旋轉式電渦流阻尼器阻尼非線性模型及其結構減震分析

崔凱強， 汪志昊， 程志鵬， 陳愛玖， 霍洪媛， 周宇翔

(1. 華北水利水電大學 土木與交通學院，鄭州 450045； 2. 中國建筑第八工程局有限公司鋼結構工程公司，上海 200125)

電渦流阻尼具有無接觸、阻尼系數調節簡單、安裝維護方便、耐久性好與噪聲小等優點[1]，早期主要用于機械領域[2-3]，近年來在土木工程結構振動控制領域也得到較為廣泛的研究與應用[4-9]，主要涉及豎向永磁式電渦流調諧質量阻尼器(tuned mass damper，TMD)、擺式被動與半主動永磁式電渦流TMD，以及直接耗能減振阻尼器-電渦流阻尼器(eddy current damper，ECD)等。ECD主要分為板式[10-12]，以及基于滾珠絲杠[13-14]和齒輪齒條[15]傳動原理的旋轉式(軸向)兩大類。與板式ECD相比，旋轉式ECD可有效提升電渦流阻尼的耗能密度[16]。研究表明，板式ECD[17-19]與旋轉式ECD電渦流阻尼均體現出阻尼非線性特征。即：阻尼器速度較低時，電渦流阻尼力與速度近似成正比關系；而阻尼器速度較高時，電渦流阻尼力則隨著速度的增加而降低。

大量研究表明，電渦流阻尼非線性與典型的非線性黏滯阻尼存在顯著區別。目前，描述電渦流阻尼非線性特征的Wouterse模型由于其物理意義明確而得到較為廣泛應用。Liang等[20]采用Wouterse模型對電渦流阻尼進行了仿真分析，基于周期耗能相等原則建立了典型黏滯阻尼和電渦流阻尼的等效關系，在此基礎上進一步開展了單自由度結構數值仿真分析，與傳統黏滯阻尼器對比驗證了ECD的可替代性。梁龍騰等[21]通過割線彈性模量法對電渦流阻尼器進行線性簡化分析，提出了平衡兩狀態控制目標下的阻尼器參數合理取值范圍。Zhang等[22]研究了用于大型振動控制的軸向電渦流阻尼器性能，通過與典型黏滯阻尼等尺度對比分析，電渦流阻尼器表現出良好的減震性能，可實現對典型黏滯阻尼等效取代，且當速度達到臨界速度后，電渦流阻尼力開始下降。對于電渦流阻尼存在的非線性特征，相應的精確力學模型及其對結構減震效果影響還有待研究。

為進一步明確旋轉式電渦流阻尼器非線性特征及其對結構減震效果的影響，本文制作了一種旋轉式電渦流阻尼器(rotating eddy current damper，RECD)樣機，開展了樣機的力學性能試驗和數值仿真分析，提出了基于魔術公式[23]的電渦流阻尼力學模型，并以單自由度結構為例闡明了RECD阻尼非線性對結構減震效果的影響規律。

1 RECD樣機力學性能試驗

1.1 樣機工作原理與構造

RECD主要利用滾珠絲杠副把軸向兩端連接點的低速直線運動轉化為導體板的高速旋轉運動，轉動的導體板在磁場中切割磁感線產生電渦流阻尼力矩，同時經過滾珠絲杠副的逆傳動作用又轉化為RECD軸向電渦流阻尼力，有效地提高了電渦流阻尼的耗能效率。樣機如圖1所示。

RECD中導體板為轉子，與滾珠絲桿剛性連接，滾珠絲桿通過推力軸承固定，當RECD兩端連接點受到相對作用力推動滾珠螺母做直線運動時，滾珠絲桿因受到滾動鋼珠的擠壓而做旋轉運動，并帶動導體板在永磁體間做同軸轉動，永磁體為定子，結合導磁板提供磁場，固定在阻尼器骨架上。其中：導體板選用電導率較高的紫銅板；導磁板選用低碳鋼板；永磁體選用矩形N38型NdFeB，沿上、下導磁板均勻對稱布置，上下對稱兩塊永磁體記為一組；同一導磁鋼板布置的永磁體磁極相同，但上下導磁鋼板布置的永磁體磁極相反；導磁鋼板表面永磁體中心到絲桿中心距離為36.5 mm；導體板與上下永磁體之間的銅磁間隙取為8 mm。設計時考慮可附加慣性飛輪，慣性飛輪材料為鋼材。RECD樣機具體參數，如表1所示。

