fù)合裝甲各層之間設(shè)置拉格朗日/拉格朗日接觸。建立幾何模型時，彈體與前置面板間、各層板之間留有0.1 mm的人工間隙，用于滿足接觸部件之間最小間距要求。累計產(chǎn)生的人工間隙總和為0.5 mm，遠(yuǎn)小于復(fù)合裝甲和彈體厚度方向的尺度，可以忽略人工間隙對有限元計算結(jié)果的影響。

1.2 有限元模型對比驗證

1.2.1 與文獻(xiàn)結(jié)果對比

文獻(xiàn)[20]對纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的抗彈性能進(jìn)行了數(shù)值仿真，復(fù)合材料的纖維為Kevlar纖維，基體為環(huán)氧樹脂。對應(yīng)數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果，如圖2所示。圖2給出了靶板在500 m/s子彈侵徹作用下失效行為的演化過程。隨著子彈侵徹深度的不斷增加，靶板厚度方向分層失效(11失效)范圍在面內(nèi)和厚度兩個方向上延伸，甚至在某些厚度位置達(dá)到了靶板邊界。靶板背面凸起變形程度不斷增大。最終，子彈頭部下方變形最嚴(yán)重的部分與靶板主體分離，子彈從背面射出。本節(jié)仿真所得剩余速度為298 m/s，與文獻(xiàn)曲線圖中的數(shù)據(jù)十分接近，且失效云圖在失效模式和失效范圍上十分吻合，由此驗證了纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板數(shù)值模型的有效性。

圖2 當(dāng)入射速度為500 m/s時，纖維增強(qiáng)復(fù)合材料 靶板失效模式對比Fig.2 Comparison of damages in glass fiber reinforced polymer plate at different times impacted at 500 m/s

1.2.2 與試驗結(jié)果對比

在1 300～1 900 m/s高速子彈沖擊下，復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)剩余速度的有限元數(shù)值計算結(jié)果，如表3所示。當(dāng)剩余速度恰好為0時，靶板處于穿透與未穿透的臨界狀態(tài)，此時的入射速度稱為彈道極限速度，它能在一定程度上反映靶板抵抗破片沖擊的能力。在有限元模型中逐漸減小入射速度逼近彈道極限的方法理論上可行，但實際上彈道極限附近工況的數(shù)值計算結(jié)果受網(wǎng)格劃分方式的影響很大，導(dǎo)致所得的剩余速度不可靠。

表3 不同入射速度下，剩余速度的數(shù)值仿真結(jié)果Tab.3 Numerical results of residual velocity at different impact velocity

目前，國內(nèi)外學(xué)者普遍采用Lambert-Jonas方法估計結(jié)構(gòu)的彈道極限速度，Lambert-Jonas方程的表達(dá)式為

(2)

式中：vi，vr和vbl分別為子彈入射速度、剩余速度和結(jié)構(gòu)彈道極限速度；a，p為待定參數(shù)，由一組入射速度、剩余速度的值和最小二乘法確定。將表1中的數(shù)據(jù)代入Lambert-Jonas方程中，擬合得到a=0.46，p=2.81，彈道極限速度為vbl=1 169.1 m/s，剩余速度-入射速度擬合曲線，如圖3所示。

圖3 數(shù)值入射速度-剩余速度擬合曲線圖Fig.3 Fitting curve of impact and residual velocities of numerical simulations

在彈道試驗中，用6發(fā)子彈以不同入射速度沖擊玻璃纖維復(fù)合裝甲，試驗結(jié)果如表4所示。6發(fā)子彈打靶結(jié)果中，3發(fā)子彈完全貫穿了復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)，3發(fā)未貫穿，且最大入射速度1 322.9 m/s與最小入射速度1 282.8 m/s間相差40.1 m/s，即6發(fā)破片的入射速度在較小的速度范圍內(nèi)，那么該6發(fā)子彈的入射速度平均值可作為v50彈道極限速度，得到v50=1 301.8 m/s。對比數(shù)值彈道極限速度vbl和試驗彈道極限速度v50，兩者間的誤差為10.2%，該相對誤差大小對于彈道極限速度的預(yù)測而言在可接受的范圍之內(nèi)，可認(rèn)為所建立的有限元數(shù)值模型在預(yù)測剩余速度和彈道極限速度方面可靠性較好。

