雙層襯砌輸水盾構隧道魯棒性設計方法

華雨杉，黃宏偉，陳坤，張冬梅，張東明?

（1.同濟大學地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟大學巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092）

近些年盾構隧道逐漸被應用于水資源輸送中，從技術角度上看，輸水隧道由于承擔內部水體荷載的不同，在結構受力變形等方面都有所不同.針對雙層襯砌輸水盾構隧道的橫斷面設計方法，目前應用較多的仍是確定性設計方法［1］，難以有效考慮巖土參數不確定性對結構安全性能的影響.魯棒性設計的概念由Taguchi［2］針對質量控制系統提出，主要解決的問題是通過調整機器的設計參數使生產出來的產品質量更加穩定，此后在包括巖土工程在內的多個領域得到推廣和發展.巖土工程魯棒性設計方法（Robust Geotechnical Design）最早由Juang 等［3］提出，并基于可靠度理論分別對淺基礎和砂土地層中的鉆孔灌注樁進行了魯棒性設計，提出了完整的魯棒性設計流程.黃宏偉等［4］采用基于多目標優化的魯棒性設計和基于結構失效概率置信水平兩種方法對重力式擋土墻進行了魯棒性設計.Gong等［5-6］采用模糊集理論模擬地層參數的變異性，針對盾構隧道橫斷面進行了魯棒性設計，同時提出了采用SNR 表征結構魯棒性的新的評價方法.Juang 等［7］采用基于墻體變形的系統響應標準差表征設計魯棒性，對基坑結構進行魯棒性設計.Gong 等［8］通過一維隨機場模擬縱向地層變異性，針對盾構隧道縱向設計提出了改進魯棒性設計方法.目前，針對特定對象的魯棒性設計不斷被提出，Zhang 等［9］針對盾構隧道的鋼板加固進行了優化設計，通過對魯棒性及成本的優化實現了最優鋼板厚度及寬度的獲取.王瑞川［10］針對大直徑盾構隧道的橫斷面進行了魯棒性設計，實現了截面厚度、接頭螺栓直徑等參數的優化.

本文依托珠江三角洲水資源配置工程南沙支線段隧道，結合雙層襯砌輸水盾構隧道修建過程，提出一套針對雙層襯砌輸水盾構隧道的魯棒性設計流程，通過引入約束多目標算法［11］進行優化求解，獲得完整的Pareto 前沿，實現了滿足結構安全性要求下，對隧道建設成本及結構魯棒性的權衡.

1 雙層襯砌輸水盾構隧道魯棒性設計

1.1 盾構隧道設計方法

盾構隧道確定性設計方法［12］多是基于慣用法及修正慣用法、多鉸圓環法、梁彈簧法和精細化有限元模型［13-14］，根據工程經驗確定大致的設計參數取值，通過考慮荷載、材料等參數的離散性和不確定性確定容許應力或安全系數，采用容許應力法或極限狀態設計方法進行結構安全性的校核，較少考慮地層變異性對結構力學性能的影響.

為了在設計中能充分考慮地層參數的變異性，基于失效概率的可靠度設計方法被逐漸提出并發展.該方法不采用確定的地層參數，而是采用概率模型表征地層參數不確定性，但地層參數的具體分布形式、均值和方差取值都有很大變異性，難以選擇合理的概率模型.

魯棒性設計方法不僅考慮地層參數的變異性，而且考慮參數估計的準確性問題.結構的設計魯棒性作為一種對不可控參數敏感性的定量指標，用來衡量不同設計參數間的相對大小.對于結構的魯棒性，則可做出如下定義：如圖1 所示，當外部參數的變異性如圖中橫坐標所示變化時，若結構的響應能具有像實線曲線（系統1）一樣的變異性，則相較于虛線曲線（系統2）而言，其變化波動相對較小，即其穩定及抵抗外部變異性的能力較強，也就是魯棒性能越高.在結構的設計中難以將其像安全系數、結構失效概率一樣采用限值約束，因此，在魯棒性設計方法中，單一尋求魯棒性能的最優解將較難控制結構的建設成本.若將成本也作為設計優化的目標，從傳統的單目標優化問題變成多目標優化問題，則可兼顧設計的經濟性和魯棒性.對于此類問題一般沒有確定的最優解，即成本和魯棒性均最優的設計參數，而是存在最優解集，可根據不同要求選擇更為偏好的設計參數.與確定性設計方法和可靠度設計方法相比，魯棒性設計方法可以更好地反映巖土工程抵抗外部設計參數變異性的能力，同時能夠有效量化設計成本，提出設計成本同魯棒性指標之間的權衡關系，為設計者提供參考.