RECD慣性質量的計算式可表示為

me=(2π/Ld)2(If+Ig)

(1)

式中：Ld為滾珠絲杠的導程；If和Ig分別為慣性飛輪和導體銅板等旋轉構件的轉動慣量。

RECD軸向力可表示為

(2)

1.2 力學性能測試方案

RECD樣機力學性能試驗裝置如圖2所示。試驗通過偏心輪激振機構對RECD樣機進行簡諧位移激振，振幅為10 mm，試驗工況如表2所示；采用動態信號采集系統記錄RECD的軸向力和軸向位移信號。

圖2 RECD樣機力學性能測試系統Fig.2 Mechanical property testing system of the RECD prototype

表2 試驗工況Tab.2 The case of testing

1.3 測試結果

圖3(a)與圖3(b)分別給出了0.15 Hz低頻激振時的RECD附加慣性飛輪前后的軸向力時程曲線，由圖3可知：RECD附加慣性飛輪前后出力變化較小，表明低頻激勵時RECD慣性力幅值較小；RECD出力波形呈現出明顯的方波特征，表明低頻激勵時RECD摩擦力占主導地位，與文獻[24]滾珠絲杠式慣容器測試結果規律一致，進一步識別得到摩擦力幅值約為25 N。

圖3 RECD軸向力時程曲線(激振頻率：0.15 Hz)Fig.3 The RECD axial force-time history response

圖4對比了RECD典型工況的軸向力時程、軸向力-位移和軸向力-速度關系曲線的試驗與最小二乘法擬合結果。由圖4可知：二者整體吻合較好，其中工況6擬合識別得到的RECD的等效慣性質量和電渦流阻尼系數分別為78.75 kg與503.38 N·s/m。

圖4 RECD軸向力試驗和擬合結果對比(工況6)Fig.4 Comparisons of the RECD axial force between experimental and fitting results (case 6)

圖5進一步給出了分離出的各工況對應的RECD電渦流阻尼力與位移關系曲線。由圖5可知：電渦流阻尼力在各激勵頻率下的滯回曲線重復性較好，表明RECD電渦流阻尼力具有較好的輸出穩定性與可靠性。圖6進一步給出了不同激勵頻率下識別得到的等效電渦流阻尼系數，可見隨著激振頻率增加等效電渦流阻尼系數逐漸減小，其主要原因是反抗磁場作用和磁滯現象影響程度隨著激振頻率的增加而增大[25]，電渦流阻尼力與速度關系表現出較為明顯的非線性特征。

圖5 RECD電渦流阻尼力-位移滯回關系實測曲線Fig.5 Experimental hysteresis curves between the eddy-current damping force and displacement of the RECD

圖6 等效電渦流阻尼系數隨激振頻率的變化曲線Fig.6 Equivalent eddy-current damping coefficient of versus excitation frequencies

2 RECD電渦流阻尼非線性模型

2.1 電磁場有限元仿真

采用COMSOL Multiphysics軟件中準靜態方法對電渦流阻尼進行有限元仿真分析，并用單體疊加法對樣機模型進行數值分析。首先在AC/DC模塊中建立有限元分析幾何模型，針對不同材料屬性賦予相應參數值，同時指定計算域的偏微分方程，然后對模型進行網格劃分和頻域計算，獲得RECD電渦流阻尼力與速度的關系。由圖7給出的RECD電渦流阻尼力與速度關系的有限元仿真與試驗對比結果可知：二者吻合較好，表明電磁場有限元仿真分析方法的可靠性；電渦流阻尼力隨速度變化表現出明顯的非線性特征，與傳統非線性黏滯阻尼相比，電渦流阻尼超過臨界速度后存在阻尼力下降趨勢。

圖7 RECD電渦流阻尼力-速度關系曲線Fig.7 The curves between the eddy-current damping force and velocity of the RECD

2.2 基于魔術公式的力學模型

鑒于魔術公式對非線性曲線有較高的適應性，本文提出采用魔術公式建立RECD電渦流阻尼力學模型，魔術公式模型為

FM=Dsin[Carctan(Bv-E(Bv-arctan(Bv)))]

