VTI介質初至波多參數走時反演敏感核分析及反演策略

張建明， 董良國， 王建華， 汪燚林

同濟大學海洋地質國家重點實驗室， 上海 200092

0 引言

近地表模型在地震數據近地表校正和地震成像中起著關鍵的作用.由于初至波最先到達檢波器，其中包含豐富的近地表介質結構信息，且能量強，易識別，因此，在實際地震勘探中普遍利用初至波信息來建立近地表模型(Zhu et al., 1992; Luo and Schuster, 1991; 張建明等，2021).而初至波走時信息又最為穩健，利用初至波走時殘差建立的目標函數具有良好的凸性，且走時反演對初始模型依賴較低，因此，初至波走時反演目前被廣泛應用于實際生產中.

傳統的初至波走時反演方法(Olsen，1989；Luo and Schuster，1991；Sei and Symes，1994；Taillandier et al.，2009)普遍基于介質的各向同性假設.然而，地下巖層普遍存在各向異性特征(Crampin，1978；Helbig，1994；Thomsen，1986)，介質的各向異性對地震波傳播的運動學和動力學特性都有嚴重的影響(Tsvankin et al.，1990，2010)，因此，構建近地表各向異性參數模型對于地震數據近地表校正和地震成像至關重要.尤其是近年來，隨著“兩寬一高”地震勘探技術的廣泛應用(寧宏曉等，2019)，在大偏移距的地震數據中，介質的各向異性對地震數據的影響更加突出.若以傳統的各向同性方法處理各向異性的地震數據，在成像道集上，表現為道集無法拉平；在成像剖面上，表現為繞射波無法收斂，成像分辨率低甚至成像錯誤(Han and Wu，2005).目前，在地震深部成像中已經考慮介質的各向異性(Weibull and Arntsen，2014；Mu et al.，2020)，但在地震數據的近地表校正中還普遍基于近地表介質的各向同性假設，已無法滿足實際地震勘探的需求.

由于沉積壓實作用，近地表介質往往表現為具有垂向對稱軸的橫向各向同性特征(即VTI介質)，這是最典型的一類各向異性介質.3個獨立參數就可以描述VTI介質中聲波的傳播特征，最典型的參數化方式為Thomsen參數化模式(V0，ε，δ)，其中V0表示地震波沿VTI介質對稱軸縱向傳播的速度，ε定義了P波各向異性的特征，δ決定了垂直入射方向上的P波相速度函數的二階導數(Thomsen，1986).VTI介質的參數反演是一類典型的多參數反演問題(Burridge et al.，1998)，多參數加劇了反演的非線性和不穩定性，最主要的原因就是多參數之間的交叉耦合問題(Operto et al.，2013；Alkhalifah and Plessix，2014；Djebbi et al.，2017)，即不同參數會產生相似的數據擾動(Operto et al.，2013)，這種數據上的相似性來自于不同參數的輻射模式在特定角度范圍內的相互重疊.由于實際觀測數據很難區分數據擾動來源于哪個參數的攝動，這種參數耦合就會引起不準確的反演結果.

目前，針對反演過程中的多參數耦合問題，有三類最常見的處理方法：

(1) 參數化模式的選擇.全波形反演的參數化選擇往往基于輻射模式的分析(Plessix and Cao，2011；Gholami et al.，2013；Priuex et al.，2013；Alkhalifah and Plessix，2014；Kamath and Tsvankin，2016；Pan et al.，2018a，b)，而走時反演中的參數化的選擇往往從多參數的敏感核分析開始(Djebbi et al.，2017).輻射模式和敏感核可以在一定程度上揭示多參數之間的耦合效應，通過分析，最終找到最有利于多參數解耦的參數化方式.

(2)分級反演策略.傳統的分級反演策略(Gholami et al.，2013；Alkhalifah and Plessix，2014)將反演分為不同的階段，先固定弱參數反演強參數，待強參數反演結束后再固定強參數反演弱參數.這種分級反演策略在第一個反演階段依賴于相對準確的弱參數模型，否則強參數反演誤差會增大，導致第二階段弱參數反演誤差也增大.而優化的分級反演策略(楊積忠等，2014；劉玉柱等，2014)需要先進行一輪多參數同時反演，此時往往是強參數更新不足，弱參數更新過量.在第二輪同時反演時，使用第一輪反演得到的強參數模型作為初始模型，弱參數初始模型與第一輪反演的初始模型一致.這樣，兩輪反演后，強參數和弱參數反演結果均優于第一輪的反演結果.