圖1 魯棒性示意圖Fig.1 Schematic diagram of robustness

1.2 魯棒性設計流程

在魯棒性設計方法中，要考慮不可控參數的變異性，并依據一定的數學概率模型方法，使可控參數的設計中體現出對不可控參數的抵抗能力，由此，依據工程背景制定一套適用于雙層襯砌輸水盾構隧道的魯棒性設計方法，計算流程（圖2）如下：

圖2 雙層襯砌輸水盾構隧道魯棒性設計流程圖Fig.2 Flow chart of robust design of water conveyance shield tunnel with double lining

①確定可控設計參數及其取值范圍.從盾構隧道力學性能出發，盾構隧道外襯砌的管片拼裝結構、內外襯砌連接及內襯砌的剛度強度等共同決定了盾構隧道整體的力學性能.管片襯砌結構運營期容易出現各種病害，而管片的力學性能取決于管片厚度、混凝土級別、配筋率等［15］，其中管片尺寸（主要是管片厚度）和配筋率仍有較大的優化空間，同時接頭螺栓直徑會對接頭處的剛度及結構整體性產生很大影響.因此將內外襯砌厚度（hin，hout）、內外襯砌配筋率（ρin，ρout）及橫向接頭螺栓直徑（Db）作為待優化的設計參數.

②根據地質勘探報告獲取地層參數，并確定其概率分布模型.地層的彈性模量Esoil、地面超載q0及地下水位hw作為地層的不確定參數，其中，彈性模量考慮為隨機場，采用K-L 展開方法［16］進行隨機場的離散，而地面超載及地下水位均視為隨機變量，采用蒙特卡洛模擬求解隧道力學響應.

③求解結構力學性能.對于每一個確定的設計參數組合，均通過梁彈簧模型求解結構的內力、變形等力學性能指標，求解過程采用蒙特卡洛模擬達到收斂.

④判斷結構安全性.基于極限狀態設計原則，針對正常使用極限狀態及承載力極限狀態分別得到其極限承載力，結合實際計算結果得到相應的安全系數.

⑤求解魯棒性指標及材料成本.魯棒性指標選用安全系數的COV，材料成本為與所要優化參數相關的所有材料成本，包括內外襯砌管片混凝土、內外管片配筋及橫向接頭螺栓所需材料費用.

⑥以魯棒性指標及成本指標為優化目標，結構安全性為約束條件，采用約束多目標優化算法進行優化計算，迭代收斂后得到多目標優化的最優解集，即Pareto前沿.

⑦根據所得Pareto 前沿進行決策分析，通過在Pareto 前沿上尋找Knee Point 獲得最優設計參數組合或根據設計偏好選擇理想設計參數.

1.3 雙層襯砌梁彈簧模型

梁彈簧模型本質上為有限元的計算方法，因此其核心內容在于總剛度矩陣K及荷載列向量f的獲取，其中荷載列向量包含了結構自重及所有受到的水平及豎向荷載.襯砌單元采用兩節點梁單元進行模擬，土體對隧道的抗力作用采用徑向和切向的彈簧模擬，對于接頭處的不連續性引入三個方向的彈簧單元模擬，接頭位置處相鄰管片的節點為獨立節點，如圖3 所示，彈簧的剛度系數采用文獻建議的取值［17］.

圖3 接頭單元Fig.3 Joint element

雙層襯砌結構相較于一般單層襯砌盾構隧道結構形式發生變化，增加了內襯砌承力結構及內部水體.由于內部水體自重相較于內水壓力影響很小，因此對于結構內部水體的作用主要考慮內水壓力作用.采用雙層襯砌梁彈簧模型進行計算，如圖4（a）所示.層與層之間的接觸并非完全連續［18］.內外襯砌之間的相互作用采用法向和切向彈簧模擬，如圖4（b）所示，法向彈簧剛度kr、切向彈簧剛度kθ的取值方法可參考相關文獻［19-21］.