(3)

式中：FM為電渦流阻尼力；v為速度；D為峰值因子；C為形狀因子；B為剛度因子；E為曲率因子。

基于RECD電渦流阻尼有限元仿真結果，采用MATLAB軟件Cftool工具箱Trust-Region算法，識別結果得到的魔術公式相關參數為：D=225.6，C=1.942，B=1.325，E=0.391 7，相應模型預測結果見圖7“魔術公式”。可見：基于魔術公式建立的RECD電渦流阻尼力學模型與有限元仿真結果吻合度高，所有結果相對誤差小于1%，與試驗結果相對誤差最大值為12.6%。

圖8給出了當RECD電渦流阻尼在振幅為10 mm時，基于魔術公式模型得到的不同激振頻率下的RECD電渦流阻尼力-位移滯回關系曲線，可見隨著激振頻率的增加，RECD電渦流阻尼滯回關系曲線由橢圓形到矩形，最后到啞鈴型，該現象主要由電渦流臨界速度阻尼力飽和效應導致。

圖8 RECD電渦流阻尼力-位移滯回關系曲線Fig.8 The hysteresis curves between the eddy-current damping force and displacement of the RECD

2.3 魔術公式與Wouterse模型對比分析

為進一步闡明魔術公式描述電渦流阻尼非線性特征的優越性，與相關電渦流阻尼非線性研究沿用的Wouterse模型[26]進行對比分析。Wouterse模型為

(4)

式中：FW為電渦流阻尼力；v為速度；Fmax為電渦流阻尼力峰值；vcr為電渦流阻尼力峰值對應的臨界速度，其中參數Fmax和vcr可通過試驗或有限元仿真得到。本文通過有限元仿真結果得出Wouterse模型最大阻尼力Fmax為225.60 N，對應臨界速度vcr為0.89 m/s。

圖9給出了兩種模型預測得到的RECD電渦流阻尼力-速度關系曲線可知：魔術公式與Wouterse模型對電渦流阻尼全局特征都有較好描述，但魔術公式模擬精度更高。

圖9 RECD電渦流阻尼力-速度關系曲線Fig.9 Relation curves between the eddy-current damping force and velocity

3 RECD對單自由度結構減震分析

3.1 模型參數

為了揭示RECD電渦流阻尼對結構的減震性能，開展對單自由度結構附加電渦流阻尼動力響應數值仿真分析。單自由度結構簡化分析模型如圖10所示，其參數為：質量m=106.77 kg，剛度k=24.68 kN/m，結構基頻f0=2.42 Hz，結構固有阻尼比ξ0=2.40%，其中RECD只考慮電渦流阻尼效應，本節分析擬采用2.2節中的魔術公式力學模型及其參數。

圖10 單自由度結構體系分析模型Fig.10 Analysis model of the single-degree-of-freedom structure

為了更好地闡釋RECD電渦流阻尼對結構的減震效果，將其與黏滯阻尼進行對比分析。黏滯阻尼力學模型選用線性阻尼模型，建立RECD電渦流阻尼力學模型中臨界速度前耗能功率與黏滯阻尼在此速度前耗能功率相等的等效方法，等效關系如圖11所示，確定其等效黏滯阻尼系數為364.18 N·s/m。

圖11 電渦流阻尼與黏滯阻尼模型等效關系Fig.11 Equivalent relationship of the eddy-current damping and viscous damping

3.2 頻域響應分析

建立系統運動微分方程，并轉化為狀態空間方程，基于MATLAB-SIMULINK仿真平臺，采用變步長四階五級Runge-Kutta methods求解結構動力響應。

圖12 動力因子與頻率比的關系曲線Fig.12 Relationship curves between dynamic factor and frequency ratio

3.3 地震響應分析

地震波具有復雜的特性，不同的幅值、頻譜特性及持時對結構均會產生較大影響。目前，我國結構抗震設計中主要采用地震動峰值加速度作為地震動強度指標。本文選用經典的El-Centro波對結構進行地震響應激勵，并對比分析不同幅值作用下結構體系的響應。圖13(a)為El-Centro波地面加速度時程曲線，其地震動峰值加速度為342 gal；參考文獻[27]對El-Centro波調幅，取地震動峰值加速度為930 gal，調幅后的地震波，如圖13(b)所示。