表4 6發(fā)彈道試驗結(jié)果數(shù)據(jù)表Tab.4 Results of the ballistic test

彈道試驗靶板毀傷容貌，如圖4所示。在沖擊彈孔附近，靶板受到嚴(yán)重破壞。纖維由于破片的沖擊，被拉斷或剪斷；大量玻璃纖維脫離基體材料，在靶板中間的沖擊斷口處可觀察到纖維的自由端；甚至部分纖維發(fā)生外翻，在靶板的上下表面觀察到裸露在外的玻璃纖維，上表面的外翻區(qū)域面積更大，而下表面的范圍更集中、外翻程度更嚴(yán)重。復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的表面和剖面均能觀察到泛白區(qū)域，這是子層間的分離造成的，即分層失效現(xiàn)象。

圖4 1 379.8 m/s沖擊速度下芯層結(jié)構(gòu)的試驗毀傷容貌Fig.4 Post-impacted core from experiment impacted at 1 379.8 m/s

數(shù)值模型預(yù)報的靶板失效容貌，如圖5所示。從剖面圖可以看到，靶板內(nèi)部的主要失效模式為厚度方向拉伸失效(11失效)和整體失效。從俯視圖中得到，靶板表面的主要失效模式為厚度方向拉伸失效(11失效)和層間剪切失效(23失效)。預(yù)測的失效容貌中厚度拉伸失效和層間剪切失效都將造成靶板厚度方向分層失效，而整體失效則對應(yīng)靶板中纖維和基體的嚴(yán)重破壞。

圖5 1 379.8 m/s沖擊速度下玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合材料 芯層結(jié)構(gòu)失效容貌的數(shù)值預(yù)測結(jié)果Fig.5 Predicted damage pattern of GFRP core impacted at 1 379.8 m/s

對比數(shù)值仿真和彈道試驗的靶板失效容貌圖，彈孔附近和靶板表面的失效模式、失效范圍基本一致。同時，數(shù)值模型對彈道極限速度的預(yù)測精度較好，可認(rèn)為所構(gòu)建的有限元模型可用于預(yù)報復(fù)合裝甲的抗彈性能。

2 復(fù)合裝甲抗彈性能快速預(yù)報代理模型

2.1 Kriging代理模型

復(fù)合裝甲抗彈性能的一個重要指標(biāo)是彈道極限速度，它指子彈穿透結(jié)構(gòu)的臨界速度。目前，數(shù)值彈道極限速度普遍采用Lambert-Jonas方程擬合得到，需要計算4～6個入射速度下的剩余速度。雖然有限元數(shù)值方法具有足夠的求解精度，但是計算所需的時間往往較長，對結(jié)構(gòu)彈道極限速度的預(yù)測更是需要多個工況的結(jié)果。代理模型方法很好地解決這個難題，根據(jù)已知的一定數(shù)目樣本點，選用合適的數(shù)學(xué)模型，給出近似結(jié)果。在舍棄部分求解精度的情況下，大大縮短抗彈性能的預(yù)測時間。選擇采用Kriging代理模型技術(shù)，建立彈道極限速度與復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)組成部件厚度參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。

假設(shè)前置面板厚度tf、芯層厚度tc和后置面板厚度tb的取值范圍分別為4～12 mm，20～60 mm和4～12 mm。采用全試驗設(shè)計方法，在該設(shè)計空間內(nèi)均勻選取樣本點，每個設(shè)計變量取3個點，一共組成27個樣本點，樣本點設(shè)計變量具體取值，如表5所示。每個樣本點計算4～6個入射速度下的剩余速度，共計132個計算工況。利用這27個樣本點，建立彈道極限速度vbl與板厚tf，tc，tb之間的Kriging模型。

