術(shù)道并行，以道為先
——小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生深刻性思維的策略研究

安徽省合肥市廬陽區(qū)教研室 李玲玲

安徽省合肥市南門小學(xué)森林城校區(qū) 冷 偉

一、問題的提出

（一）計算教學(xué)的目標

新課標指出，計算教學(xué)要重視口算，加強估算，提倡、鼓勵算法多樣化，培養(yǎng)運算能力，還要求數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

（二）計算教學(xué)的困惑

很多教師在進行計算教學(xué)時，更關(guān)注知識技能目標的培養(yǎng)，忽視了學(xué)生計算思維能力與綜合應(yīng)用知識能力的培養(yǎng)。傳統(tǒng)的計算教學(xué)往往要求學(xué)生算對、算快，教師教學(xué)時要么關(guān)注計算結(jié)果的正確率，忽視算理的推導(dǎo)和計算方法的概括；要么關(guān)注技能的訓(xùn)練，追求算理的程序化。這就導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、不愿深入思考問題。一些學(xué)生不能深刻地理解算法背后算理的支撐，面對新問題時不會主動構(gòu)建知識體系，不能靈活運用已有的知識和對運算的理解去嘗試解決新問題。

二、我們的思考

計算教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，而且要培養(yǎng)思維能力，提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。思維的深刻性是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。在計算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負擔的有效途徑，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的突破口。

數(shù)學(xué)思維的深刻性，指思維活動的抽象程度、邏輯水平、廣度、深度和難度。根據(jù)林崇德的思維結(jié)構(gòu)理論，我們對深刻性思維的概念從以下幾個維度進行界定：

計算教學(xué)中深刻性思維的概念界定

數(shù)學(xué)思維的深刻性集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想方法的運用上。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)重在體驗和感悟。教材的編排具有一定的邏輯性，這其中也蘊含了數(shù)學(xué)思想方法，一線教師在教學(xué)時要以教材為依托，將思想方法加以滲透，引導(dǎo)學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思想方法進行思考的習(xí)慣。

三、我們的實踐

小學(xué)階段計算教學(xué)需要滲透的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比推理等。教師在計算教學(xué)時要深入解讀教材，弄清知識的來龍去脈，根據(jù)學(xué)生的認知特點選擇合適的思想方法，設(shè)計有效的路徑來突破難點。

（一）數(shù)形結(jié)合思想

不同版本的數(shù)學(xué)教材編排時都會滲透數(shù)形結(jié)合的思想，我們要用好教材，使學(xué)生經(jīng)歷充分的動手操作的過程，采用小棒圖、計數(shù)器、方塊圖、點子圖、數(shù)線等工具，能讓整個計算過程更加清晰，讓算理看得見，讓思維過程說得清。教材中沒有呈現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點處，教師應(yīng)巧妙地搭建框架，引導(dǎo)學(xué)生由形思數(shù)、由數(shù)想形,揭示出問題的特征與本質(zhì),達到培養(yǎng)學(xué)生深刻性思維的目的。

以“筆算加法（不連續(xù)進位）”為例，本節(jié)課的重點是掌握不連續(xù)進位的三位數(shù)加法的算法，理解算理。不連續(xù)進位的三位數(shù)加法，包含個位相加進位、十位相加進位、百位相加進位三種情況。本節(jié)課的難點是十位上進位的處理。這就要求學(xué)生借助計數(shù)器撥珠并在這個過程中體會“滿10進1”，因此，在教材的原有基礎(chǔ)上補充計數(shù)器撥珠的教學(xué)環(huán)節(jié)是非常有必要的。

