盾構開挖引起鄰近樁基水平位移的簡化計算方法

馮國輝，竇炳珺，黃展軍，丁士龍，侯世磊，胡安峰，徐長節，7?

（1.浙江大學濱海和城市巖土工程研究中心，浙江杭州 310058；2.浙江大學平衡建筑研究中心，浙江杭州 310028；3.華東交通大學江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，江西南昌 330013；4.浙江省大成建設集團有限公司，浙江杭州 310012；5.南昌軌道交通集團有限公司，江西南昌 330013；6.中鐵十四局集團第四工程有限公司，山東濟南 250002；7.江西省地下空間技術開發工程研究中心，江西南昌 330013）

在城市地鐵隧道的建設中，盾構開挖會引起周邊土體的應力應變場發生改變，使得鄰近建筑物發生相應的變形響應，這就很有可能對鄰近地下樁基的正常工作產生較大的影響.如何準確地預測盾構開挖對鄰近樁基受力變形的影響已成為眾多學者研究的焦點.

目前研究樁土相互作用的方法有：有限元模擬法［1-2］、室內實驗法［3-4］、實測分析法［5］和理論解析法，相比于前面三種方法，理論解析法具有簡單實用、耗能耗時小的特性，可快速初步預測樁基在鄰近隧道開挖卸載作用下的變形響應.理論解析方法大部分基于兩階段分析法：第一階段解析獲得盾構隧道開挖引起樁基軸線處自由土體位移；第二階段將軸線處自由土體位移轉化成附加應力施加在樁基上，再將樁體擱置在相應的地基模型上建立變形控制方程，最后求解控制方程得到樁基應力應變解答.第一階段，Loganathan 等［6］提出能準確估算盾構開挖引起周邊土體位移的三維計算公式，因其良好的計算精度被廣泛應用于理論解析中.李早等［7］、熊巨華等［8］用Winkler 地基模型來模擬樁-土相互作用，結合樁基兩端約束情況采用有限差分法解析獲得樁基變形響應應答；梁發云等［9］和可文海等［10］將樁基簡化成Euler-Bernoulli 梁擱置在Winkler 地基模型上，分別獲得盾構開挖引起鄰近被動樁的水平位移和豎向位移解析解；上官士青等［11］從實際出發，考慮樁-土水平位移不一致的可能性，提出了樁基水平方向雙位移剛度矩陣，從而獲得樁基變形半解析解.由于Winkler 地基模型未能考慮土體的剪切變形因素，致使在模擬樁土相互作用時其計算結果存在較大誤差.為了克服這一缺點，1954 年Pasternak［12］提出了考慮土體剪切變形的Pasternak 地基模型，由于Pasternak 地基模型的精確度較高而被廣泛地應用于地下工程研究中［13-15］.梁發云等［16］利用Pasternak 地基模型模擬樁土相互作用，解析獲得受荷被動樁水平位移及其內力；Zhang等［17］考慮樁-土三維效應，提出了三維空間效應下樁土相互作用差分解，并通過有限元和實測數據驗證了解析解的正確性.為更加準確地預測盾構開挖對鄰近樁基的影響，Kerr［18］提出了三參數Kerr 地基模型，Zhang 等［19］、馮國輝等［20］利用Kerr 地基模型模擬樁土相互作用，結合樁基兩端約束情況，獲得樁基水平位移差分解，并指出相比于Winkler 和Pasternak 地基模型，Kerr 地基模型更具有優越性.

綜上所述，大部分理論在研究樁土相互作用時都是基于傳統的Winkler 和Pasternak 地基模型，而Pasternak 地基模型的地基參數取值較為隨意，其土體剪切層參數及其地基反力系數往往憑借學者的經驗取值，缺乏理論依據，而Vlasov 地基模型［21］能夠在理論上解決Pasternak 地基模型的缺點，使得其在預測土與結構相互作用中更為精確［22-24］.因此本文在前人研究的基礎上，繼續沿用兩階段法分析樁土相互作用，第一階段基于Loganathan 等［6］提出的修正解析公式獲得盾構開挖引起樁基軸線處水平附加應力，第二階段將樁基簡化成Euler-Bernoulli梁擱置在Vlasov 地基模型上，建立樁基水平方向上的控制方程，結合樁基兩端約束情況獲得樁基變形響應解答.隨后考慮群樁之間土體遮攔效應解得盾構開挖引起的鄰近群樁水平位移差分解.最后與已有的2 個工程實測數據對比，驗證了本文方法的優越性，隨后進一步分析了地層損失率、樁隧相對位置、隧道埋深變化對樁基水平位移的影響.