表5 設(shè)計變量的樣本點取值Tab.5 Sample values for design variables

2.2 代理模型精度檢驗

子彈沖擊復(fù)合裝甲問題尚未提出比較成熟的理論解析解，而在建立代理模型時，不關(guān)心具體物理過程，將該過程抽象為一個擁有輸入變量和輸出變量的系統(tǒng)，所以事先無法判斷所選代理模型是否合適，從而需要在模型建立之后進(jìn)行精度檢驗。

在設(shè)計空間內(nèi)隨機(jī)生成10個設(shè)計方案作為模型精度分析的檢測點，比較代理模型預(yù)報值和有限元數(shù)值計算彈道極限速度之間的誤差。采用相對誤差ER和歸一化均方根偏差DNR評估誤差大小，計算表達(dá)式如下

(3)

(4)

表6 代理模型預(yù)報精度檢驗結(jié)果Tab.6 Accuracy evaluation of predicted results by surrogate model

2.3 變量相關(guān)性分析

除了用彈道極限速度表征抗彈性能之外，靶板面密度也是復(fù)合裝甲性能的重要指標(biāo)之一，具體表達(dá)式為

A=ρftf+ρctc+ρbtb

(5)

式中：A為靶板面密度；ρf，ρc，ρb分別為前置面板密度、芯板密度和后置面板材料密度。

為了分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對復(fù)合裝甲抗彈性能的影響程度，有必要對3個板厚參數(shù)、彈道極限速度和靶板面密度進(jìn)行相關(guān)性分析。Pearson相關(guān)系數(shù)可用于衡量兩個變量間的線性相關(guān)性，具體計算表達(dá)式為

(6)

相關(guān)性分析結(jié)果，如表7所示。由表7可知，3個結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)均為0，意味著它們沒有線性相關(guān)性，這是因為它們隨機(jī)選取、相互獨立。彈道極限速度與3個板厚間的相關(guān)系數(shù)均大于0，說明隨著厚度的增加，復(fù)合裝甲的抗沖擊能力提高。其中，彈道極限速度與復(fù)合裝甲芯層厚度間的線性相關(guān)性最強(qiáng)，為強(qiáng)相關(guān)；與前置面板厚度間的線性相關(guān)性次之，為中等程度相關(guān)；與背面板厚度間的線性相關(guān)性最弱，為弱相關(guān)。復(fù)合裝甲彈道極限速度和面密度間的相關(guān)系數(shù)為0.98，十分接近1，說明兩者間的線性相關(guān)程度極高，且呈正相關(guān)。兩者中一個增大將會同時導(dǎo)致另一個增大，這意味著抗彈性能最大化和結(jié)構(gòu)輕量化之間存在矛盾性。

表7 相關(guān)性分析結(jié)果矩陣Tab.7 The result matrix of correlation analysis

3 復(fù)合裝甲抗彈性能多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

3.1 優(yōu)化問題描述

彈道極限速度反映結(jié)構(gòu)抵抗子彈侵徹的能力，面密度反映結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)是提高彈道極限速度的同時降低面密度。由相關(guān)性分析結(jié)果可知，板厚對復(fù)合裝甲彈道極限速度和靶板面密度有很大影響，且兩者之間呈正相關(guān)。顯然，兩個優(yōu)化目標(biāo)之間存在矛盾性，選擇合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)對復(fù)合裝甲抗彈性能的優(yōu)化設(shè)計十分重要。

設(shè)計變量為前置面板厚度tf、芯層厚度tc和背面板厚度tb，目標(biāo)變量為彈道極限速度vbl和面密度A。優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型可表示為

(7)

其中，為便于優(yōu)化算法求解，用彈道極限速度的相反數(shù)表示結(jié)構(gòu)的抗彈能力，使兩個目標(biāo)的優(yōu)化方向均為最小化。優(yōu)化算法采用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)遺傳算法，它具有計算速度快，結(jié)果收斂性好的特點，可在MATLAB工具箱中直接使用。結(jié)合已建立的Kriging代理模型，經(jīng)過反復(fù)迭代計算，可獲得滿足約束條件的最優(yōu)解。