教學(xué)片段一：

教師出示教材例4情境圖（如圖1），請學(xué)生讀題后找出條件和問題，集體交流怎么解決。

圖1 筆算加法例題

（學(xué)生回答后）教師板書：142+86= 。

師：這道算式和我們之前學(xué)習(xí)的算式有什么不同？

生：以前學(xué)習(xí)的是兩位數(shù)的加法，今天學(xué)習(xí)的是三位數(shù)的加法。（揭題）

師：在計算過程中，遇到問題停下來想一想，等下我們一起交流。

學(xué)生在課堂本上嘗試計算，接著交流遇到的問題。

生1：百位上寫幾？

生2：十位滿10怎么辦？

（學(xué)生匯報計算過程）

師：8和誰對齊？6呢？接下來呢？

生3：2個一加6個一得8個一。

師：然后呢？

生3：4個十加8個十得12個十。

師：放慢過程，來看大屏幕上的計數(shù)器（如圖2）。

圖2 計數(shù)器演示進位情況

結(jié)合計數(shù)器演示，教師提問：十位是幾？十位上這么多個珠子怎么辦？

生4：十位上撥去10個珠，百位上撥1個珠。

師：現(xiàn)在百位是幾？為什么？

生4：1個百加1個百得2個百。

（結(jié)合計數(shù)器的演示請學(xué)生完整講述計算過程）

出示：用豎式計算643+752，并驗算。

學(xué)生獨立思考，教師組織交流。

師：你在計算的過程中遇到了什么問題？是怎么解決的？

生5：當百位相加滿十，我不知道該怎么辦。想起“十位滿10，向百位進1”，我覺得應(yīng)該是百位滿10，向千位進1。

師：你說得很有道理，根據(jù)我們學(xué)過的知識就能解決新的問題。

師：筆算進位加法時，要注意什么？

生6：相同數(shù)位對齊，從個位算起，十位相加滿10向百位進1，百位相加滿10向千位進1，也就是哪一位上滿10，就向前一位進1。

（二）轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)知識之間是有關(guān)聯(lián)的。教師要厘清教材脈絡(luò)，找到新舊知識的連接點，將計算學(xué)習(xí)的知識脈絡(luò)清晰地呈現(xiàn)出來，幫助學(xué)生建立知識體系。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是一個轉(zhuǎn)化的過程，把未知轉(zhuǎn)化成已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡單，從而實現(xiàn)知識的自主構(gòu)建。在這個過程中，教師要充分利用教材呈現(xiàn)的例題，給學(xué)生時間和空間，體會轉(zhuǎn)化的重要性，明確從“找不同”中進行轉(zhuǎn)化的方法。

以“除數(shù)是小數(shù)的除法”為例，本節(jié)課的重點是理解和掌握被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)少于除數(shù)小數(shù)位數(shù)時的計算方法，難點是理解并表達一個數(shù)除以小數(shù)的轉(zhuǎn)化過程。學(xué)生不僅要了解怎樣轉(zhuǎn)化，也要體會為什么這樣轉(zhuǎn)化。

教學(xué)片段二：

（出示例11，如圖3）

圖3 除數(shù)是小數(shù)的除法例題

師：從題目中，你們能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

（學(xué)生觀察，交流）

師：怎樣列式？

生1：1.5÷0.75。

師：你是根據(jù)什么數(shù)量關(guān)系列出來的？

生1：根據(jù)“總價÷單價＝數(shù)量”列出算式的。

（第一輪自主探究）

學(xué)生獨立嘗試計算。

師：沒有完成的同學(xué)遇到了什么問題？

生2：被除數(shù)的小數(shù)點向右移動時，位數(shù)不夠。

師：怎么解決？誰能幫他解決？

生3：在被除數(shù)的末尾用0補足。

師：為什么這樣轉(zhuǎn)化？

生3：除數(shù)有兩位小數(shù)，要乘100才能轉(zhuǎn)化成整數(shù)，所以被除數(shù)也要乘100，變成150。

（第二輪自主探究）

師：再計算，已算出的同學(xué)請驗算。

學(xué)生獨立列豎式計算，組織匯報。（板書豎式）

師：回顧剛才的計算過程，我們是怎樣計算的？

生4：把被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點向右移動2位，得到150÷75，再按整數(shù)除法算。

師：想提醒什么？

生4：被除數(shù)的位數(shù)不夠時要用0補足。

自主探究試一試6÷2.4。

師：說說你是怎樣計算的。

（學(xué)生交流）

師：被除數(shù)怎樣轉(zhuǎn)化？

生5：把6看作6.0，小數(shù)點向右移動一位，得到60。

師：余12時怎么解決？

生5：在余數(shù)12的后面添0后繼續(xù)往下除。

師：今天學(xué)習(xí)的小數(shù)除法，與昨天相比，有什么相同點和不同點？

生6：相同點都是除數(shù)是小數(shù)的除法，不同點是今天學(xué)習(xí)的除法中被除數(shù)的小數(shù)位數(shù)少于除數(shù)的小數(shù)位數(shù)。

師：結(jié)合之前學(xué)習(xí)的小數(shù)除法，再想一想，怎樣計算除數(shù)是小數(shù)的除法？（同桌交流）

生7：計算除數(shù)是小數(shù)的除法，是把它們轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的除法來計算。利用商不變的規(guī)律進行轉(zhuǎn)化，除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點就向右移動幾位，位數(shù)不夠時就用“0”補位。

（三）類比推理思想

類比推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式。計算的過程其實就是邏輯推理的過程。計算教學(xué)要在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)活動的充分體驗，利用合情推理，演繹從新知到舊知的轉(zhuǎn)化過程，實現(xiàn)知識的自主構(gòu)建。

以“三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”為例，本節(jié)課的重點是掌握三位數(shù)乘兩位數(shù)的算法，理解算理；難點是抽象概括出乘法算理的本質(zhì)，也就是計數(shù)單位的累加。這需要學(xué)生類比之前學(xué)習(xí)的三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)推理得出。因此可將教材原有的例題加以改編，為學(xué)生進行類比推理搭建腳手架。