(3) 基于Hessian矩陣的多參數同時反演策略(Operto et al.，2013；Wang et al., 2016；Pan et al.，2019).多參數反演中的Hessian矩陣呈現塊對角占優的特征(Operto et al.，2013；Wang et al., 2016)，其中，對角線元素體現了地震波傳播的幾何擴散效應，非對角線元素體現了多參數之間的耦合效應.采用Hessian矩陣的對角元素來近似精確Hessian矩陣并不能有效解決參數之間的耦合(Operto et al.，2006).如果在反演中能夠更多地利用Hessian矩陣的非對角線元素信息，在反演過程中就可以實現一定程度的多參數解耦(王義和董良國，2015；Wang et al., 2016；Pan et al.，2019).其中，Wang等(2016)在彈性波全波形反演(EFWI)中提出了一種塊對角Hessian的預條件方法，該方法考慮了相同空間位置處不同參數之間的耦合效應.與此同時，基于二階伴隨狀態法(Métivier et al.，2013)或改進的散射積分法(Liu et al.，2015)的截斷高斯牛頓優化方法，通過迭代求解牛頓方程，將Hessian信息逐漸引入多參數EFWI反演中，可以更好地壓制參數耦合并同時獲取多種參數估計(Sun et al.，2017；劉玉柱等，2015，2019).

另外，Xu和McMechan(2014)提出了多步長的策略，以平衡不同參數之間的更新，進而壓制參數之間的耦合性.縱橫波場分解的策略在解決縱橫波速度之間的耦合效應方面也具有良好的效果(Ren and Liu，2016；Wang and Cheng，2017).

然而，不同參數之間的耦合效應是地震波傳播的固有特性，上述方法和策略盡管具有一定的效果，但耦合效應不可能完全消除.不同參數對于數據有不同的敏感度和耦合效應，不同觀測方式得到的地震數據所體現出來的耦合程度也不同，地震數據中不同震相上也具有不同的耦合特征(Wang and Cheng，2017).因此，如何盡可能地減少參數之間的耦合效應，降低參數之間的交叉混疊假象，這是利用初至波走時進行VTI介質多參數反演、有效重建近地表介質的地震波速度和各向異性參數的關鍵問題.

本文聚焦上述第一類方法，通過分析VTI介質初至走時反演多參數敏感核的特征，合理選擇參數化方式，發展有針對性的反演策略，從而提高近地表VTI介質多參數反演的精度.

國際上，Zhou和Greenhalgh(2005)從Christoffel矩陣出發，率先推導出了剛度系數對速度的一階導數，其實質等同于多參數走時反演的敏感核.在國內，白超英等研究了彈性介質初至波走時對多參數的敏感性(黃光南等，2015；Bai et al.，2016；黃國嬌等，2016；He et al.，2019).但是，上述研究缺乏分析多參數敏感核隨角度變化的特征，而且只考慮Thomsen參數化和剛度系數(彈性系數)參數化的敏感核(Zhou and Greenhalgh，2005; Zhou et al.，2008；Bai et al.，2016；黃國嬌等，2016；He et al.，2019)，缺少對其他參數化模式的分析.在應用層面，上述研究聚焦于井間彈性TI介質透射和反射波聯合多參數走時反演的理論模型試驗，而在實際地震勘探中，橫波、反射波、轉換波等多震相波形的走時信息拾取非常困難，降低了方法的實用性.Wang等(2013)和劉玉柱等(2014)對比了Thomsen參數化和三慢度參數化的多參數敏感核，認為三慢度參數化模式敏感核量級一致，是一種更優的參數化模式.然而該研究同樣缺少對多參數的耦合效應的分析，所依據的Sayers(1995)群速度近似公式，誤差也相對較大，而且他們推導得到的三慢度敏感核也存在偏差，研究得到的結論不完全正確.

為此，本文基于更高精度的Fomel群速(慢)度近似(Fomel，2004)，推導得到了聲波VTI介質中16種參數化模式下走時反演的多參數敏感核解析解，詳細分析了4種參數化模式的多參數敏感核隨角度變化特征和多參數之間的耦合效應，并將子空間方法(Kennett et al.，1988；Baumstein，2014；Djebbi and Alkhalifah，2019)引入到VTI介質多參數走時反演中，提出了在全方位觀測和地表激發接收兩種觀測方式下的最優參數化方式和多參數反演策略.理論分析和模型試驗都證明了所提出的反演策略的正確性.