1 理論推導

1.1 盾構開挖引起周圍土體自由場水平位移

1998 年Loganathan 等［6］就軟土地區土體變形特性提出盾構開挖引起周圍土體自由位移場公式，其表達式為：

式中：ε為地層損失率；R為隧道半徑；x為樁基截面中心點到隧道軸線水平距離；z為樁身某點距離地面的豎向距離；H為隧道軸線埋深；ν為均勻土體的泊松比.

1.2 盾構開挖對鄰近單樁基樁水平位移差分解

傳統的Winkler 地基模型為單參數模型，僅考慮土與結構之間的彈簧作用，忽略了土體剪切變形的作用.為了克服這一缺點，Vlasov 地基模型在Winkler地基模型的基礎上增加了一個剪切變形參數，能更準確預測地基變形.圖1 所示為隧道與既有基樁相互作用簡化計算模型，考慮到樁土相互作用，擬采用Vlasov地基模型，現做出以下假設：

1）假設單樁基樁為一根直徑為D，剛度為EI的縱向圓形截面Euler-Bernoulli梁；

2）地基模型由k、2t兩個參數組成，其中剪切層不產生壓縮變形；

3）單樁基樁為長為L的彈塑性連續變形體，且與土體緊密接觸，其變形和土體變形協調一致；

4）不考慮基樁與土體之間的摩擦.

根據材料力學知識知，基樁水平位移w（z）滿足的曲率方程：

式中：w（z）表示基樁水平位移；M表示單元體所受的彎矩；EI表示基樁水平向抗彎剛度.

圖2 單元受力分析Fig.2 Force analysis of element

其單元體平衡方程為：

靜力平衡

彎矩平衡

式中：Q和M分別表示單元體所受的剪力和彎矩；dz表示單元體寬度；dQ和dM分別表示單元體沿軸線方向的剪力增量和彎矩增量；q（z）表示樁軸線處受到的水平附加應力；D為樁基直徑.

而對于Vlasov 模型來說，其地基反力p（z）可表達為：

式中：w表示基樁水平向位移；k表示樁側土體彈簧剛度；2t表示土體剪切剛度.

綜合式（2）～（5），樁基水平位移的控制方程為：

式中：q（z）表示樁軸線處受到的水平附加應力，可表示為：

式中：U（z）可由式（1）計算，由Vlasov 地基模型可知，土體彈簧剛度k和土體剪切剛度2t可取為：

式中：Es為均質土體的彈性模量；ν為土體泊松比；h=h(z)為指向z方向變化的函數，大多數情況下取為線性或指數變化的函數，本文采用線性變化的函數形式，Hs取2.5倍樁基直徑.

因式（6）為四階微分方程，較難得到其解析解，可采用差分法求解方程獲得其數值解，將既有基樁簡化成無數份單元，如圖3所示，l代表差分節點單元長度，其值為l=L/n，L為樁體長度，基樁離散有n+4個節點單元（首尾共有4個虛擬單元）.

因此，可將式（6）差分，結果為：

考慮到基樁兩端均為自由的摩擦樁時［12，16，19］，單樁兩端的剪力和彎矩均為0，即

那么式（9）可化為：

式中：Kc、Ke和Gt分別代表梁體的單元剛度矩陣、地基的剛度矩陣和地基土體剪切剛度矩陣；w和U分別代表基樁水平位移和自由水平位移場列向量.

式（11）中的剛度矩陣分別為：

由于本文計算方法和Pasternak地基模型計算方法一致，可參考文獻［14］中的解析方法獲得樁頂固定和樁底自由時隧道開挖引起鄰近樁基變形響應.至此，已獲得單樁基樁在鄰近隧道開挖影響下的水平位移w半解析解.

1.3 盾構開挖對鄰近群樁水平位移分析

在盾構開挖引起樁基發生變形時，樁身處的土體位移會因相鄰樁基的阻礙作用而減小，這種現象稱為樁基的遮攔效應.實際樁基附加水平位移理應是土體自由水平位移和鄰近樁基遮蔽效應產生的水平位移之和，其遮蔽位移和土體自由位移方向相反.

