非對稱傳動系統主軸斷裂機理分析與結構優化研究

崔庭瓊， 李以農， 張運濤， 張志達， 羅法氿， 王 成

(1. 重慶大學 機械與運載工程學院，重慶 400030； 2. 北方車輛研究所，北京 100072)

特種車輛動力傳動系統的可靠性和安全性是保證車輛完成任務的重要保證，而傳動主軸作為傳動系統中傳遞動力和運動的關鍵部件，其使用性能對整個系統的功能實現和可靠工作起著至關重要的作用[1-2]。但特種車輛工作環境惡劣、行駛工況復雜，傳動主軸除了需要傳遞較大的工作載荷外，還會受到交變載荷和沖擊載荷的作用，往往是特種車輛傳動系統中最易發生失效的零部件，進而影響整個傳動系統的可靠性。因此，眾多學者對特種車輛傳動主軸失效原因開展了廣泛的研究。趙梓燁等[3]對某輕型履帶車輛傳動軸在起步工況下主離合器接合過程進行了疲勞分析，結果表明主離合器接合過程中從動盤軸向移動速率變化最大的位移點是傳動軸產生最大疲勞損傷的危險點，占全部接合過程總損傷的73.86%，損傷程度為接合過程中主離合器同步狀態的2.87倍。劉喆等[4]基于ADAMS.ATV軟件建立了履帶車輛行駛仿真平臺，獲得了傳動主軸在各種不同工況下的動態載荷，并基于MSC.Fatigue疲勞壽命分析軟件建立了傳動軸的疲勞分析模型，獲得了傳動軸的疲勞壽命，并仿真分析了不同結構對傳動軸疲勞壽命的影響規律。周杰等[5]針對某履帶車輛側減速器傳動軸的結構優化問題，結合疲勞壽命預測方法針對不同結構尺寸的傳動軸的壽命進行比較，從而實現了優化設計。Zhao等[6]通過對某特種車輛傳動軸斷裂部位進行宏、微觀觀察，金相組織檢測以及力學測試等試驗，并對傳動軸的應力進行了有限元分析，結果表明，疲勞斷裂是傳動軸失效的主要原因，應力集中的齒根或軸肩處出現裂紋的概率更高，同時左右光軸的剛度不匹配導致的傳遞扭矩分配不均是傳動軸失效的根本原因。

相比正常行駛工況，起步工況下特種車輛傳動系統載荷變動劇烈，存在明顯的沖擊載荷，該工況對傳動系統主軸造成的載荷損傷最大。同時，特種車輛傳動系統由于布局限制，傳動主軸為非對稱結構，系統剛度和阻尼等參數存在明顯差別，導致左右軸段抗扭振能力存在較大差別，系統輸入載荷分配不均。因此本文以特種車輛傳動主軸為對象，綜合考慮傳動主軸系統花鍵不對中嚙合力、軸承赫茲力等內外多源激勵，采用集中質量法建立系統非線性動力學模型，利用Runge-Kutta法進行數值求解，獲得起步工況下系統彎扭耦合振動動載荷的時域、頻域響應；基于NSGA-Ⅱ算法，以系統的扭轉動載荷為優化目標對系統結構參數進行多目標優化，并通過仿真驗證了優化結果的有效性，為特種車輛非對稱傳動主軸的結構設計提供了參考依據。

1 主軸-軸承系統動力學模型

本文的研究對象為某特種車輛復雜綜合傳動機構的主軸系統，其三維結構如圖1所示。考慮系統花鍵不對中、軸承非線性支撐和波動負載激勵等內外多源非線性激勵，基于集中質量法對系統進行簡化，得到主軸系統動力學模型，如圖2所示。