1 VTI介質多參數初至波走時敏感核的解析解

在VTI介質中，地震初至波走時T可表示為

(1)

其中，Sφ是依賴于各向異性參數的地震波群慢度，φ代表初至波傳播方向與VTI介質對稱軸的夾角，即射線群角，L表示射線路徑.當各向異性介質參數擾動時，由射線路徑L變化引起的走時擾動相比于由參數攝動引起的走時擾動為二階小量，可以忽略.因此，由參數攝動引起的一階走時擾動ΔT可近似表示為

(2)

利用方程(2)中的走時殘差ΔT來反演VTI介質的三個模型參數(α,β,γ)，可以使用基于程函方程的伴隨狀態反演方法(Bin Waheed et al.，2016)，而本文使用VTI介質中的射線追蹤法.不管使用哪種反演方法，方程(2)右側的敏感核函數Km在反演中都居于核心地位，對其性態的全面了解和把握是反演的前提.因此，本文聚焦該敏感核函數，詳細分析VTI介質中全部16種參數化模式下多參數的敏感核，總結參數之間的耦合效應，提出了在全方位觀測和地表激發接收兩種觀測方式下的最優參數化方式和多參數反演策略.

聲波VTI介質走時反演的多參數敏感核可以基于不同的群慢度近似得到，由于Fomel群慢度近似在強各向異性介質中精度較高(Fomel，2004；Yuan et al.，2006； Zhang et al.，2013)，所以，本文推導均基于Fomel群慢度近似公式(Fomel，2004)：

(3)

利用(3)式，本文首次得到了VTI介質多參數初至波走時敏感核的解析解，見(4)式.

(4)

其中，

(5)

在不同的VTI介質參數化模式下，盡管初至波走時反演中多參數敏感核的解析解具有統一的形式(見(4)式)，但由于Q、A、C的表達形式不同，決定了在不同參數化模式下的VTI介質初至波走時反演的敏感核也不同.

2 VTI介質多參數初至波走時反演敏感核與耦合分析

2.1 參數化模式1：m=(S0，ε，δ)

(6a)

(6b)

(6c)

圖1展示了參數化模式1中三個參數敏感核的數值算例(在計算敏感核時，選取的參數為S0=1/3000 s·m-1、ε=0.2、δ=0.1)，數值大小代表初至波走時對參數敏感性的相對強弱.在相同的參數化模式下，選取不同的參數得到的敏感核的形態基本類似.

為簡單起見，在下文中的其他15種參數化中，不再列出走時反演敏感核的解析表達式，只展示根據敏感核解析表達式數值計算得到的敏感核形態.

可以發現，在該參數化模式下，垂向慢度S0的敏感性最強，ε次之，δ的敏感性最弱.由于δ參數的敏感性最低，對初至波運動學特性影響極其微弱，所以在反演過程中δ參數一般是作為已知參數通過測井資料直接提供(Alkhalifah and Plessix，2014)，從而只反演S0和ε兩個參數.

角度代表初至波傳播方向與VTI介質對稱軸的夾角，即射線群角.本文將群角分為三個角度范圍進行分析，分別為小角度范圍(0～30°)、中角度范圍(30～60°)和大角度范圍(60～90°).由圖1可見，S0在所有角度范圍內敏感性基本一致，表現為近似各向同性特征.ε只在大角度范圍內敏感性強，角度越大敏感性越強，90°時敏感性最強，0°時敏感性為零.所以說ε參數控制著大角度地震波的速度變化.δ在中角度范圍內敏感性相對較強，小角度0°和大角度90°時，敏感性為零.因此，在小角度范圍內，三參數的耦合效應最弱，0°時不存在三個參數的耦合問題.在中角度范圍內三參數存在相對較強的耦合效應，其中，在接近45°時，S0和δ兩參數耦合效應達到峰值.在大角度范圍內，S0和ε兩參數存在相對較強的耦合效應，90°時，S0和ε兩參數的耦合效應達到最強.

圖1 參數化模式1下(a)S0，(b)ε和(c)δ三個參數的敏感核Fig.1 Sensitivity kernels of the (a)S0，(b)ε and (c) δ parameter for parametric mode 1

可以預見，在炮點和檢波點都在地表的常規觀測方式下，地震初至波以中大角度范圍穿過近地表的地層，由于初至波走時對S0和ε兩參數都有相對較強的敏感性，而對δ參數敏感性弱，此時盡管存在參數耦合效應，在步長計算相對準確時，仍然可以通過多參數同時反演策略有效恢復S0和ε兩參數模型.