圖4 雙層襯砌接觸面單元Fig.4 Double lining contact element

內水壓荷載均勻垂直作用在內襯單元節點上，分解為豎直方向及水平方向的兩個均布荷載，如圖5所示，當其內水壓為pw時，其等效節點力可表示為：

圖5 等效內壓荷載Fig.5 Equivalent internal pressure load

得到外壓及內壓的荷載矩陣Fout及Fin后，按式（2）將兩者疊加即可得到復合襯砌作用下整體單元等效結點荷載向量：

1.4 極限狀態定義

雙層襯砌輸水盾構隧道與一般的隧道受力有所不同，一方面，雙層襯砌的結構形式使結構的建設流程，與普通隧道存在差異；另一方面，由于在使用階段需要承擔內水壓力，因此結構的受力狀態隨修建階段也會發生變化.總體來看可將輸水隧道的修筑及受力分為三個階段，如圖6所示.

圖6 輸水盾構隧道修建階段Fig.6 Construction stage of water conveyance shield tunnel

第一階段，處于開挖修筑外襯階段，此時未修筑內襯，無內水壓力作用，由外襯承擔外部水土壓力；第二階段，拼裝式外襯施工完成，施作內襯，由內外襯砌共同承擔外部水土荷載；第三階段，隧道投入使用，除了外部水土荷載作用，內水壓力加入將影響結構受力形式.其中，第二階段并未加入新的荷載，并且結構整體的剛度強度均因內襯的加入而有了很大的提高，因此該階段相較于第一階段的安全性有較大提升，無須進行重復的安全性檢驗.綜上，對于結構安全性的檢驗將包含兩個階段，分別為外襯砌單獨承擔外部荷載階段及內外襯砌共同承擔內外壓階段.

兩個階段所需關注的重點存在差異，對于承載力極限狀態，在第一階段與一般的盾構隧道無明顯差異，僅需驗證外襯砌受力，通過壓彎構件的N-M曲線定義結構的安全系數即可，如式（3）所示；但在第三階段，在施加內水壓力后，此時除了外部水土壓力荷載外，還加入了新的內水壓荷載，內水壓的變化將對結構的受力形式產生很大影響［22］.當內水壓力較小時，無法超過外部荷載的整體壓力作用，襯砌的橫截面仍表現為受壓彎作用；當內水壓力不斷增大時，會逐漸抵消直到超過外部荷載的整體壓力作用，使得結構在截面上由壓彎受力狀態變為拉彎作用.混凝土抗壓不抗拉的特性會使得在第三階段出現較大的安全性問題，因此在驗證內襯及外襯的內力時，需要對正截面受力狀態做出判斷，再依據其受力狀態選擇對應截面承載力計算方式，最后判斷受力是否安全.根據偏心受壓、受拉狀態，按式（4）定義安全系數.

式中：M、N分別為截面彎矩和軸力；Mtu、Ntu分別為截面的極限承載狀態下的彎矩和軸力。

對于正常使用極限狀態，在第一階段，其使用性能可通過收斂變形判斷；在第三階段，由于內襯的加入顯著提高了結構的等效截面剛度，僅依靠收斂變形無法判斷結構是否安全，同時輸水隧道的設計參數選擇也多由裂縫控制，因此驗算最大裂縫寬度以保證輸水隧道的正常使用.據此定義收斂變形驗算和最大裂縫寬度驗算的安全系數分別如式（5）和式（6）所示.

式中：Δx、Δy分別為水平及豎向的收斂變形.根據相關規范［12］，盾構隧道的最大收斂變形Δu必須控制在0.4%D～0.6%D（D為隧洞外徑）范圍.

式中：ωlim為最大裂縫寬度限值；ωmax為襯砌結構的最大裂縫寬度.最大裂縫寬度計算及限值依據相關規范［23-24］獲取.

對各設計參數組合，基于梁彈簧模型，采用蒙特卡洛模擬得到隧道響應，可以計算獲得Fs的均值及標準差，安全系數Fs一般取對數正態分布，對第一、第三階段的安全系數頻率分布直方圖采用對數正態分布擬合結果較好，如圖7 所示，因此可假設Fs服從對數正態分布.可靠度指標β與安全系數Fs的統計參數之間的關系可表示為式（7）.

圖7 安全系數擬合結果Fig.7 Fitting results of safety factor

可靠度指標是衡量結構是否滿足安全性要求的重要指標，每個設計參數組合均求得一個對應的可靠度指標β，但當β過小時無法滿足安全性要求.這也是優化最重要的約束條件，因此需要確定目標可靠度指標βT，確保結構的安全性滿足要求，如式（8）所示.