圖1 主軸系統三維結構示意圖Fig.1 Three dimensional structure diagram of spindle system

圖2 主軸-軸承系統動力學模型Fig.2 Dynamic model of spindle bearing system

圖2中：mi和Ji分別為3個轉子(包括軸承內圈)的集中質量和轉動慣量；mpij為各轉子兩端軸承座(包括軸承外圈)的集中質量；kt1,2和ct1,2為主軸兩端的扭轉剛度和阻尼；ks1,2和cs1,2為主軸兩端的彎曲剛度和阻尼；kij為各轉子兩端軸承的接觸剛度；cij為各轉子兩端軸承的結構阻尼；kp和cp為軸承座的支持剛度和阻尼；l1和l2分別為主軸左、右軸段長度，因主軸為非對稱結構，l1明顯大于l2。本文中，i=1,2,3依次為轉子1，2，3；j=1,2依次為轉子左、右兩端。

1.1 轉子動力學模型

通常實際工作中的轉子形狀不規則、材料不同及加工方式的差異都會導致轉子質量偏心，轉子嚴重的質量偏心將加劇系統的彎扭耦合振動。對考慮質量偏心的轉子進行受力分析，如圖3所示。

圖3 轉子受力分析圖Fig.3 Stress analysis diagram of rotor disc

圖3中：o(x,y)為坐標原點；oi(xi,yi)為轉子幾何中心；a(xa,ya)為轉子質心；e為偏心距；ω為轉子轉速；θ為轉子扭角；φ=ωt+θ為轉子轉角。根據幾何關系可以得到質心a的坐標

(1)

1.2 不對中花鍵嚙合力模型

主軸系統中，花鍵裝配不對中引起過度振動、磨損變形等問題，嚴重影響系統穩定運行，花鍵裝配不對中時的受力圖，如圖4所示。花鍵傳遞載荷使鍵齒發生變形，靜載會產生一個嚙合力；同時內外花鍵隨各自連接部件振動，振動位移差也產生一個嚙合力[7]。

圖4 花鍵聯軸器受力模型Fig.4 Force model of spline coupling

為便于建模，先假設不對中存在于x軸正向，由于鍵齒變形產生的嚙合力為

FFi=ΦLiKFi

(2)

(3)

式中：Φ為鍵齒受載變形產生的扭轉角位移；Li為單個鍵齒等效嚙合距離；KFi為單個鍵齒等效嚙合剛度；T為系統工作載荷；z為花鍵齒數；R為鍵根圓半徑。

動態振動所產生的嚙合力可表達為

FDi=(e′sinφi)KFi

(4)

βi=2π(i-1)/z

(5)

(6)

式中：βi為單個鍵齒與x軸正向夾角；e′為花鍵裝配總的不對中量；α為靜態不對中位移e0與x正向夾角，可取α=π/2。

整理上述推導過程，可得到花鍵受載荷存在動態位移差時二者綜合產生的嚙合力之和為

FMi=(ΦLi+e′sinβi)KFi

(7)

當花鍵鍵齒正常嚙合時，每一個鍵齒的嚙合力應該大于零，故有

(8)

將不對中產生的嚙合力沿坐標軸分解為

(9)

式中，θi為單個鍵齒的作用力方向與x軸正向夾角，θi=βi+π/2。

當動態位移發生在任意角度?時，將嚙合力沿坐標軸方向分解

(10)

1.3 軸承系統動力學模型

主軸系統中的軸承均為深溝球軸承，考慮軸承內外圈水平和豎直方向振動，建立4自由度動力學模型[8-9]，如圖5所示。圖5中：xi,o和yi,o為軸承內、外圈在軸承橫截面內水平和豎直方向的振動位移；mi為內圈質量；mo為外圈質量；kc為Hertz接觸剛度；ko為外圈剛度；ci為內圈阻尼；co為外圈阻尼。

圖5 深溝球軸承動力學模型Fig.5 Dynamic model of deep groove ball bearing

根據牛頓第二定律得到軸承系統的動力學方程

(11)

式中：fx，y分別為x，y向接觸力；Fr為施加在軸承內圈的y向載荷。

假設軸承外圈固定在軸承座上，內圈轉動時，滾珠在滾道上作純滾動。設滾珠個數為No，則第n個滾珠經過時間t后轉過的角度θn為

(12)