2.2 參數化模式2：m=(Sh，η，δ)

根據各向異性參數之間的參數轉換關系：

(7)

由圖2可見，在m=(Sh，η，δ)參數化模式下，水平慢度Sh的敏感性最強，η和δ的敏感性相對較弱.Sh在全部角度范圍內的敏感性大體一致，而η和δ只在中小角度范圍內有相對較強的敏感性.角度越小，η和δ敏感性越強，0°時η和δ兩參數的敏感性都達到峰值.

圖2 參數化模式2下(a)Sh、(b)η和(c)δ三個參數的敏感核Fig.2 Sensitivity kernels of the (a) Sh，(b) η and (c) δ parameter for parametric mode 2

說明在中小角度范圍內，三個參數之間存在強烈的參數耦合效應，尤其在0°時，三個參數間的耦合效應達到最強.而在中大角度范圍內，參數耦合效應隨角度增大而逐漸減弱，90°時無參數耦合效應，初至波走時只對Sh參數敏感.這意味著，利用中大角度傳播的地震波走時，可以有效反演Sh參數，且此時受η和δ參數耦合影響非常小.即在地表激發接收的觀測方式下，該參數化模式是反演Sh參數的最佳參數化方式.

2.3 參數化模式3：m=(Sn，η，δ)

由圖3可見，在該參數化模式下，慢度Sn敏感性最強，η和δ的敏感性相對較弱.Sn在全部角度范圍內都有較強的敏感性，δ只在中小角度范圍內敏感性較強，角度越小敏感性越強，0°時達到峰值.η只在中大角度范圍內有較強的敏感性，角度越大敏感性越強，90°時達到峰值.

圖3 參數化模式3下(a)Sn、(b)δ和(c)η三個參數的敏感核Fig.3 Sensitivity kernels of the (a) Sn，(b) δ and (c) η parameter for parametric mode 3

說明在中小角度范圍內，Sn和δ兩參數的耦合效應較強，角度越小耦合效應越強，0°時最強.在中大角度范圍內Sn和η兩參數的耦合效應較強，角度越大耦合效應越強，90°時最強.

上述分析表明，在地表激發接收的觀測方式下，當地震初至波以中大角度范圍穿過近地表時，初至波走時對Sn和η兩參數都有較強的敏感性而對δ敏感性很弱，因此該參數化模式適合Sn和η兩個參數反演.

2.4 參數化模式4：m=(S0，Sh，Sn)

由圖4可見，在該參數化模式下，三慢度敏感性量級基本一致，Sn稍弱.S0只在中小角度范圍內有較強的敏感性，且角度越小敏感性越強，0°時敏感性最強.Sh只在中大角度范圍內有較強的敏感性，且角度越大敏感性越強，90°時敏感性最強.Sn只在中角度范圍內有相對較強的敏感性，接近50°時，敏感性最強.

圖4 參數化模式4下(a)S0、(b)Sh和(c)Sn三個參數的敏感核Fig.4 Sensitivity kernels of the (a) S0，(b) Sh and (c) Sn parameter for parametric mode 4

上述分析說明，S0和Sh兩個參數之間沒有太強的參數耦合效應.Sn參數敏感性相對較弱，且在中角度范圍內與S0和Sh兩個參數存在較弱的耦合效應.這就意味著，在這種參數化模式中，當介質模型被全方位角度的初至波照明時，三個參數分別影響不同角度范圍的初至波走時，三參數之間的耦合效應最弱，最有利于多參數反演.但是，當射線覆蓋角度只有中大角度(如地表激發接收的觀測方式)時，利用這種參數化模式同時反演三參數極具挑戰性，S0參數的反演尤其困難，Sn也因敏感性相對較弱難以反演，所以，在這種情況下三慢度的參數化模式并非最優.

通過對比分析上述4種以及附錄中其余的12種參數化模式的敏感核特征，可以發現，對于不同的參數化模式，都有兩個明顯特性：(1)在不同的參數化模式下，三個參數的敏感性強弱不同，慢度參數總是強參數，敏感性大于其他各向異性參數.(2)在同一種參數化模式下，三個參數的敏感性具有明顯的角度特性.也就是說，在不同的參數化模式中，不同參數的敏感性不同，參數之間的耦合效應特征也不同.其中，在參數化模式4中三個慢度參數之間耦合影響相對微弱，在其他參數化模式中存在兩個參數耦合影響微弱的情況，如參數化9中的S0和Sh兩個參數之間的耦合效應相對較弱，參數化11中的Sh和Sn、δ兩個參數之間的耦合效應比較弱，參數化14中的S0與Sn、η兩個參數之間的耦合效應比較弱，參數化15中的S0、Sh兩個參數之間耦合效應較弱，參數化3中的η和δ兩個參數之間耦合效應較弱.除上述幾種參數化模式外，在其他參數化模式中沒有明顯的兩參數解耦或三參數解耦情況存在.這也意味著，反演不同的參數需要根據敏感核和參數耦合效應特征，有針對性地選擇合理的參數化模式，同時也需要考慮不同的觀測方式，因為觀測方式影響地震初至波的傳播角度.

