初中數學中關于“圓”的解題策略探索

玉 蘭

(內蒙古通遼市庫倫旗第四中學，內蒙古通遼，028299)

圓形在生活中十分常見，也是數學中的一個特殊的有規則圖形，教師應在執教過程中，引導學生正確理解圓的基本定理，并結合圓形的特殊性質，更好地解決圓形問題的相關知識.教師還應注意激發學生的數學知識學習興趣，讓學生能夠自發自覺地探究關于圓形問題的解題策略，啟發學生更加深入地思考相關圓形的知識.

1 利用“圓”的對稱性解題

作為軸對稱圖形、中心對稱圖形及旋轉對稱圖形，圓形上任何一條直徑的所在直線都是其對稱軸，且圓心是其對稱中心.教師可以通過動手實作的方式，讓學生進一步對圓的對稱性進行理解.教師可以讓學生將手中的圓形沿著中心線進行任意折疊，會發現無論從哪一個方向進行折疊，都會使圓形變成一個半圓形，教師可以借此啟發學生認知；通過圓心進行折疊，一條折痕就是直徑，而直徑的一般即為半徑，一條圓弧和經過圓弧這條兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形.教師可以以此為學習基礎，將學習知識點進行深入挖掘，包括引導學生認知圓形周長及面積，這會順理成章地完成知識內容的遷移，讓學生能夠進一步理解圓的對稱性.

例1學生甲和學生乙在沙灘上玩耍，需要在沙灘上畫出一個圓形，但二人手中均沒有工具，那么，應如何在沙灘上畫出圓形？結合圓的對稱性進行分析，圓是在平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡，而圓心被稱為定點O，半徑Oa則被稱為定長，由于定長的點的集合與到點的距離相等，所以，學生甲可以在原地旋轉，將學生甲設置為O點，并拉動學生乙的手臂，將學生乙設置為a點，讓學生乙繞著學生甲在沙灘上走一圈，學生乙與學生甲之間的距離即為Oa，當繞到點b時，就會形成一個半圓，學生乙繼續前行，直到走到a點，這自然就會形成一個圓形(見圖1).教師通過這種與生活內容相結合的，甚至與每個人都息息相關的模式開展教學，這會增加學生的代入感，讓學生可以更好地理解圓的對稱性這一特征.教師也可以讓同桌兩人在室外場地還原畫圓圈的場景，讓學生能夠通過實踐進一步理解圓的對稱性的特點，促進學生進行鞏固記憶.

圖1

2 利用“圓心角”解題

在等圓或同圓中，圓心角相等則其所對應的弦及所對應的弧都是相等的.在等圓或同圓中，若兩條弦相等、兩條弧相等、兩個圓心角相等中只要有一個概念成立，則說明另外兩個概念也是成立的.教師在引導學生理解了圓心角的基本概念后，應通過案例對學生進行教學引導，以此提高學生的圓心角知識應用能力.

例2如圖2-1，已知在⊙O中，∠A=35°，OB⊥OA，求∠COD的度數.

圖2-1

解題：將OC連接，在Rt△AOB中，∠A=35°，∴∠B=55°，又∵OB=OC，∴180°-2∠B=∠COB=70°，∴∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°.在本問題中，將OC相連，在求圓心角度數的基礎上求解，以此對圓心角的概念進行鞏固性認知.

圖2-2

解法1：若證明弧相等，可以將BD、OD、OC、AC進行連接，N、M分別為BO、AO的中點，AB⊥CM、AB⊥DN，∴BD=OD、OC=AC，又∵OD=OC，∴BD=AC，所以弧度相等.

解法2：為拓展學生的思維模式，教師還可以鼓勵學生連接OD和OC進行證明.由于N、M分別是BO、AO的中點，∴BN=ON、AM=OM，∵OB=OA，∴ON=OM，∵AB⊥CM，AB⊥DN，OD=OC，∴Rt△DON≌Rt△COM，∴∠DOB=∠COA，所以弧度相等.

這一案例題目的難度并不強，但其解題方法較為靈活，而通過基本的輔助線可以提高學生的發散思維素養.

3 利用“垂徑定理”解題

利用垂徑定理進行解題，大都結合勾股定理，以及弦心距、弦長、半徑間的運算，為提高學生對垂徑定理的解題能力，教師可以通過案例教學的方式啟發學生學習，并將案例進行組合，讓學生能夠通過掌握一種解題方法，進而對相同類型問題進行解題的素養，提高學生舉一反三的能力，以及知識遷移能力，促進學生發散思維素養的不斷提高.

例4⊙O的弦CD與直徑AB在E點相交，∠DEB=30°，EB=6，AE=2，求弦CD的長度.(見圖3-1)

圖3-1

圖3-2

變式2⊙O的弦為AB，AB上的一點為M，若OM=10 cm、MB=8 cm、AB=20 cm，求⊙O的半徑.(見圖3-3)教師應結合垂徑定理，啟發學生進行分析，通過計算可知，⊙O的半徑等于14.

圖3-3

在此基礎上，教師應鼓勵學生以垂徑定理解決綜合應用問題.

圖3-4

學生在對本題進行解題后，能夠有效提高對垂徑定理的應用能力，還可以根據題意做出輔助線，以此對構造出的直角三角形進行分析，會有效提高本題的解題效率.

4 利用“弦心距”解題

在一個圓中，圓心與該圓的任一弦距離即這一弦的弦心距，在等圓或同圓中，弦心距及弦都是相等的，若兩條弦不相等，則其弦心距也是不相等的，弦心距較小反而說明弦大.教師在引導學生理解弦心距定理后，應結合實際問題啟發學生進行深入思考，確保學生通過解題對數學定理進一步認識，并以此提高學生將理論知識轉換為實踐思維的能力，使學生的數學思考能力可以獲得不斷突破[3].

例5如圖4，在⊙O中，弦EF=CD，直徑為10 cm，CD⊥OA于A，EF⊥OB于B，EF=8 cm，求OA的長.在對本問題進行解決的過程中，教師應提醒學生，在解決弦心距、弧、弦問題的環節，應做出弦心距或半徑，確保半徑、弦心距、弦的一半構成直角三角形，并注意在等圓或同圓中，將弦心距、弧、弦、圓心角的關系進行解讀.可以將OF連接，EF=CD，CD⊥OA、EF⊥OB，∴BF=BE，AD=AC，OB=OA，∴直徑為10 cm，而OF則為5 cm，∴OA=3 cm.

圖4

圖5

利用不同方法進行解題，有利于提高學生對弦心距概念的理解能力，也可以讓學生從不同角度思考數學問題，對促進學生數學綜合思維素養的提高大有裨益.

5 結語

總而言之，在學習關于“圓”知識內容的過程中，教師應注意結合不同的案例幫助學生進行分析，這會有助于學生鞏固對相關數學概念問題的理解，也可以讓學生能夠通過分析數學概念，對數學應用問題進行探究，確保學生能夠運用數學思維發現數學問題、分析問題、解決問題.尤其對于“圓”知識點的學習，更應對與圓有關的所有定理有一個充分的掌握，使學生能夠更加高效地解決關于“圓”的問題，幫助學生從多元視角進行解題.