式中：ωc=ωind/(Dzc+dzc)為保持架角速度；ωin為內圈轉速；dzc為軸承內徑；Dzc為軸承外徑。

軸承第n個滾珠在角位移θn處與滾道的徑向接觸變形量為

δn=(xin-xo)cosθn+(yin-yo)sinθn-s

(13)

式中，s為徑向游隙。

根據Hertz接觸理論可得滾珠與滾道之間的非線性接觸力為

(14)

式中：Hn為接觸系數，表征非線性接觸力是否存在； 當δn>0時，Hn=1，否則Hn=0；m為常數，對于球軸承m=3/2； Hertz接觸剛度kc的計算參考文獻[10]。

綜上得軸承在x，y向非線性Hertz接觸力分別為

(15)

1.4 主軸-軸承系統彎扭耦合動力學模型

考慮3個轉子集中質量點在自身平面內水平和豎直方向上的自由度x和y以及隨主軸軸線扭轉的自由度θ，根據質心運動定理和動量矩定理，建立主軸-軸承系統的動力學微分方程，以輸入轉子2為例對系統的動力學微分方程進行說明

(16)

轉子2處軸承座的動力學微分方程為

(17)

式中：T2為系統輸入扭矩；Tjl4和Tjl8分別為4倍和8倍發動機轉頻正弦激勵扭矩；fxij/fyij，fcxij/fcyij分別為軸承處的x/y向接觸力和x/y向結構阻尼力，結構阻尼力表達式如下

(18)

式中，cij為各軸承的結構阻尼。

2 主軸-軸承系統起步沖擊特性分析

本文針對某特種車輛傳動主軸在起步工況下右端斷裂失效問題，如圖6所示。開展起步工況下系統沖擊載荷分析，采用Runge-Kutta法對系統動力學方程進行求解，仿真時間為10 s，仿真步長2×10-6s，在1 s時刻，傳動系統由空擋掛至一擋，一擋工況參數如表1所示，主軸結構參數如表2所示。選取軸承61818作為系統支撐軸承，依據鄧四二等的研究計算可得軸承系統各仿真參數。

圖6 主軸斷裂故障件外觀Fig.6 Appearance of failure parts of spindle fracture

表1 系統一擋工況參數表Tab.1 Table of system parameter under working condition

表2 主軸系統結構參數表Tab.2 Table of structural parameters of spindle system

2.1 主軸-軸承系統沖擊動載荷分析

求解系統動力學方程得到的是集中質量點處的位移、速度和加速度，為更準確評價起步工況下主軸的沖擊振動響應，引入軸段的定義為[11]

(19)

(20)

式中：Tb1，Tb3分別為左、右軸段的波動扭矩；fx,y1，fx,y3分別為左、右軸段x，y方向彎曲動載荷。

由于重力作用，y向彎曲動載荷要大于x向彎曲動載荷，彎曲動載荷僅以y向為例加以分析。起步工況下，主軸左右兩端的彎曲動載荷和扭轉動載荷響應，分別如圖7和圖8所示。

由圖7可以看出：當主軸剛開始工作時，彎曲動載荷需要一定時間才能穩定，當系統穩定后掛一擋起步，主軸左右端的彎曲動載荷都明顯增加，且右端彎曲動載荷要遠大于左端彎曲動載荷。由圖8可以看出：主軸剛開始工作時，扭轉動載荷比較穩定，掛一擋起步后，起步瞬間產生明顯的沖擊載荷，之后扭轉動載荷緩慢收斂，長時間處于震蕩衰減的非穩定狀態，且右端軸段扭動載荷的均方根值為左端軸段的1.42倍，即主軸右端的扭轉動載荷起步時更易受到沖擊的影響，主要原因在于起步工況下主軸兩側輸出為固定約束，屬于扭轉靜不定，主軸兩側承受扭矩的比值為扭轉剛度之比，由于主軸兩側為長短不同的非對稱結構，當主軸兩側的內外徑相等，則長度短的一側(右側)承擔的扭矩大，因而起步時更容易受到沖擊影響。