3 VTI介質多參數初至波走時反演策略及數值試驗

在不同的觀測方式下，地震初至波穿過模型的角度覆蓋范圍不同.加上不同的參數化模式中多參數的敏感性隨角度變化特征不同，因此，對于不同的觀測方式，應該有針對性地選擇不同的參數化模式以反演不同的參數，并制定相應的反演策略.

下面將重點討論全方位觀測和地表激發接收兩種觀測方式下的參數化選擇和反演策略.同時需要說明，本文在模型試驗中涉及慢度(速度)參數時，均是采用慢度更新方式，但為方便閱讀，顯示的模型均是速度模型.

3.1 全方位觀測反演策略及試驗

在全方位觀測方式下，地下介質會被不同角度的地震初至波所照明，地震初至波走時對不同參數化模式的三個參數都會有不同程度的響應，不同參數化模式中的三個參數之間的耦合效應不一致.此時，只需要選擇一種三個參數之間耦合效應最弱的參數化模式，在不需要其他反演策略的情況下就可以有效同時反演得到三個參數.前面的多參數敏感核與耦合分析已經表明，在三慢度參數化中，三個參數之間的耦合效應最弱，且三個參數的敏感性強弱基本一致，為全方位觀測方式下的最佳參數化模式.下面，采用異構的球狀模型來驗證上述理論分析的正確性.

設計的異構模型如圖5，而初始模型為V0=2000 m·s-1、Vh=2366 m·s-1、Vn=2192 m·s-1的均勻模型.網格數nx=nz=401，網格間距dx=dz=10 m.四周布滿400個炮點和1600個檢波器，通過匹配這些檢波器處的初至波走時與相應位置的“觀測”走時，使走時誤差的平方和達到最小，從而得到反演結果，見圖6.

圖5 三慢度參數化下的多參數真實模型(a) V0模型; (b) Vh模型; (c) Vn模型.Fig.5 True models of the three parameters for 3-slowness parametric mode(a) V0 model; (b) Vh model; (c) Vn model.

圖6 三慢度參數化下的多參數反演結果(a) V0反演結果; (b) Vh反演結果; (c) Vn反演結果.Fig.6 The inversion results of the three parameters for 3-slowness parametric mode(a) V0 model; (b) Vh model; (c) Vn model.

從反演結果來看，V0(圖6a)和Vh(圖6b)參數反演結果比較精確，Vn(圖6c)參數反演盡管一定程度上還是受V0和Vh參數耦合的影響，但也得到有效更新.這是因為在迭代反演的過程中，V0和Vh兩參數幾乎沒有參數耦合效應，可以不斷被有效更新，當V0和Vh兩參數得到充分更新后，走時殘差主要由Vn參數引起，Vn參數在迭代反演后期也得到了有效更新.但是，從前面的參數化模式4的敏感性分析結果可以看出，相對于V0和Vh，初至波走時對Vn的敏感性相對較弱，容易受到V0和Vh參數的影響，因此在最終的反演結果上，Vn參數的反演仍然存在一定的誤差.

如果將圖5所示的異構模型通過關系式(7)換算為Thomsen參數化(S0，ε，δ)進行反演，再將反演結果換算為三速度模型(圖7)進行對比，可以發現，在Thomsen參數化下三參數反演過程中存在較強的參數耦合效應，導致三個參數的反演結果相互串擾，尤其是弱參數ε(圖7b)和δ(圖7c)受V0(圖7a)參數耦合影響尤為突出.通過本實驗，驗證了在觀測系統完備情況下，前面敏感核分析得到的三慢度參數化模式為最佳參數化模式的結論的正確性.

圖7 Thomsen參數化下的多參數反演結果(a) V0反演結果; (b) ε反演結果; (c) δ反演結果.Fig.7 The inversion results of the three parameters for Thomsen parametric mode(a) V0 model; (b) ε model; (c) δ model.

3.2 地表觀測反演策略及試驗

在激發點和檢波點均位于地表的觀測方式下，地震初至波只會以中大角度范圍在近地表傳播.觀測系統的不完備性，加劇了反演的非線性和不穩定性，同時反演三個參數尤其困難.根據前文中參數化模式4的敏感性分析發現，在地表激發和接收的觀測方式下，利用三慢度的參數化模式并非最優，此時應有針對性地選擇不同的參數化模式分別反演不同的參數.