圖4 所示為盾構開挖掘進過程中引起鄰近群樁水平向位移簡化計算模型圖.只考慮單樁的情況下，盾構開挖引起樁1 軸線所在處土體自由水平位移為U1(z)，而樁1軸線處的實際水平位移為S1(z)，那么樁1軸線處土體產生的遮蔽位移為

圖4 隧道與群樁位置圖Fig.4 Location diagram of tunnel and pile group

式中：ΔS1(z)表示盾構開挖在樁1軸線處產生的土體遮蔽位移.

那么樁1 軸線處遮蔽效應引起樁2 軸線處土體位移U21（z）為

式中：λ為水平向土體傳遞系數.

式中：U2（z）為盾構開挖在單樁2 軸線處產生的土體自由水平位移.

此時在盾構開挖與樁1 的共同作用下引起樁2軸線處土體實際自由水平位移為：

2 算例分析

2.1 既有文獻單樁樁基實測驗證

以既有文獻中軟土地區在建地鐵隧道側穿既有鄰近橋梁基樁工程為例［20］，其簡化計算圖如圖5所示.

圖5 隧道與樁基的位置示意圖Fig.5 Location diagram of tunnel and pile foundation

工程概況：樁長15 m，基樁為鉆孔灌注樁，其模量為30 GPa，基樁為直徑1 m 的圓形截面，隧道半徑4.90 m，隧道軸線埋深20.18 m，隧道軸線到樁基軸線處水平距離4.96 m，根據杭州地區盾構情況，地層損失取值為1%，根據勘測報告可知，土體泊松比為0.27.根據文獻［20］，對于不同土層的土體彈性模量，可采取加權平均法算得土體彈性模量為22 MPa.基于本文研究情況，將橋梁基樁簡化成Euler-Bernoulli梁擱置在Vlasov地基模型上，根據文獻［20］的假定可知本工程單樁樁頂和樁端均為自由端，本算例分別使用3 種不同的計算方法獲得樁基水平位移與實測數據對比如圖6所示.

圖6 樁基計算水平位移與實測數據曲線Fig.6 Horizontal displacement calculation and measured datas curve of pile foundation

由圖6 可看出，相比于Winkler 和Pasternak 差分解，本文方法的計算結果更加接近實測數據，這是由于Winkler 地基模型并沒有考慮土體剪切對樁基水平位移的影響，Pasternak 地基模型在選取地基模型參數上不夠明確，而本文方法所選取的土體剪切剛度參數更明確，得到的基樁水平變形也更加符合實際.然而本文方法及其他方法的計算結果仍與實測數據有所差別，作者認為這是由于地質情況復雜，其地基參數選取時無法避免誤差，但總體來說，本文方法計算結果較為貼近實測數據，也證明了本文方法的合理性.

2.2 既有文獻群樁算例比較

為驗證本文方法對計算群樁水平位移的有效性，以Loganathan 等［6］三維邊界元GEPAN 模擬盾構開挖引起鄰近2×2 群樁水平位移結果與本文解結果進行驗證.簡化計算圖如圖7 所示，其假定土體為各向同性彈性均勻體，土體彈性模量為24 MPa，泊松比0.5，樁基模量為30 GPa，樁底插入地表以下深度為25 m，樁基直徑為0.8 m，隧道開挖半徑3 m，隧道軸線距離地表埋深20 m，地層損失率1%.前排樁與隧道軸線水平距離x1=4.5 m，后排樁與隧道軸線水平距離x2=6.9 m，兩樁軸線間距為2.4 m.

圖7 隧道與群樁簡化示意圖Fig.7 Simplified diagram of tunnel and pile group

將群樁樁基簡化成Euler-Bernoulli 梁放置在3種不同地基模型上，分別得到Winkler和Pasternak 地基模型差分解與本文方法后排樁水平位移計算結果如圖8 所示.根據文獻［17］的建議，群樁樁基兩端均簡化為自由端，其中Winkler與Pasternak地基模型差分結果來自文獻［17］.從圖8 可知，三維邊界元GEPAN 與三種地基模型計算結果呈現的位移變化趨勢基本上是一致的，相比于Winkler和Pasternak地基模型的差分結果，本文方法的計算結果更加貼近于三維邊界元程序GEPAN 計算數據，從而驗證了本文方法的可靠性.同時進一步說明本文差分解的優越性.