圖7 主軸左、右軸段彎曲動載荷Fig.7 Bending dynamic load of left and right of main shaft

圖8 主軸左、右軸段扭轉動載荷Fig.8 Torsional rotation load of left and right of main shaft

從主軸扭轉動載荷時域圖可以看出，時域響應曲線包含不同的頻率成分，為準確得到系統時域信號的頻率組成，判斷系統振動原因，采用快速Fourier變換得到主軸扭轉動載荷頻譜圖，如圖9所示。

圖9 主軸扭轉動載荷頻譜圖Fig.9 Spectrum of torsional rotation load of spindle

由圖9可以看出：主軸扭轉動載荷的頻率存在11.2 Hz，153.3 Hz和306.7 Hz 3個主峰，經過分析可知，其分別對應系統扭轉振動的一階固有頻率、4倍發動機轉頻和8倍發動機轉頻。由此可見，主軸的扭轉動載荷主要受到系統的扭轉固有頻率(由主軸結構決定)和發動機波動扭矩的影響。同時起步工況下的主軸轉速接近系統扭轉振動一階固有頻率，主軸可能會發生扭轉共振。

2.2 主軸斷裂故障分析與驗證

經2.1節起步工況沖擊載荷分析可知，起步工況下，主軸系統受到沖擊載荷的影響，且右端軸段的影響顯著大于左端，這是主軸斷裂的主要原因之一。同時，在一擋工況下，分析主軸兩端輸出轉子處花鍵在微小不對中裝配下各鍵齒所受的力，如圖10所示。

圖10 兩側輸出花鍵處鍵齒受力圖Fig.10 Stress diagram of key teeth at output splines on both sides

由圖10分析可知：花鍵裝配存在微小不對中量時，各鍵齒受力不同，當不對中量增大時，各鍵齒所受的力也將呈現較大的差別，那么花鍵傳載過程中各鍵齒所受的應力差值也將增大，少數鍵齒存在應力集中。承受應力較大的鍵齒更加容易從齒根處發生剪切斷裂，如圖11(a)所示。所以，花鍵裝配不對中裝配造成的應力集中也是造成主軸右端斷裂的原因之一，實際的主軸端口也很好的驗證了上述觀點，如圖11(b)所示。

圖11 主軸斷口宏微觀圖Fig.11 Macro and micro view of spindle fracture

為驗證主軸斷裂原因，利用有限元軟件HyperWorks對主軸進行了整體應力分布和局部應力狀態分析，扭矩施加在輸入花鍵上，軸的旋轉通過內外花鍵嚙合受到約束，施加在輸入花鍵上的輸入扭矩為4 210 N·m，得到的傳動主軸應力分布輪廓圖如圖12所示。

圖12 主軸應力分布圖Fig.12 Stress distribution of main shaft

仿真結果表明，主軸右側花鍵齒根處存在臨界區，最大應力值達到127.3 MPa，與主軸的斷裂位置一致；主軸左側的最大局部應力也發生在花鍵齒根根部，達到28.9 MPa。右側軸段上的應力達到62.7 MPa，是左側軸段應力25.6 MPa的2.45倍，與本節數值仿真所得結果基本一致。

此外，對斷裂主軸還進行了斷裂分析試驗研究，得出主軸斷裂過程為：主軸右端輸出花鍵齒根部均勻萌生疲勞裂紋并呈弧形向軸心部擴展，當各條裂紋交匯之后，斷裂成三大部分，見圖11(b)。其中，裂紋萌生的位置，通過模擬計算，在距右端面約50 mm的位置，即為主軸受到扭矩作用時的最大應力點。主軸的斷裂模式為扭轉疲勞斷裂，裂紋起源于距端面約50 mm處的花鍵底部，周向多源萌生向心部拓展，并最終斷裂，試驗結果表明主軸的斷裂是由扭轉振動所致，亦驗證了之前仿真所得結論。