基于多種參數化的多參數敏感核分析，可以發現以下三個特征：(1)在敏感性如圖1的Thomsen參數化模式(S0，ε，δ)下，初至波走時對S0和ε兩個參數均有更強的敏感性，而對δ參數的敏感性非常弱.說明δ參數對初至波走時影響微弱.因此，盡管在反演中即使采用錯誤的δ模型，仍然可以有效反演S0和ε兩個參數.(2)在參數化模式(Sn，η，δ)下，由圖3的敏感性特征可見，當初至波以中大角度范圍穿過模型時，初至波走時對Sn、η兩個參數敏感性較強，而對δ參數敏感性弱.因此，在反演中即使采用錯誤的δ模型，也可以有效地反演Sn、η兩個參數.(3)同理，在參數化模式(Sh，η，δ)下，由圖2的敏感性特征可見，初至波走時只對Sh參數敏感而對η和δ兩個參數不敏感，因此，盡管反演中使用錯誤的η和δ模型，也可以有效反演得到Sh參數.

下面，通過數值模型試驗，證明上述反演策略的正確性.

試驗采用的VTI模型如圖8，其中V0、ε、δ三個參數的真實模型為BP模型，η、Vn、Vh三個參數的真實模型由V0、ε、δ通過參數換算得到.初始的V0、Vn、Vh模型均為相同的常梯度速度模型(圖9a)，初始的ε、η、δ參數模型的數值均為0(圖9b).可見，六個參數的初始模型距離真實模型都比較遠.網格數nx=801，nz=116，網格間距dx=dz=20 m.地表均勻布設滿401個炮點和801個檢波器，炮點和檢波點的水平間距分別為40 m和20 m，最大偏移距為8 km.

圖8 BP真實模型(a) V0模型; (b) Vn模型; (c) Vh模型; (d) ε模型; (e) η模型; (f) δ模型.Fig.8 The true BP models(a) V0 model; (b) Vn model; (c) Vh model; (d) ε model; (e) η model; (f) δ model.

圖9 初始模型(a) 速度(V0、Vn、Vh)模型; (b) 各向異性參數(ε、η、δ)模型.Fig.9 The initial models(a) Velocities (V0，Vn，Vh); (b) Anisotropy parameters (ε，η，δ).

首先驗證了參數化模式1中不同參數的擾動對走時影響的強弱.圖10a展示了不同參數擾動時第1炮走時場的等走時線分布，圖10c是對應地表檢波器處初至波走時.圖10b展示了δ參數擾動與真實模型下走時場的誤差.由圖10可見，V0和ε兩個參數的擾動都會對初至波走時產生明顯影響，而δ擾動對走時幾乎沒有影響.在實際模型試驗的偏移距(8 km)范圍內，最大走時誤差為毫秒級(圖10b)，與實際地震勘探噪聲引起的走時誤差同等量級，因此，δ參數對走時的影響可以忽略，反演δ參數沒有實際意義.

圖10 BP模型參數化模式1下不同參數擾動對地震波走時的影響(a) 對應不同參數模型的走時場, 黑線：真實三參數模型走時場；紅虛線：V0為初始模型、ε和δ為真實模型時的走時場；藍虛線：ε為初始模型、V0和δ為真實模型時的走時場；洋紅色虛線：δ為初始模型、V0和ε為真實模型時的走時場; (b) δ為初始模型時的走時場與真實模型走時場殘差; (c) 對應(a)的地表檢波器接收走時.Fig.10 Influence on traveltime of parameter perturbation on BP model in parametric mode 1(a) Traveltime fields corresponding to different parameter models, black line: traveltime field of true models; Red dotted line: the traveltime field of the initial V0 model with the true ε and δ models; Blue dotted line: the traveltime field of the initial ε model with the true V0 and δ models; Magenta dotted line: the traveltime field of the initial δ model with the true V0 and ε models; (b) The residualtraveltime field between the initialδ model and the true models; (c) Traveltime on the receiver position corresponding to Fig.(a).

針對不同的參數，分別采用三種不同的參數化模式進行反演.其中采用參數化模式1反演得到的V0和ε兩個參數的反演結果分別如圖11a和圖11d，走時目標函數變化如圖12a.采用參數化模式3，反演得到的Vn和η兩個參數的反演結果分別如圖11b和圖11e，走時目標函數變化如圖12b.采用參數化模式2，反演得到的Vh參數的反演結果如圖11c，走時目標函數變化如圖12c.當參數化模式1和2下的反演都充分收斂后，就可以由V0(圖11a)和Vn(圖11b)換算得到δ模型(圖11f).