1.5 優化目標

1.5.1 魯棒性指標

由于設計對象為輸水盾構隧道橫斷面，主要不可控變異來源為外部土體參數，因此選擇基于外襯的安全系數COV 作為魯棒性指標，如式（9）所示，當COV 越小時，魯棒性越好.通過代入1.4 節中兩種極限狀態下的安全系數Fs1、Fs2可分別求得對應魯棒性指標COVFs1、COVFs2，分別記為R1、R2.

1.5.2 材料成本

根據所涉及的優化參數，建立成本函數如式（10）所示.

式中：cc1、cc2為每立方米的內、外襯混凝土單價；Vc1、Vc2表示內、外襯混凝土用量；cs1、cs2表示單位質量的內、外襯鋼筋單價；ms1、ms2表示內、外襯鋼筋用量；cb表示單位質量的螺栓單價；mb表示螺栓用量.

2 工程案例

2.1 工程算例

南沙支線盾構隧道外襯砌采用預制鋼筋混凝土管片，外徑為4.1 m，內徑為3.5 m，襯砌管片厚0.3 m，環寬1.2 m，襯砌管片通過螺栓連接.外襯采用鋼筋混凝土襯砌結構，厚度0.30 m，混凝土強度等級采用C55；內襯采用鋼筋混凝土襯砌，厚0.35 m，混凝土強度等級采用C35，隧洞輸水內徑為2.8 m.

選取各待優化設計參數的上下界如表1 所示.為得到最優設計，各參數均考慮為連續性變量，最終再根據襯砌厚度的模數限制對計算結果進行進一步的修正.

表1 設計參數限值Tab.1 Design parameter limits

根據相關地質勘察報告，選定相應的不可控參數取值，如表2所示.

表2 不可控參數概率模型Tab.2 Uncontrollable parametric probabilistic model

結合規范［25-26］并參考相關文獻［9］，選取承載力極限狀態下的可靠度指標βT1=4.2，正常使用極限狀態下的可靠度指標βT2=2.7，對應的失效概率分別為Pf1=1.335×10-5和Pf2=0.35×10-3.

根據前述方法確定可控參數、不可控參數、極限狀態及約束、魯棒性指標及成本指標后，所要優化的問題可簡述如表3所示.

表3 優化設計簡述Tab.3 Brief introduction to optimal design

2.2 敏感度分析

為了探究魯棒性指標隨各設計參數的變化規律，分別繪制R1、R2隨外襯厚度及外襯配筋率的變化曲線，如圖8所示.

由圖8（a）和圖8（b）可看出，R1及R2隨外襯厚度的增大迅速降低，說明厚度對結構的魯棒性能影響很大，對結構抵抗外部參數變異性的能力有很大的影響；從圖8（c）和圖8（d）可看出，配筋率的影響相對較小，但相似的是隨著配筋率的升高，結構的魯棒性也在不斷提高.

圖8 魯棒性指標的敏感性分析Fig.8 Sensitivity analysis of robustness index

在本文所述的魯棒性評價中采用了基于外襯的COV 指標，為了驗證是否合理，對內襯安全系數Fs1的變異性隨設計參數的變化進行分析.圖9 顯示了隨著內襯厚度及配筋率的變化，內襯Fs1的COV 的變化趨勢，可以發現，同圖8 的結論相似，內襯的Fs1變異性同外襯有相似的變化規律，因此考慮計算的復雜性，采用基于外襯的COV 指標進行魯棒性設計是合理可行的.

圖9 內襯Fs1-COV變化規律Fig.9 Change law of lining Fs1-COV

2.3 優化結果

采用改進的約束多目標算法NSGA-Ⅱ優化算法求解［10］，取種群個數pop=200，迭代次數gen=200，分別提取第0次、第20次、第50次及最終（第200次）的計算結果，如圖10所示.

圖10 三維優化圖示Fig.10 3D optimization diagram

獲取最終的計算結果，并獲得Knee Point，如圖11 所示.從圖11 中可以看出，成本和兩個魯棒性指標之間總體上是“此消彼長”的關系，這也正反映了多目標優化問題的特點.同時，從圖中也可以看出，兩個魯棒性指標之間并非相互制約，而是呈現一定的正相關關系.