3.2 優(yōu)化設(shè)計流程

優(yōu)化設(shè)計的主要步驟為：首先，確定優(yōu)化設(shè)計問題中的設(shè)計變量與目標(biāo)變量；然后，構(gòu)建目標(biāo)變量和設(shè)計變量間的函數(shù)關(guān)系，并對設(shè)計變量施加約束條件，從而建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型；之后，利用優(yōu)化算法得到初步優(yōu)化結(jié)果，作出帕累托前沿圖；最后，對結(jié)果進(jìn)行討論，分析優(yōu)化目標(biāo)的性能改善情況，結(jié)合實際工程需要和初始結(jié)構(gòu)參數(shù)提出優(yōu)化方案。

3.3 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果分析

3.3.1 帕累托前沿

相關(guān)性分析結(jié)果顯示，在抗彈復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)設(shè)計中，彈道極限速度和面密度呈現(xiàn)相反的優(yōu)化方向，不能同時獲得最大彈道極限速度和最小面密度。帕累托最優(yōu)化方法可以處理多個相悖目標(biāo)變量之間的優(yōu)化問題。利用MATLAB軟件中的多目標(biāo)遺傳算法NSGA-Ⅱ 計算出帕累托最優(yōu)解集，如圖6所示，橫坐標(biāo)為彈道極限速度的相反數(shù)-vbl，縱坐標(biāo)為復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的面密度A。

圖6 復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的帕累托前沿圖Fig.6 Pareto fronts of the composite armor

帕累托前沿由一系列“最優(yōu)解點”構(gòu)成，不存在目標(biāo)變量均優(yōu)于“最優(yōu)解點”的點，所以從圖6看帕累托前沿是所有解的邊界。當(dāng)所得的“最優(yōu)解點”數(shù)目足夠多時，帕累托前沿可近似看作一條曲線。為得到足夠精確的優(yōu)化方案，設(shè)置遺傳算法中初始種群大小為1 600，經(jīng)過120代計算，得到560個帕累托最優(yōu)解。

帕累托前沿中有兩個特殊點：“理想化點”和“拐點”。由圖6可知，理想化點為帕累托前沿左右端點的垂直交點，其橫坐標(biāo)為1 334 m/s，縱坐標(biāo)為9.88 g/cm2。顯然，之所以被稱為“理想化點”，是因為該點在前沿曲線的左側(cè)，實際無法取得，彈道極限速度的相反數(shù)-vbl和復(fù)合板面密度A不可能同時取最小值。拐點的定義是帕累托前沿曲線上到理想化點距離最近的點，考慮到橫、縱坐標(biāo)代表的物理量不同，且絕對數(shù)值相差很大，此處的距離實際上經(jīng)過歸一化和無量綱化處理，表達(dá)式為

(8)

拐點的含義是多個目標(biāo)變量間的最佳折中取值，求解得到拐點為彈道極限速度830 m/s、靶板面密度15.29 g/cm2，與理想化點的無量綱距離為0.817 1。

初始設(shè)計點P0到理想化點的距離為1.255，大于拐點。比較兩個點之間的性能差別，拐點較P0點彈道極限速度下降了14.96%，但靶板面密度減小了29.67%。顯然，由于多變量間的矛盾關(guān)系，拐點只是名義上的最佳方案，具體選擇哪種設(shè)計方案需要結(jié)合工程上的需求和規(guī)范。

3.3.2 初始設(shè)計點的優(yōu)化方案

將初始設(shè)計點P0對應(yīng)的目標(biāo)變量標(biāo)記于帕累托前沿圖中，見圖6。點P0位于前沿曲線的右側(cè)，意味著該點不是最優(yōu)解點，仍具有一定的優(yōu)化空間。過點P0分別作關(guān)于橫軸、縱軸的平行線，與前沿曲線交于點P1和點P2。點P1對于初始點P0的優(yōu)化含義為通過適當(dāng)改變復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的厚度可以在保持靶板面密度不變的前提下提高其彈道極限速度。點P1的彈道極限速度為1 120 m/s，提高了14.75%。同理，在保持復(fù)合裝甲彈道極限速度相同的前提下還可以降低靶板面密度，點P2的面密度為18.34 g/cm2，相對初始設(shè)計方案點P0降低了15.64%。

