面向大振幅低頻振動的重力倒擺式準零剛度隔振器研究

陳文華， 黃偉稀， 郝夏影， 何 濤， 梁 赟

(中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點實驗室，江蘇 無錫 214082)

Alabuzhev等[1]首先全面論述了準零剛度隔振系統理論，并提出了多種準零剛度實現方式。準零剛度設計中最為經典的是Carrella等[2-3]提出的三彈簧式結構，之后基于該形式國內外學者進行了廣泛的研究。Gatti等[4-5]設計準零剛度隔振系統，并進行靜態動態分析；趙權等[6]采用三彈簧式準零剛度結構設計車載隔振系統，經驗證取得了較好的低頻隔振效果；趙含等[7]利用三彈簧式準零剛度隔振器對船舶推進軸系振動進行控制；康冰冰等[8]對三彈簧式準零剛度隔振器超載情況下的次諧波響應進行了研究。此外，借鑒該設計形式還出現了屈曲梁[9-10]、歐拉梁[11]、凸輪-滾珠-梁[12-13]等負剛度結構。但這些結構形式的準零剛度區間較小，當振動幅值較大偏離相應位移區間后，等效剛度值迅速升高，不能發揮準零剛度隔振的優勢。且現有研究大多針對單方向的振動控制，很少涉及多自由度的隔振研究，不便于實際應用。

本文著眼于大振幅低頻振動的隔振問題，首先分析兩種典型的三彈簧式準零剛度結構的剛度特性，選取準零剛度位移區更大的結構形式進行隔振器設計。然后提出一種利用重力作用實現負剛度的倒擺結構，該設計能夠拓寬準零剛度位移區，適用于大振幅振動的低頻隔振。最后結合三彈簧和倒擺結構，完成多向準零剛度隔振器設計，并通過仿真分析驗證了該隔振器的低頻隔振效果。

1 三彈簧式結構準零剛度特性分析

準零剛度結構大多為三彈簧式正負剛度并聯的形式，由兩個預壓縮的線性彈簧水平放置構成負剛度結構，與豎直放置的正剛度彈簧一起構成準零剛度系統。其布置形式按照水平彈簧是否轉動分為兩種，模型一添加水平約束不可轉動，如圖1所示，彈簧只能水平移動，彈簧與承載平臺之間通過連桿相連；模型二水平彈簧可轉動，彈簧直接與承載平臺相連接，如圖2所示。

圖1 水平彈簧不可轉動結構Fig.1 Horizontal spring non-rotatable structure

圖2 水平彈簧可轉動結構Fig.2 Horizontal spring rotatable structure

分析兩種結構形式的準零剛度特性，首先采用拉格朗日方程計算圖1所示結構的剛度特性。當O點受到不平衡激勵時，結構偏離平衡位置受到兩連桿在豎直方向的作用力分量，成為準零剛度結構。假設O點向下的位移為x，水平彈簧剛度為kH，豎直彈簧剛度為kV，連桿長度為L，水平彈簧的預壓縮量為ΔL，則系統振動時的勢能為

(1)

系統勢能為力F在位移x上做的功，對位移求導可得到作用力F。

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)即為圖1所示結構的準零剛度實現條件。通過分析可以發現，負剛度是通過附加在運動方向上額外的作用力實現的，因此豎直方向上的作用力大小是關系剛度特性的核心因素。圖1所示結構是通過連桿將預壓縮彈簧的力作用至豎直方向上，對其進行受力分析，如圖3所示。由圖3可以看到，連桿方向的力為彈簧水平力f的一個分量f1，這對于構建負剛度結構是不利的，該分力大小為

圖3 模型1受力分析圖Fig.3 Stress analysis diagram of model 1

(6)

圖2所示結構的水平彈簧可轉動，這種結構可以充分利用預壓縮彈簧的作用力。對其進行受力分析，可得到預壓縮彈簧作用到豎直方向的作用力為

(7)

式中：a為彈簧處于水平位置時長度；x為豎直方向的振動位移。由此得到整個隔振系統在豎直方向的合力為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

將式(12)代入式(11)得到

(13)

圖4 兩種結構無量綱化位移-剛度特性對比Fig.4 Comparison of dimensionless displacement-stiffness characteristics of two models

從圖4還可以看到，參數α對剛度特性有一定影響，以“零剛度”區更大的可轉動式結構為研究對象，分析配置參數對剛度特性的影響。不同參數值下的“位移-剛度”特征，如圖5所示，由圖5可以看出，隨著剛度比值的增加，尤其當α>2后剛度特性曲線逐漸變陡，即大位移下的等效剛度增長速度提高。因此，圖2結構的剛度比取值范圍應為0<α≤2。

圖5 圖2結構位移-剛度特性Fig.5 Dimensionless displacement-stiffness characteristic of Fig.2

觀察α的建議取值范圍內不同參數下的具體剛度特性，如圖6所示。由圖6可以看到，當剛度比值較小時(如圖6中α=0.1和α=0.2的曲線)，偏離平衡位置后的小位移區間內存在剛度突變特征，等效剛度迅速升高，“零剛度”區間較窄，隨著偏離距離的增大曲線逐漸趨于平坦；當剛度比值較大時(α>0.5)，曲線不存在突變特征，但剛度值隨位移的增大迅速增加。綜合來看，α=0.5為最優選擇，此時剛度特性曲線沒有突變現象且隨著位移的增加等效剛度的增長速度較慢。