3 基于NSGA-Ⅱ的主軸多目標優化

特種車輛傳動主軸結構設計直接影響主軸起步工況下的工作載荷分配。本文從主軸結構設計的角度出發，采用NSGA-Ⅱ算法對傳動主軸的結構參數進行優化設計。將主軸結構參數優化看作為一個具有n個優化目標和u個約束條件的多目標非線性優化問題，則多目標參數優化問題描述為[12]

Ffitness(x)=best{f1(x),f2(x),…,fn(x)},x∈T

(21)

T={x∈Rm,G:gi,min≤gi(x)≤gi,max,i=1,…,u}

(22)

式中：f1(x),f2(x),fn(x)分別為第1～第n個優化設計目標；T為約束條件；Rm為設計變量域；G為變量約束；gi為單個約束條件；n為設計目標維數；m為設計變量維數；u為約束個數。

3.1 設計優化目標

傳動主軸斷裂的主要原因為：①相較于穩態工作時,起步工況下，主軸系統存在沖擊載荷，動載荷幅值為穩態工作時的兩倍左右； ②主軸結構不對稱，導致主軸右側軸段的動載荷幅值大于左側軸段動載荷幅值； ③花鍵裝配不對中使得右端鍵齒存在應力集中。上述原因中，沖擊載荷須通過協調發動機控制以適應傳動比的突變[13]，而花鍵的應力集中主要取決于系統的裝配精度，結構不對稱導致的載荷分配不均問題則可以通過優化解決。因此，選取起步工況下主軸左右軸段沖擊扭轉動載荷差值和總和作為優化目標

目標函數1

f1(x)=min(Tb3-Tb1)

(23)

目標函數2

f2(x)=min(Tb3+Tb1)

(24)

3.2 設計優化變量

基于靈敏度分析發現，對系統扭轉沖擊載荷最為敏感的參數為扭轉剛度。扭轉剛度計算公式為[14]

(25)

(26)

由式(25)、式(26)可知，扭轉剛度K與材料的剪切彈性模量G、軸段橫截面對圓心的極慣性矩Ip和軸段長度l有關。主軸材料已選用綜合性能最好的300M鋼，而軸段長度受到結構限制不可變動，因此只能夠通過改變主軸內外徑改變Ip來實現主軸的扭轉剛度優化。同時為了改變主軸兩端的非等強度設計，應考慮將主軸兩側設計成不同的內外徑。綜合考慮，設計優化變量為

x=[dldrDlDr]

(27)

式中，dl,r和Dl,r分別為主軸左、右軸段的內徑和外徑。

3.3 設計變量約束

優化變量的基準值為原始主軸結構參數，由減少起步工況下主軸扭轉動載荷為要求，確定變量dl，dr，Dl，Dr的取值范圍，約束條件為

dl,dr∈[0,20]，Dl,Dr∈[50,70]

(28)

3.4 多目標優化框架

本文研究的某特種車輛傳動主軸系統設計變量多，采用傳統的優化方法易發生陷入局部最優問題，多目標智能算法能較好的處理這類問題[15]。NSGA-Ⅱ算法是基于遺傳算法改進的，通過提出快速非支配排序、采用擁擠度和擁擠度比較算子、引入精英策略等提高了算法的尋優能力。利用MATLAB軟件編寫主軸模型和NSGA-Ⅱ算法，在NSGA-Ⅱ算法中嵌入主軸模型進行求解，計算主軸扭轉動載荷作為優化目標函數。本文多目標優化流程，如圖13所示。

圖13 基于NSGA-Ⅱ算法的多目標優化流程Fig.13 Multi objective optimization process based on NSGA-Ⅱ algorithm

3.5 Pareto解集選優

優化所得結果Pareto解集包含眾多非支配解，為排除選取最優解時人為因素的干擾，本文采用基于模糊集合理論對Pareto解進行選優[16]。定義隸屬函數Si,j

(29)

式中：fi,max，fi,min分別為Pareto解集中第i個優化目標的最大值和最小值；fi,j，Si,j為第j個解的第i個優化目標的當前值與隸屬度值。

定義支配函數φk，第k個解的支配值為

(30)

