非線性SMA調諧質量阻尼器信息化建模仿真分析

王桂玲

(中鐵二十局集團有限公司 陜西西安 710016)

1 引言

調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)是一種利用子結構(控制裝置)與主結構(受控結構)共振以吸收并耗散振動能量的被動減振裝置。TMD由于具有減振效果顯著、構造簡單、無需外部能源供給以及造價低廉的優點，在工程實踐中得以廣泛應用[1－3]。更多關于TMD介紹、發展及工程應用內容可參考綜述文獻[4－6]。

研究發現，傳統的線性TMD是一種窄帶控制器，僅能有效抑制如風荷載和交通荷載等窄帶激勵引起的振動。當遇到地震、沖擊荷載等寬帶激勵時，線性TMD控制效果有限[7－8]。此外，文獻[9]指出:線性TMD與受控結構間的質量比要達到5%～8%才能在地震作用下發揮作用。較高的質量比也限制了其在工程結構減振控制中的應用。近年來，為了提高傳統線性TMD在結構地震響應控制中的適用性，非線性TMD應運而生。非線性TMD和線性TMD的區別主要在于提供恢復力的方式不同。非線性TMD的恢復力通常是由碰撞相互作用[10]、非線性運動軌道(非線性能量阱)、非線性－線性聯合剛度以及非線性彈簧等方式提供，其恢復力中沒有或僅有非常弱的線性項，這保證了非線性TMD具有較寬的減振頻率帶寬。超彈性形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，SMA)是實施結構振動控制的理想材料。在外部荷載作用下，超彈性SMA會發生應力誘發馬氏體相變，其力－位移曲線表現出明顯的遲滯效應。此外，其力－位移遲滯環可以提供優越的耗能性能。因此，可以直接使用超彈性SMA元件代替線性彈簧，以提高傳統線性TMD的減振性能。

本文依據TMD的工作原理并結合SMA元件，研發一種新型非線性SMA調諧質量阻尼器(Nonlinear SMA tuned mass damper，N-SMA-TMD)，并將其應用于地震激勵下單自由度結構的響應控制。首先，介紹新型N-SMA-TMD的設計與減振機理；然后，采用等價線性化方法，建立適用于結構動力分析的SMA簡化折線模型；最后，通過對比分析線性TMD控制單自由度結構和N-SMA-TMD控制單自由度結構在地震激勵下的動力時程響應計算結果，闡明N-SMA-TMD相比于傳統線性TMD的優勢所在。

2 非線性SMA調諧質量阻尼器設計與減振機理

2.1 非線性SMA調諧質量阻尼器的設計

針對傳統線性TMD的不足，本文基于TMD的減振機理和超彈性SMA元件的滯回耗能特性，設計出如圖1所示的新型N-SMA-TMD。考慮減振系統不需要SMA元件提供承載力，在設計裝置時，選用了剛度較低但變形能力更強的SMA螺旋彈簧作為核心部件。

圖1 非線性SMA調諧質量阻尼器

新型N-SMA-TMD由金屬圓球質量塊1、SMA螺旋彈簧2、定向導桿3、滑動支座4、箱形支架5組成。金屬圓球質量塊1兩側與定向導桿3固定連結，以控制質量元件沿固定方向運動；定向導桿3外側設置SMA螺旋彈簧2，通過改變金屬圓球質量與SMA螺旋彈簧初始剛度的比值，實現裝置與結構間的調諧；箱形支架5與定向導桿3通過滑動支座4連接，以減小定向導桿與箱形支架間的摩擦力，實現近似光滑的設計。

2.2 非線性SMA調諧質量阻尼器減振機理

新型N-SMA-TMD均屬于被動控制裝置，當主結構受到外部地震激勵作用時，裝置內的質量元件隨著主結構晃動發生反向共振，將地震輸入能量傳遞給裝置，抑制主結構的地震響應。此外，SMA元件在隨質量元件運動過程中，由于馬氏體相變被激活而進入非線性階段并開始耗散輸入能量。該新型N-SMA-TMD以SMA為核心滯回耗能元件，在吸振的同時能夠將能量耗散，實現雙重減振控制效果。在具體應用過程中，可將N-SMA-TMD通過螺栓和箱形支架固定于結構內的樓板上，根據不同的減振控制目標，在結構內部設計不同安裝位置和擺放方位的組合設置方案。