圖11 圖8模型多參數走時反演結果(a) V0反演結果; (b) Vn反演結果; (c) Vh反演結果; (d) ε反演結果; (e) η反演結果; (f) δ轉換結果.Fig.11 The inversion results corresponding to the models in Fig.8(a) V0 model; (b) Vn model; (c) Vh model; (d) ε model; (e) η model; (f) δ model.

圖12 不同參數化模式下走時反演目標函數下降曲線(a) 參數化模式1; (b) 參數化模式3; (c) 參數化模式2.Fig.12 Decrease of traveltime objective function for different parametric modes(a) Parametric mode 1; (b) Parametric mode 3; (c) Parametric mode 2.

圖13展示了7 km處對應的模型剖面，本文將傳統三慢度參數化下三參數同時反演結果作為對比.由圖可見，利用本文策略得到的多參數反演結果(圖11)和對應的模型剖面(圖13藍線)都可以反映宏觀的背景模型.δ參數盡管誤差相對較大，反演結果偏高，也依然可以反映背景模型的宏觀變化.然而，利用傳統三慢度參數化三參數同時反演策略得到的結果(圖13a、圖13b和圖13c紅線)中，V0(圖13a紅線)在模型淺部數值偏高而深部數值偏低.Vh(圖13c紅線)恰好相反，淺部數值偏低而深部數值偏高.這與圖4對應的敏感核分析一致.反演結果的剖面對比說明了三慢度參數化在地表激發接收的觀測系統時并非最優參數化方式，同時也說明本文所提出多種參數化反演策略的正確性.

圖13 圖11模型多參數走時反演結果7km處模型剖面(a) V0模型; (b) Vn模型; (c) Vh模型; (d) ε模型; (e) η模型; (f) δ模型.Fig.13 The model profiles at x=7 km from the multi-parameter traveltime inversion results corresponding to the models in Fig.11(a) V0 model; (b) Vn model; (c) Vh model; (d) ε model; (e) η model; (f) δ model.

圖14展示了不同炮點位置處基于真實模型(黑線)、初始模型(藍線)以及最后反演得到的V0(圖11a)、ε(圖11d)和δ(圖11f)模型(紅線)計算的初至波走時數據.由圖可見，初始模型(藍線)與真實模型(黑線)的初至波走時數據匹配較差，而反演結果(紅線)與真實模型(黑線)的初至波走時數據匹配良好.反演結果和走時匹配也證明了本文提出的參數化選擇和參數反演策略的正確性.

圖14 第(a)100炮; (b) 200炮; (c) 300炮位置初至波初至波走時黑線:真實模型; 藍線:初始模型; 紅線:反演模型.Fig.14 First-arrival traveltime data at the (a) 100th shot; (b) 200th shot; (c) 300th shot locations Black line: true model; blue line: initial model; red line: inversion model.

4 討論

(1)在地表觀測方式下，反演V0和ε兩個參數也可以選擇參數化模式5：m=(S0，ε，η).因為在參數化模式5下，走時對η參數的敏感性與參數化模式1中走時對δ參數的敏感性類似，都非常微弱.因此，選擇參數化模式5，在η參數模型偏離真實模型時也能反演得到較準確的背景V0和ε模型.

(2)本文推導得到的16種參數化模式中多參數敏感核的解析解與前人經數值計算所得到的波動方程(或有限頻)走時反演敏感核數值解在角度變化特征基本一致，可以互相印證.例如，在參數化模式2、3、13中三個參數的敏感性隨角度的強弱變化特征，與Djebbi等(2017)得到的敏感核數值解在0°、45°和90°時強弱變化特征一致，說明本文提出的反演策略可以推廣至波動方程(或有限頻)走時反演.

(3)VTI介質只是一種特殊的(具有垂直對稱軸)TI介質，當地下介質具有傾斜對稱特征時(TTI介質)，相應的多參數的敏感核特征也會旋轉相應的傾斜角度.因此，本文得到的VTI介質多參數敏感核及分析方式同樣適用于TTI介質多參數敏感核分析.TTI介質的多參數反演更具有挑戰性，也更具有實際意義，因此TTI介質的多參數反演將是我們下一步重點研究的內容.

5 結論

本文基于VTI介質中的Fomel群慢度近似，推導得到了16種參數化模式下初至波走時反演多參數敏感核的解析解.理論分析表明：

(1)在不同的參數化模式下，初至波走時對同一個參數的敏感性強弱以及隨角度的變化特征不同.