圖8 后排樁水平位移Fig.8 Horizontal displacement of back row pile

3 參數分析

為了研究土體損失率、樁隧相對位置、隧道埋深對樁基受力變形的影響，以Loganathan 等［6］三維邊界元GEPAN 模擬盾構開挖對鄰近2×2 群樁影響的工程為例，群樁樁基兩端均為自由端.在研究某一參數對樁土相互作用的影響時，其余參數不變.

3.1 不同地層損失率對樁基水平位移的影響

為研究不同地層損失率下盾構開挖對鄰近群樁水平位移的影響，取5 組不同地層損失率數據進行參數分析，分別為ε=0.5%、1.0%、1.5%、2.0%、2.5%，采用本文方法計算后排樁基水平位移.

圖9 所示為不同地層損失情況下盾構開挖引起的鄰近群樁（后樁）水平位移曲線圖.由圖9 可看出，在地層損失率從0.5%增至2.5%的過程中，后樁水平變形一直保持增大，每增加0.5%，其增幅基本上保持恒定.這是因為等比例增大的地層損失率，會導致樁基軸線處土體自由位移場等比例增大，此時在相同增大的附加位移場作用下，樁基受到的土體附加荷載也會等比例增大，最后致使樁基產生的實際水平位移也在等比例增大.

圖9 不同地層損失率下的樁基水平位移Fig.9 Horizontal displacement of pile with different ground loss ratios

3.2 不同樁隧相對位置對樁基水平位移的影響

為研究樁基受力變形與樁隧相對位置之間的關系，取5 組不同樁隧距離x2進行分析，分別為x2=6 m、7 m、8 m、9 m、10 m，并采用本文方法計算后排樁基水平位移.

圖10所示為不同x2值下盾構開挖引起的鄰近群樁（后樁）水平位移曲線圖.由圖10 可以看出，在x2的值從6 m 增至10 m 的過程中，后樁最大水平位移逐漸減小，但其減小速率是不斷變緩的.這是由于一方面隨著后排樁越來越遠離開挖隧道時，隧道對后排樁的影響必定是逐漸減小的，另一方面，隨著后排樁遠離前排樁，前排樁對后排樁的遮蔽效應逐漸減弱，這樣會導致后排水平位移減小速率逐漸變緩.

圖10 不同x2值下的樁基水平位移Fig.10 Horizontal displacement of pile with different values of x2

3.3 不同隧道埋深對樁基水平位移的影響

為研究樁基受力變形與隧道埋深之間的關系，假定隧道軸線埋深小于既有基樁的埋置深度，此時取5 組不同隧道埋深H進行分析，分別為H=16 m、17 m、18 m、19 m、20 m，并采用本文方法計算后排樁基水平位移.

圖11 所示為不同隧道埋深下盾構開挖引起的鄰近群樁（后樁）水平位移曲線圖.由圖11 可看出，在隧道埋深從16 m 增至20 m 的過程中，后樁最大水平位移緩慢增大，且出現最大水平位移的位置深度是在不斷增大的.這是由于，隨著隧道埋深增加，隧道開挖引起樁基軸線處出現最大自由位移場的位置也會增大，故樁基出現最大實際水平位移的位置也在增加.

圖11 不同隧道埋深值下的樁基水平位移Fig.11 Horizontal displacement of pile with different depths of tunnel

4 結論

1）基于兩階段分析法獲得盾構開挖引起鄰近樁基水平位移數值解，第一階段利用Loganathan 公式解得樁基軸線處土體自由水平位移場，第二階段將樁基簡化成Euler-Bernoulli 梁擱置在Vlasov 地基模型上，結合樁基兩端邊界條件采用有限差分法獲得樁基變形解答響應.

2）通過收集兩個既有工程實測數據以及既有地基模型理論計算結果進行對比，進一步說明相比于傳統的Winkler和Pasternak 地基模型差分解結果，本文方法計算結果更貼近實測數據，更具有優越性.

3）盾構開挖引起鄰近群樁水平位移的參數分析表明，地層損失率及隧道埋深的增大均會引起群樁水平位移的增大，但隧道埋深的增大也會引起樁身最大水平位移的位置下移；樁隧之間距離的增大會引起樁基水平位移的減小，其減小速率逐漸變緩.