復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案P1和P2的有限元計算結(jié)果，如表8所示。由結(jié)果可知，代理模型的彈道極限速度預(yù)報結(jié)果與有限元數(shù)值結(jié)果之間的誤差很小，說明優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的準(zhǔn)確性較高。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計具體結(jié)果，如表9所示。

表8 優(yōu)化設(shè)計點的有限元分析結(jié)果Tab.8 Finite element results of the modified structures

表9 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Tab.9 Results of multi-objective optimization

3.3.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)(設(shè)計變量)的變化規(guī)律分析

將帕累托前沿點按靶板面密度或者彈道極限速度從小到大排列，作出復(fù)合裝甲設(shè)計參數(shù)的取值變化圖，如圖7所示。XYZ坐標(biāo)軸分別對應(yīng)前置面板厚度、芯層厚度和后置面板厚度。假定曲線的起點為(4,20,4)，那么終點為(12,60,12)，分別為設(shè)計空間的上、下邊界點。曲線從起點至終點的變化過程，表示復(fù)合裝甲的最佳結(jié)構(gòu)布置隨給定面密度或給定彈道極限速度增大的變化情況。由圖7可知，曲線在點(12,60,4)之前的部分幾乎均位于設(shè)計空間的下平面內(nèi)，而曲線經(jīng)過點(12,60,4)之后呈現(xiàn)垂直上升的趨勢。這意味著在給定面密度較小或者彈道極限速度要求較低時，前置面板和芯層對復(fù)合裝甲抗彈性能的貢獻(xiàn)更大，芯層厚度率先到達(dá)上限，然后是前置面板。在兩者均達(dá)到最大值后，后置面板厚度才從最初的4 mm開始增加。曲線有兩個反常變化的地方：當(dāng)芯層厚度為30～40 mm時，前置面板厚度在降低；當(dāng)后置面板厚度為8～10 mm時，前置面板厚度減小了。這說明對于不同的面密度和彈道極限速度，復(fù)合裝甲各部件對抗彈性能貢獻(xiàn)的大小關(guān)系不完全相同。

圖7 復(fù)合裝甲最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.7 Optimum structural parameters of the composite armor

4 結(jié) 論

基于連續(xù)均質(zhì)模型，建立了彈體侵徹玻璃纖維增強(qiáng)復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型，并采用Kriging法構(gòu)建了彈道極限速度快速預(yù)報代理模型，最終提出了復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)抗彈性能多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型，開展了復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計研究，研究結(jié)果表明：

(1) 提出的彈體侵徹復(fù)合裝甲數(shù)值模型預(yù)報的彈道極限速度和失效模式與文獻(xiàn)及彈道試驗結(jié)果吻合較好。

(2) 采用Kriging代理模型，能準(zhǔn)確預(yù)報復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的彈道極限速度，與有限元結(jié)果的相對誤差在3%之內(nèi)，歸一化均方根誤差為1.39%。

(3) 芯層厚度與復(fù)合裝甲彈道極限速度的線性相關(guān)性最強(qiáng)、后置面板厚度與彈道極限速度的線性相關(guān)性最弱；芯層厚度與靶板面密度的線性相關(guān)性也最強(qiáng)。彈道極限速度與靶板面密度的線性相關(guān)性極強(qiáng)，兩個目標(biāo)具有很強(qiáng)的矛盾性。

(4) 針對典型初始設(shè)計方案(前置面板5 mm、后置面板12 mm、芯層51 mm)，通過開展多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，保持彈道極限速度不變可使面密度下降15.64%，或者保持面密度不變可使彈道極限速度提升14.75%。

(5) 通過分析最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化歷程，發(fā)現(xiàn)在面密度有限時，優(yōu)先將材料分配給芯層、其次是前置面板、最后是后置面板，采用這種分配策略能夠優(yōu)化復(fù)合裝甲結(jié)構(gòu)的抗彈性能。