教學(xué)片段三：

師：同學(xué)們，從圖中（如圖4）你們能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？根據(jù)這些信息，你們能回答下面幾個問題嗎？

圖4 三位數(shù)乘兩位數(shù)改編例題

生：236×6、48×16、128×16。

師：你能用豎式算一算前兩道算式嗎？

（學(xué)生獨立完成，組織交流）

師：48×16每一步算的是什么？

生：先算6×48=288,6幢多層樓的住戶數(shù)；再算10×48=480，10幢 多 層 樓 的 住 戶 數(shù)；最 后 算288+480=768,16幢多層樓的住戶數(shù)。

師：48乘十位上的1，得數(shù)的末位為什么要寫在十位上？

生：用十位上的1乘48，得到48個十，所以末位和十位對齊。

師：怎樣計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)？

生：分別用第二個乘數(shù)個位、十位上的數(shù)去乘第一個乘數(shù)，再把乘得的積加起來。

師：估算一下，128×16的結(jié)果大約是多少呢？

生1：把128看成100，把16看成10,100×10等于1000，得數(shù)比1000大。

生2：用100×20=2000，得數(shù)在2000左右。

師：128×16具體等于多少呢？請你獨立思考，想辦法算出結(jié)果。

（學(xué)生獨立嘗試，組織匯報）

師：128×16每一步表示什么意思？

生：用16個位上的6乘128，得到768，是6幢的住戶；再用16十位上的10乘128，得到1280，是10幢的住戶；最后將得數(shù)相加就是16幢的住戶。

師：用乘數(shù)16十位上的1和128相乘，得數(shù)的末位為什么要和十位對齊？

生：因為這里的128表示128個十，所以要和十位對齊。

師：這兩種方法之間有什么聯(lián)系嗎？

生：算式的計算過程就體現(xiàn)在了乘法豎式的結(jié)構(gòu)中。

師：回顧我們計算128×16的過程，你覺得怎樣計算三位數(shù)乘兩位數(shù)？

生：分別用第二個乘數(shù)個位、十位上的數(shù)去乘第一個乘數(shù)，再把乘得的積加起來。

師：觀察比較這三道豎式（如圖5），它們在計算過程中有什么相同的地方？

圖5 乘法豎式進行類比

生：都是先用第二個乘數(shù)個位上的數(shù)乘第一個乘數(shù)。

師：得到的結(jié)果都和哪一位對齊？表示什么？

生：用個位上的數(shù)去乘第一個乘數(shù)，得到的積的末位和個位對齊，表示幾個一；再用十位上的數(shù)去乘，得到的積的末位和十位對齊，表示幾個十；最后把幾個一和幾個十加起來。

師：也就是把計數(shù)單位進行累加。

四、我們的經(jīng)驗

通過實踐，我們總結(jié)出數(shù)學(xué)計算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生深刻性思維的三個基本步驟。

課前設(shè)計：教師在課前進行教學(xué)設(shè)計時，理清兩條線，以培養(yǎng)知識技能為明線，以滲透思想方法為暗線，確定本節(jié)課滲透的主要思想方法（數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比推理等），尋找新舊知識的不同點，通過前測明確重點和難點，設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，梳理關(guān)鍵性問題。

課中實施：采取雙主體策略（教師問題引導(dǎo)、學(xué)生自主探究），引導(dǎo)學(xué)生尋找新舊知識的不同點，把新知轉(zhuǎn)化為舊知，選擇合適的思想方法解決問題，然后概括、歸納出計算法則，最后進行總結(jié)、反思、提煉。

課后反思：教師總結(jié)怎么問到關(guān)鍵處、怎么有效地滲透思想方法突破難點、突出重點，培養(yǎng)學(xué)生的深刻性思維，總結(jié)經(jīng)驗。對學(xué)生進行全面評價，診斷學(xué)生思維深刻性的發(fā)展情況。如圖5。

圖5 計算教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生深刻性思維的“三環(huán)節(jié)雙主體策略”框架圖

我們提煉出數(shù)學(xué)計算教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生深刻性思維的具體策略，通過“三環(huán)節(jié)雙主體策略”，教師回歸教材，充分挖掘教材的知識內(nèi)涵；回歸課堂，將數(shù)學(xué)思想方法蘊含其中，給予學(xué)生充分的時間和空間進行探究，進而反思總結(jié)，把探究習(xí)得的方法內(nèi)化為能力。在這個過程中，要有效地提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和問題思考的深刻性，而自主學(xué)習(xí)能力也是提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵因素。在當下“雙減”政策的背景下，學(xué)生具備自主學(xué)習(xí)能力更是教師減負、增效、提質(zhì)的根本路徑。