(2)在同一種參數化模式下，三個參數敏感性的強弱程度不同，慢度(速度)參數為強參數，其他各向異性參數為弱參數.三個參數的敏感性隨角度變化的特征也不同.

(3)在不同的參數化模式下，三個參數之間的參數耦合效應互不相同.

基于對VTI介質中多種參數化敏感核和參數耦合的分析，本文提出了在全方位和地表觀測方式下的兩種反演策略，并通過模型試驗證明了提出的反演策略的正確性.

在全方位觀測方式下，地下介質被全方位的地震初至波照明，不同參數化模式中的三個參數都會對初至走時數據產生不同程度的響應.此時，只需要選擇三個參數之間耦合影響最弱的參數化模式，在無需額外的反演策略的情況下就可以同時反演得到較好的三參數模型.相比其他參數化模式，三慢度參數化中的三個參數之間的耦合效應最弱，因此，在全方位觀測方式下，三慢度參數化為最佳參數化模式.

在地表觀測方式下，本文通過分析VTI介質中16種參數化模式下的初至波走時敏感核，提出了一種新的多參數三步法初至波走時反演策略.即，選擇參數化模式(Sh，η，δ)反演Sh參數；選擇參數化模式(Sn，η，δ)反演Sn和η兩個參數；選擇參數化模式(S0，ε，δ)反演S0和ε兩個參數.最后，通過參數換算關系將S0和Sn換算為δ，即可較好地建立近地表VTI介質的S0、Sh、Sn、ε、η和δ六個參數的模型.

附錄 剩余12種參數化模式的敏感核

對于剩余的12種參數化模式，相應的敏感核分析方式與正文中的4種分析方法一致，不再贅述，在這里只列出每種參數化模式中由各向異性參數決定的因式Q、A、C和對應的敏感核解析解的形態，并作必要的說明.

參數化模式5：m=(S0，ε，η)

附圖1 參數化模式5下(a)S0、(b)ε 和 (c)η三個參數的敏感核Fig.A1 Sensitivity kernels of the (a) S0，(b) ε and (c) η parameter for parametric mode 5.

參數化模式6：m=(S0，η，δ)

附圖2 參數化模式6下(a) S0、(b) η 和(c) δ三個參數的敏感核Fig.A2 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) η and (c) δ parameter for parametric mode 6

參數化模式7：m=(Sh，ε，δ)

附圖3 參數化模式7下(a) Sh、(b) ε和(c) δ三個參數的敏感核Fig.A3 Sensitivity kernels of the (a) Sh、(b) ε and (c) δ parameter for parametric mode 7

參數化模式8：m=(Sn，ε，δ)

附圖4 參數化模式8下(a) Sn、(b) ε和(c) δ三個參數的敏感核Fig.A4 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) ε and (c) δ parameter for parametric mode 8

參數化模式9：m=(S0，Sh，δ)

附圖5 參數化模式9下(a) S0、(b) Sh和(c) δ三個參數的敏感核Fig.A5 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) Sh and (c) δ parameter for parametric mode 9.

參數化模式10：m=(S0，Sn，ε)

附圖6 參數化模式10下(a) S0、(b) Sn和(c) ε三個參數的敏感核Fig.A6 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) Sn and (c) ε parameter for parametric mode 10

參數化模式11：m=(Sn，Sh，δ)

附圖7 參數化模式11下(a) Sn、(b) Sh和(c) δ三個參數的敏感核Fig.A7 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) Sh and (c) δ parameter for parametric mode 11

參數化模式12：m=(Sn，Sh，ε)

附圖8 參數化模式12下(a) Sn、(b) Sh和(c) ε三個參數的敏感核Fig.A8 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) Sh and (c) ε parameter for parametric mode 12

參數化模式13：m=(Sh，ε，η)

參數化模式14：m=(S0，Sn，η)

附圖9 參數化模式13下(a) Sh、(b) η和(c) ε三個參數的敏感核Fig.A9 Sensitivity kernels of the (a) Sh、(b) η and (c) ε parameter for parametric mode 13

參數化模式15：m=(S0，Sh，η)

附圖10 參數化模式14下(a) S0、(b) Sn和(c) η三個參數的敏感核Fig.A10 Sensitivity kernels of the (a) S0、(b) Sn and (c) η parameter for parametric mode 14

參數化模式16：m=(Sn，ε，η)

附圖12 參數化模式16下(a) Sn、(b) ε和(c) η三個參數的敏感核Fig.A12 Sensitivity kernels of the (a) Sn、(b) ε and (c) η parameter for parametric mode 16