圖13 El-Centro波時程Fig.13 El-Centro wave

圖14與圖15為不同幅值El-Centro波激勵下結構附加不同阻尼的位移與加速度時程響應曲線。由圖14、圖15可知：當地震動峰值加速度為342 gal時，附加電渦流阻尼結構體系的最大位移峰值響應0.016 3 m小于附加黏滯阻尼結構體系的最大位移峰值響應0.019 0 m，而附加電渦流阻尼結構體系的最大加速度峰值響應4.55 m/s2同樣小于附加黏滯阻尼結構體系的最大加速度峰值響應5.04 m/s2；當地震動峰值加速度為930 gal 時，附加電渦流阻尼結構體系的最大位移峰值響應0.053 7 m大于附加黏滯阻尼結構體系的最大位移峰值響應0.051 7 m，而附加電渦流阻尼結構體系的最大加速度峰值響應14.46 m/s2同樣大于附加黏滯阻尼結構體系的最大加速度峰值響應13.71 m/s2。由此表明：當地震動峰值加速度為342 gal時，位移和加速度峰值響應控制方面，電渦流阻尼均略優于黏滯阻尼；而當地震動峰值加速度為930 gal時，位移和加速度峰值響應控制方面，黏滯阻尼均略優于電渦流阻尼；整體來看，二者減震效果較為接近。

圖14 El-Centro波激勵下結構位移時程響應Fig.14 The displacement time history response of structure under excitation of El-Centro wave

圖15 El-Centro波激勵下結構加速度時程響應Fig.15 The acceleration time history response of structure under excitation of El-Centro wave

圖16與圖17為結構體系在不同幅值El-Centro波激勵下阻尼器出力響應曲線。由圖16、圖17可知：當地震動峰值加速度為342 gal時，電渦流阻尼相比于黏滯阻尼的滯回性能更飽滿，電渦流阻尼表現出近線性力學特征；當地震動峰值加速度為930 gal時，黏滯阻尼的滯回性能表現更飽滿，電渦流阻尼被激發的非線性力學特征顯著；二者減震效果相當時，電渦流阻尼的最大出力小于黏滯阻尼，這對阻尼結構可起到良好的保護作用。

圖16 El-Centro波激勵下阻尼器滯回關系曲線Fig.16 The hysteresis curves of damper under excitation of El-Centro wave

圖17 El-Centro波激勵下阻尼器力-速度關系曲線Fig.17 The damping force versus its velocity under excitation of El-Centro wave

結構附加阻尼比可基于時程累積耗能比法估算如下式[28]

(5)

式中：ξd為消能減震結構的附加阻尼比；ξ1為消能減震結構的固有阻尼比；Wd為結構消能部件消耗的能量；W1為結構固有阻尼消耗的能量。

圖18與圖19分別給出了結構體系在不同幅值El-Centro波激勵下的耗能結果。由圖18、圖19的結果結合式(5)可估算出結構體系的附加阻尼比，其中黏滯阻尼結構體系在兩種幅值地震波作用下的附加阻尼比均為11.21%；當地震動峰值加速度取342 gal和930 gal 時，電渦流阻尼結構體系附加阻尼比分別為17.26%和14.08%。因此，電渦流阻尼結構體系的附加阻尼比大于黏滯阻尼結構體系的附加阻尼比，電渦流阻尼對結構減震效果更優。

圖18 結構附加黏滯阻尼體系耗能Fig.18 Energy dissipation of the structure with viscous damping

圖19 結構附加電渦流阻尼體系耗能Fig.19 Energy dissipation of the structure with eddy-current damping

4 結 論

(1) 試驗與仿真分析表明，當RECD速度較低時，電渦流阻尼表現為線性；當速度超過臨界速度，電渦流阻尼力則開始下降。

(2) 基于魔術公式識別得到的電渦流阻尼模型與有限元仿真結果的絕對誤差小于1%，實現了對電渦流阻尼非線性特性的精細化模擬。

(3) RECD對單自由度結構減震分析表明，RECD電渦流阻尼呈現典型的非線性黏滯阻尼特征，相對傳統線性黏滯阻尼器具有一定的減震優勢。