運用“四環五步”談初中幾何定理教學設計
——以《三角形中位線定理》教學為例

梁艷云,涂愛玲,蔣曉云

(1. 廣西師范大學附屬外國語學校，廣西桂林，541004 2. 桂林師范高等專科學校，廣西桂林，541199)

1 幾何定理教學的內涵

數學是思維的體操，幾何是思維的藝術體操.平面幾何造就了大量的數學家，初中幾何概念與定理構成了初中幾何教學的基石，是幾何證明與推理最重要的依據.然而，幾何定理教學不是簡單的、膚淺的、一蹴而就的，幾何定理具有抽象、凝練、深刻的特點，它需要思維的深度參與，經歷直觀感知、分析發現、歸納提煉、猜想論證，從表象走向本質，從孤立建立聯系，從特殊歸納一般，從合情演繹邏輯.正因為如此，有人感嘆初中數學學習成也幾何，敗也幾何！這是極具挑戰性的教學內容，教師在教學過程中，要有明確的目標和清晰的路徑，讓學生走上學好幾何探索智慧之路！

數學課程改革已進入內涵發展時期，核心素養是新一輪課程改革的關鍵詞，具體指學生在日常學習生活中必備的適應終身發展的品格和能力.在幾何定理教學中，重視對學生幾何直觀，空間觀念的培養，進一步發展推理能力和模型思想，并將幾何定理教學落實到問題解決中去，發展學生的應用意識和創新意識，培養學生思維的靈活性和開闊性，實現淺層識記→簡單應用→遷移轉化→創造應用的轉變.

“探索并證明三角形的中位線定理”是課程標準中專門列出的教學內容，下面本文以此作為初中幾何定理教學研究的典型案例，并運用“四環五步”教學模式與路徑談幾何定理教學設計.

2 幾何定理教學的過程

所謂的“四環五步”，“四環”指教學的四個環節，即“問題導入→新知探究→變式應用→總結升華”[1]；“五步”指幾何定理探索的五個步驟，即“動手操作(或素材感知)→觀察分析→形成猜想→論證猜想→歸納定理”.

環節1：問題導入

知識科普：通過前面的學習，了解到像三角形、四邊形這些基本圖形可以通過割補剪拼互相轉化.

設計說明：啟迪學生在幾何學習過程中，運用割補剪拼可以實現三角形、四邊形等幾何圖形的相互轉化，為接下來三角形中位線定理的探究埋下伏筆.

環節2：新知探究

第1步：動手操作

問題1如圖1①，請你沿中位線EF剪下△AEF后，繞點F旋轉180°拼成了如圖1②所示圖形，試判斷它是平行四邊形嗎？

圖1

第2步：觀察分析

問題2試判斷圖1②所拼成的圖形是平行四邊形.

思路點撥：分析E、F、G三點共線→說明所拼圖形為四邊形→判斷四邊形BCGE是平行四邊形.

第3步：形成猜想

思路點撥：由平行四邊形性質→對邊平行且相等→三角形中位線平行第三邊且等于第三邊的一半.

第4步：論證猜想

問題4求證：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

思路點撥：畫圖→寫已知求證→證明.

圖2

證明思路：如圖3，構造△CGF≌△AEF→證明BCGE→結論得證.

圖3

第5步：歸納定理

文字語言：定理：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

符號語言：如圖3，∵EF是△ABC的中位線

設計說明：通過圖形的旋轉剪拼，讓學生動態直觀的體驗定理的探索發現的過程；靜態觀察拼接后的圖形形狀，分析圖形中的數量與位置關系；動靜結合，舊識現新知，提出猜想；回顧探索路徑，類比概括，由合情分析轉化為嚴格證明；歸納提煉形成定理，從文字語言、符號語言、圖形語言全面認識三角形中位線定理.

環節3：變式應用

問題5如圖4，在△ABC中,E、F分別為AB、AC中點.

圖4

(1) 若EF=5，則BC=；

(2) 若∠AFE=70°，則∠C=.

變式1如圖5，在△ABC中，點E、F、G分別為AB、AC、BC中點.

圖5

(1) 四邊形EBGF的形狀是；

(2) 若AB=10，BC=8，四邊形EBGF的周長等于.