圖6 不同剛度比值下的位移-剛度特性曲線Fig.6 Dimensionless displacement-stiffness characteristic curve at different stiffness ratios

2 重力倒擺式準零剛度結構

根據第1章分析，實現準零剛度的關鍵在于提供支撐方向的反作用力，使等效剛度變小。水平預壓縮彈簧的作用力會隨著振動位移的增大而變小，也就是說當振動位移幅值較大時預壓縮彈簧便失去了作用。理想情況是反作用力不隨振動位移的增大而減小，為此本文提出重力倒擺式準零剛度結構。

倒擺的受力分析，如圖7所示。整體上看倒擺呈現“頭重腳輕”的形態，重心位于頭部。初始狀態下倒擺在豎直方向上平衡，受到擾動激勵后在重力的作用下倒向一側，由于其重心位于頭部，因此重力力矩隨著傾斜角度的增大而增大，這對于拓寬“零剛度”位移區間是有益的。利用倒擺的這種特性，結合彈性卷簧可構成準零剛度結構，卷簧位于原點O處，提供倒擺回復到豎直平衡位置的正作用力矩，與倒擺的重力力矩一起，實現準零剛度。

圖7 倒擺受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram of inverted pendulum

假設倒擺向一側偏轉的角度為θ(單位：rad)，則重心在水平方向偏移的距離為d=R×sin(θ)，此時重力產生的力矩大小為

M2=d·G=R·sin(θ)·G

(14)

設卷簧的剛度為M1，則轉角為θ時系統的受力為

T=M1·θ-R·G·sin(θ)

(15)

設由于轉動而產生的弧長為位移x，又由于轉角θ與弧長x之間存在關系x=R·θ，因此式(15)可改寫為

(16)

(17)

(18)

(19)

圖8 倒擺無量綱化位移-剛度特性曲線Fig.8 Dimensionless displacement-stiffness characteristic curve of inverted pendulum

3 準零剛度隔振器設計與驗證

根據第2章的分析，構建一種可隔離多向大振幅低頻振動的準零剛度隔振器，其結構如圖9所示。該隔振器可分別對水平方向和豎直方向振動進行進行隔離，其中水平方向采用重力倒擺式準零剛度結構，豎直方向采用可轉動彈簧式準零剛度結構。

圖9 隔振器結構設計圖Fig.9 Structural design drawing of vibration isolator

倒擺部分局部細節，如圖10所示。倒擺頭部曲面為圓弧，以保證擺動時上部承載平臺始終位于同一水平面上。承載平臺與箱體之間設置有導向槽，防止運動偏移。

圖10 倒擺部分局部細節圖Fig.10 Partial detail drawing of inverted pendulum

根據隔振器設計進行動力學仿真分析，對比添加負剛度構成準零剛度振動系統前后的隔振性能，以驗證隔振器的低頻隔振優勢。其中，倒擺式準零剛度的實現是將倒擺的重心按實際情況設置在頭部，與之對比的情況是將重心設置在圓心位置。設置重力場方向為豎直向下，部件之間根據設計要求添加運動約束。根據分析，三彈簧式準零剛度結構選取剛度比值α=0.5。

在上部承載平臺上添加水平和豎直兩個方向的激勵，在隔振器底部拾取振動響應，進行頻域振動分析。仿真得到的各方向振動傳遞特性如圖11、圖12所示，由圖11、圖12可以發現：添加負剛度構成準零剛度結構后，能夠明顯降低隔振器減振頻率，尤其是重力倒擺式準零剛度結構可降低隔振頻率15Hz以上，如表1所示，大大提高了低頻隔振效果。

圖11 水平方向振動傳遞特性Fig.11 Vibration transmission characteristics in horizontal direction

圖12 豎直方向振動傳遞特性Fig.12 Vibration transmission characteristics in vertical direction

表1 隔振頻率匯總表Tab.1 Summary of vibration isolation frequency

4 結 論

本文針對大振幅低頻振動的隔振問題，開展準零剛度隔振器的分析研究，創新提出新型重力倒擺式準零剛度結構，結合典型的三彈簧式準零剛度結構完成了可隔離多向振動的準零剛度隔振器設計，并通過仿真驗證了隔振器的低頻隔振優勢。主要結論如下：

(1)典型的三彈簧式準零剛度結構中，水平彈簧可轉動的結構形式具有更寬的準零剛度范圍，適用于具有大振幅特征的振動隔離。分析了配置參數對等效剛度特性的影響，發現當彈簧剛度比值α=0.5時為最優配置，此時剛度特性曲線沒有突變現象，且隨著位移的增加等效剛度的增長速度較小。

(2)創新提出利用重力作用實現準零剛度的倒擺結構，分析其等效剛度并與三彈簧式結構準零剛度特性進行對比，結果顯示倒擺結構的等效剛度在偏離平衡位置后仍保持較低數值，且隨位移的增加剛度變化不大，具有更寬的準零剛度范圍，相比三彈簧式結構具有顯著優勢。

(3)將倒擺結構與三彈簧結構進行組合，設計可隔離多向振動的準零剛度隔振器。仿真結果驗證了隔振器的多向隔振有效性，可有效降低隔振頻率，其中重力倒擺式準零剛度結構可降低隔振頻率15 Hz以上。