式中：l為Pareto解集中非支配解的數目，根據優化結果可得；n為優化目標個數。

由支配函數φk計算可得Pareto解集中每個非劣解的支配值，支配值反映了該解的綜合性能，選擇具有較大支配值的解為最優解。

3.6 優化結果分析

優化所得Pareto解集采用支配值計算公式計算得到的支配值，如圖14所示。第7號粒子具有最大支配值，對應主軸設計變量及其優化前后數值，如表3所示。

圖14 Pareto最優解集的支配函數值Fig.14 The dominating function value of Pareto optimal solution

根據表3所得主軸優化前后結構參數，對優化前后主軸左右軸段扭轉動載荷進行對比分析，結果分別如圖15和表4所示。

圖15 主軸波動扭矩優化前后對比Fig.15 Comparison of spindle fluctuating torque before and after optimization

表4 優化結果Tab.4 Optimization results

由圖15和表4可以看出：主軸經過參數優化后，起步工況下左右兩端扭轉動載荷進入穩態的時間明顯提前，0.05 s即已完全收斂；左右兩端扭轉動載荷的均方根值明顯減小，分別減小了34.49%和53.81%；主軸左端扭轉動載荷的絕對峰值未發生改變，而右端扭轉動載荷的絕對峰值減小了28.56%，右端扭轉動載荷優化效果明顯，同時由于結構不對稱帶來的主軸左右扭轉動載荷差異過大得到明顯改善。

優化前后主軸扭轉動載荷頻域對比，如圖16所示。由圖16分析可知，主軸經過參數優化后，左右兩端扭轉動載荷的頻率成分僅存在153.3 Hz和306.7 Hz兩個主峰。優化后主軸的扭轉動載荷主要受發動機波動扭矩影響，而扭轉一階固有頻率經過結構優化后已被避免，主軸在起步工況下將不會發生扭轉共振。

圖16 主軸扭轉動載荷頻域優化前后對比Fig.16 Comparison before and after frequency domain optimization of spindle torsion load

4 結 論

綜合考慮特種車輛傳動主軸系統內外多源非線性激勵，采用集中質量法建立了系統非線性動力學模型，通過Runge-Kutta法得到了系統在起步工況下的彎扭耦合振動載荷的時域和頻域響應，基于此分析得到了主軸斷裂失效的主要原因。利用NSGA-Ⅱ算法對主軸結構進行了多目標優化設計，得到了以下結論：

(1) 傳動主軸-軸承系統在起步工況下主要承受的載荷為扭矩，扭轉振動響應中出現了明顯的沖擊載荷，其幅值為穩態工作時的兩倍左右。雖然系統存在由轉子質量偏心引起的彎扭耦合效應，但主軸彎曲動載荷受扭轉影響較小，主要受到重力及軸承赫茲力的影響。

(2) 現有傳動主軸受到布局限制呈現非對稱結構，導致主軸兩側為非等強度設計，右端在起步工況下要承受更大的扭轉沖擊載荷，其傳遞載荷幅值為左側的1.42倍左右，這是主軸右側斷裂的主要原因；同時，花鍵裝配不對中導致部分鍵齒的應力集中是主軸斷裂的另一個重要誘因。

(3) 針對主軸右側斷裂失效，利用NSGA-Ⅱ算法對主軸結構參數進行多目標優化設計。優化結果表明，當Dl=68.6 mm，Dr=55.2 mm時，主軸左右兩側趨近等強度設計，起步工況下主軸系統的扭轉振動響應能很快收斂，左右兩端扭轉動載荷均方根值分別減小了34.49%和53.81%，右端扭轉動載荷的絕對峰值減小了28.56%，優化后主軸扭轉動載荷僅受到發動機波動扭矩的影響，避免了起步工況下工作轉頻接近系統一階固有頻率而發生扭轉共振。

(4) 本文研究工作揭示了某特種車輛傳動主軸在起步工況下發生右端斷裂失效的根本原因，針對斷裂原因基于NSGA-Ⅱ算法對主軸結構進行了優化，優化效果明顯，對于類似非對稱非等強度設計結構的結構優化具有指導意義。