變式2如圖6，點E、F、G是△ABC三邊AB、AC、BC的中點.

圖6

(1) 圖中有個平行四邊形；

(2) 圖中有對全等三角形；

(3) 若AB=10，BC=8，AC=6，

①C△GFE=；

②S△GFE=.

(4) 若AB=a，BC=b，AC=c，S△ABC=m

①C△GFE=；

②S△GFE=.

變式3如圖7，點E、F、G、H是四邊形ABCD四邊的中點.

圖7

(1) 四邊形EFGH的形狀；

(2) 若AC=10，BD=12，則C四邊形EFGH=；

(3) 若AC=a，BD=b，則C四邊形EFGH=；

(4) 若S四邊形ABCD=m，則S四邊形EFGH=；

(5) 中點四邊形的周長、面積分別與原四邊形的周長、面積之間存在怎樣的數量關系？

拓展：如圖8，已知四邊形ABCD,請你經過剪拼，使它變為一個平行四邊形.

圖8

思路點撥：

設計說明：變式應用環節，設計了一組由淺入深，層層遞進的變式題組.問題梯度由直接應用→綜合應用→構造應用；問題類型由計算線段長度→判斷圖形形狀(平行四邊形)→判斷圖形關系(全等三角形)→計算圖形周長→計算圖形面積→剪拼平行四邊形，涉及到幾何研究的圖形形狀、數量、位置的各個方面，多角度考查三角形中位線；形成兩類幾何模型，即中點三角形和中點四邊形，揭示了其中所蘊含的周長面積的基本數量關系，及特殊圖形形狀.在拓展中，很巧妙地將三角形中位線定理的探究思路，即旋轉剪拼思路運用到解題過程中來，起到了很好的遷移轉化的作用.本題組環環相扣，將知識、問題、策略有機融合，逐步滲透培育數學學科核心素養的育人理念.

環節4：總結升華

問題6請同學們回顧并梳理本節的學習內容，談談你有哪些收獲？還存在哪些疑惑？

設計說明：引導學生分別從定理探究、核心知識、問題類型、解題策略四個角度，回顧本節課的學習內容，歸納概括探索并證明幾何定理的基本思路，抓住新知課的核心知識，及解決的關鍵問題，從中提煉解題的基本策略，體驗數學思想方法.

3 幾何定理教學的思考

核心素養側重學生自身在實踐中的摸索、積累和體悟，是一個動態優化的過程，最終目標是培養學生可伴隨終身可持續發展的能力和品格.數學核心素養的培養貫穿整個數學課程，幾何定理教學應充分發揮其育人價值和功能.

3.1 分—割—剪—拼，培養空間觀念和幾何直觀

本節課從問題導入→新知探究→變式應用，首尾貫穿“分→割→剪→拼”的動手操作實驗驗證的探索思路，融合圖形旋轉變換，運用動態的觀點引導學生探究幾何定理，幫助學生構建空間觀念，培養幾何直觀并滲透模型思想，重視引領學生對幾何定理獲得的過程體驗，積累活動經驗，為今后靈活運用幾何知識解決數學問題奠定基礎，也是培養形象思維和動態觀念的重要理念和途徑.

3.2 觀察—分析—猜想—論證，培養合情推理和演繹推理能力

本節課在新知探究環節設計了五個教學步驟，讓學生親歷“構造新圖形→觀察新圖形→分析新圖形→提出猜想→證明猜想”這一過程，運用合情推理分析提出三角形中位線定理，運用演繹推理證明三角形中位線定理，兩者相輔相成，促進定理的發現與論證.

教師創造性地使用教材，在問題導入環節啟迪學生在研究幾何圖形時，可以通過割補剪拼實現圖形的相互轉化；在新知探究環節，設計了將三角形沿中位線進行剪拼成平行四邊形，在變式應用的拓展環節，設計了將一般四邊形剪拼成平行四邊形等一系列的動手實踐活動，運用圖形變換原理探索發現新知，并遷移變化深化運用.在幾何定理教學中，培養學生自主發現問題提出問題的意識，培養獨立思考、主動思考的習慣，培養歸納概括抽象的思維能力，發揮數學在培養人的應用意識和創新意識，發展思維水平的重要作用.因此，核心素養指向的幾何定理教學是實現數學育人價值的重要教學內容.