3 SMA等價線性化模型

為進行動力時程響應分析，需建立描述SMA超彈性的力學模型。作為一維宏觀唯象本構模型的典型代表，Graesser-Cozzarelli(G-C)模型因形式簡單且定義了適用于工程計算的參量體系，而在結構振動控制領域得到了廣泛應用。G-C模型具體表達式為:

式中:各參數意義參考文獻[11－12]；FSMA和xSMA分別為SMA提供的恢復力和位移，其與SMA應力及應變轉換關系為:

式中:A為SMA元件橫截面總面積；l為SMA元件總長度。

為便于對地震作用下SMA減振結構的動力反應進行分析，將SMA恢復力等效分解為如圖2所示的彈性力和滯變力，即:

式中:FSMA(xSMA，SMA)為超彈性SMA產生的恢復力，括號內參數是SMA產生的恢復力與SMA位移和速度相關的函數。

等式右邊第一項為彈性力，其中:as為屈曲后剛度系數；ks為彈性模量。等式右邊第二項為滯變力，其中:ZSMA為滯變位移，不同的滯變恢復力模型主要表現在滯變位移的不同。

任文杰[13]建議使用如下折線型模型來描述超彈性SMA的滯變位移:

式中:ua和ub對應圖2中a點和b點的位移值；sign(xSMA)為符號函數，其具體表達式為:

圖2 SMA恢復力等效分解示意

為了驗證上述SMA折線型模型的正確性，通過Matlab中Simulink模塊對其進行數學仿真。圖3為0.1 Hz頻率、16 mm(折線模型和G-C模型)及12 mm(折線模型)位移幅值加載條件下，G-C模型和折線型模型求得的SMA滯回曲線。G-C模型仿真材料參數為[14]:Ea＝1.0×104N/m，fT＝0.15，Fms＝25 N，ha＝0.019 7，n＝3，a＝2 500，c＝0.001；折線型模型仿真材料參數為:as＝0.01，ks＝1.25×104N/m，ua＝0.4 mm，ub＝2.05 mm。由圖3可知，折線型模型可以較為準確地描述超彈性SMA的本質特性，通過選取合適的材料參數可以模擬出超彈性SMA遲滯“旗形”曲線，可以將折線型模型當作G-C模型的簡化版本。此外，本文仿真結果與Yan和Nie[15]得到的仿真結果也相符合。

圖3 SMA折線型模型與G-C模型比較

4 非線性SMA調諧質量阻尼器的減振效果

4.1 結構動力響應計算模型

通過計算N-SMA-TMD控制結構在輸入地震波作用下的時程響應，驗證N-SMA-TMD的有效性，并進一步通過與傳統線性TMD控制結構計算結果進行對比，闡明N-SMA-TMD相較于傳統線性TMD的優勢所在。

N-SMA-TMD單自由度結構系統在地震激勵作用下的運動方程為:

式中:xa和x、與、及分別為N-SMA-TMD和主體結構相對于地面的位移、速度、加速度；m和ma分別為主體結構和N-SMA-TMD的質量，取值為10×103kg和250 kg；c和k分別為主體結構的粘滯阻尼系數和剛度，取值為0.03 和1.75 ×104N/m；為地面運動加速度。

SMA元件產生的恢復力由FSMA(xa，x，，)給出，參數取值和第3節相同。括號中各參數為影響恢復力大小的因素。

4.2 TMD的參數優化

為比較N-SMA-TMD和線性TMD的減振性能，分別對附加N-SMA-TMD和線性TMD的單自由度結構進行動力時程分析。TMD的最優固有頻率比和最優阻尼比通過Den Hartog模型的固定點理論求得，具體求解公式為:

式中:fTMD為線性TMD最優固有頻率比；ξTMD為線性TMD的最優阻尼比；μTMD為質量比。

附加TMD的單自由度結構參數與4.1節相同。Christoph和Thomas指出:線性TMD減振裝置與受控結構間的質量比要達到5%～8%才能在地震作用下發揮作用。本文將線性TMD減振裝置的質量比定為8%，其質量為250 kg，頻率為3.878 5，阻尼比為16.67%，線彈簧剛度為1.203×104N/m。

4.3 地震時程響應分析

本文選取EL-Centro波和Traft波作為地震動輸入，調整兩條地震波的加速度峰值為400 gal。圖4為兩條地震波作用下無控結構(S-UC)、TMD控制結構(S-TMD)和N-SMA-TMD控制結構(S-N-SMATMD)的動力時程響應計算結果。由圖4可以看出，TMD減振控制效果不穩定，在EL-Centro波和Traft波作用下，結構的動力響應甚至可能被放大。例如，在EL-Centro波作用下，附加TMD結構在5.2 s的位移響應由8.79 cm增大至11.06 cm；在Traft波作用下，附加TMD結構在7.02 s的位移響應由6.98 cm增大至13.41 cm。而N-SMA-TMD的減振控制效果較為穩定，在不同地震波作用下N-SMA-TMD均可以有效降低結構的位移響應和加速度響應。

圖4 不同地震波作用下結構響應

為更加直觀展現TMD和N-SMA-TMD的減振效果，表1列出了在兩條地震波作用下附加TMD和N-SMA-TMD結構的位移和加速度響應，包括其峰值和均方根值。由表1可知，TMD可以有效降低結構的加速度峰值響應，但位移峰值響應控制效果不穩定。例如，EL-Centro波作用下，結構的峰值位移響應由－12.40 cm被放大至－12.95 cm；在TMD的控制下，結構位移響應均方根和加速度響應均方根均有所降低；盡管N-SMA-TMD的減振效果與地震動輸入有一定關聯，但結構響應的峰值和均方根值均得到了有效控制。此外，相比于TMD，N-SMA-TMD的減振效果更為穩定、有效。例如在EL-Centro波作用下，結構的位移響應均方根和加速度響應均方根分別由4.16 cm和107.50 cm/s2降至1.75 cm和73.42 cm/s2；而在傳統TMD控制下，響應的均方根分別為3.64 cm和96.11 cm/s2。

圖5為SMA元件和普通線彈簧在兩條不同地震波作用下的恢復力輸出曲線。由圖5可知，在不同地震波激勵下，SMA元件的位移值均小于普通線彈簧，這說明SMA元件可以顯著降低質量振子的位移值。此外，SMA元件相比于普通線彈簧具有更加優良的減振控制效果。這是因為SMA元件在振動過程中發生了應力誘發馬氏體相變，進而導致力－位移曲線表現出明顯的非線性遲滯特征，耗散了地震能量。SMA元件的非線性遲滯循環效應可以提供更寬的頻帶，相比于普通彈簧在振動控制方面更具優勢。

圖5 線彈簧和SMA恢復力曲線

5 結論

本文依據TMD工作原理并結合SMA元件，研發了一種新型非線性SMA調諧質量阻尼器，并將其應用于地震激勵下結構的響應控制。對比線性TMD控制結構和N-SMA-TMD控制結構在地震激勵下的動力時程響應計算結果，得到的結論如下:

(1)相比于TMD，N-SMA-TMD的減振效果更為穩定、有效。在 EL-Centro波作用下，N-SMA-TMD控制結構的位移響應均方根和加速度響應均方根分別由4.16 cm和107.50 cm/s2降低至1.75 cm和73.42 cm/s2；而在傳統TMD控制下，響應的均方根分別為3.64 cm和96.11 cm/s2。

(2)考慮SMA元件在振動過程中發生了應力誘發馬氏體相變，進而導致力－位移曲線表現出明顯的非線性遲滯特征，耗散了地震能量。SMA元件相比于普通線彈簧具有更加優良的減振控制效果。

(3)SMA元件可以顯著降低質量振子的位移值，提高減振裝置的適用性。SMA元件的非線性遲滯循環效應可以提供更寬的頻帶，相比于普通彈簧在振動控制方面更具優勢。