圖11 三維Pareto前沿面及Knee PointFig.11 3D Pareto front surface and Knee Point

三維優化盡管具有均衡三個指標相關關系的優勢，但是三維Pareto 前沿對于設計人員來說選用并不方便，三維空間對于指標之間的關系展現也不夠直觀簡潔.將圖11 的三維Pareto 前沿向f1-f2面上投影，如圖12（b）所示，可以發現兩者結果基本相同.進一步將三維Pareto 前沿分別向f1-f3面、f2-f3面投影，如圖12（c）和12（d）所示，可以發現將三維投影結果取最優部分即對應二維問題的解，說明三維問題實際上包含了上述三個特殊二維問題的解.考慮到兩個魯棒性指標R1和R2之間的一致關系，將問題簡化為C-R（成本-魯棒性）的二維優化具有更高的工程適用性.

圖12 三維投影與對應二維優化結果對比Fig.12 Comparison of 3D projection and corresponding 2D optimization results

考慮兩種極限狀態的敏感性在設計中不存在先后關系，因此取R1和R2的權重相等.據此取R如式（11）所示.新的魯棒性指標綜合考慮了盾構隧道兩種極限狀態下的魯棒性，與成本C形成二維優化問題，根據前述研究結論，將三維曲線向對應平面投影即可得到優化結果，如圖13所示.

圖13 Pareto前沿及最優點Fig.13 Pareto front and optimal design point

在圖13 中標出當前初步設計參數，同時獲得Knee Point，可以發現實際設計點并未落在Pareto 前沿上，說明實際設計仍有可優化的空間，進一步可獲取等成本最優解及等魯棒性最優解，四個點的設計參數及R、C取值如表4所示.

表4 各設計點比較Tab.4 Comparison of design points

2.4 安全性分析

為了解各設計參數在雙層襯砌輸水隧道第一、第三階段的結構安全性的影響，選取代表性設計參數組合進行分析.

圖14（a）～（d）展示了第一階段的β1及β2隨外襯厚度及外襯配筋率的變化規律.可以發現，外襯厚度對兩個階段的可靠度指標影響較大，其中在所選參數范圍內，β1始終大于4.2，而β2跨越了限制線2.7，因此對結構起到主要安全約束作用的是β2；外襯配筋雖然影響相對較小，但是與外襯厚度相似，β2起到了主要約束作用，承載力極限狀態的β1始終滿足安全性要求.

圖14（e）～（h）展示了第三階段的內襯β1及最大裂縫寬度隨內襯厚度及內襯配筋率的變化規律.可以發現，內襯厚度對結構的兩個安全性指標影響都很大，同時由于內襯的加入對結構的整體剛度有很大提升，安全性處于很高的水平.對于最大裂縫寬度，厚度的影響在不同區間內基本呈現相同的規律，但配筋率的影響隨著配筋率的升高逐漸降低.最大裂縫寬度作為第三階段正常使用狀態下的評價指標，在第三階段的安全性判斷中也起到了主要的作用，說明對于輸水隧道來說，采用結構抗裂設計的原則，相較于收斂控制是更為合理的.

圖14 結構可靠度指標變化規律Fig.14 Change law of structural reliability index

3 縱向優化設計

盾構隧道縱向上是細長結構，不可避免地會穿越多種復雜多變的地層，如果僅選取一個斷面進行設計計算，難以保證整體的安全性.考慮上述魯棒性設計的復雜性，為了提高計算效率，對于縱向考慮簡化為選擇不同典型斷面分別計算，最后選擇最安全參數的計算方法.

依據地質勘察報告所述地質特征，選取掘進段典型地質參數，形成3 種基本工況，根據開挖面所處地層勘察報告文件及相應規范，選擇覆土厚度、側壓力系數及土體壓縮模量作為主要地層參數，取值如表5所示.

表5 主要地層參數取值Tab.5 Values of main formation parameters

分別對上述三種地層參數下的工況采用優化算法進行求解，取pop=200，gen=200，最終所得二維Pareto 前沿如圖15所示.可以看出，不同地層參數下的二維優化結果有所差異.因為結構的魯棒性評價建立在結構安全性的基礎上，在魯棒性指標的限制上并無明確的要求，而成本是結構中十分關注的問題，因此取各優化結果與初步設計的等魯棒性指標點進行對比.對于工況3，其最大魯棒性指標仍小于實際點，取其最大點作為優化結果.原因在于工況三（GH1+640～GH7+386）的土體壓縮模量的COV 為0.2，遠小于前兩種工況的取值，因此Pareto 前沿中的魯棒性指標要比前兩種工況小很多.

圖15 二維Pareto前沿對比Fig.15 Comparison of two-dimensional Pareto fronts

表6列出了三種典型工況的優化結果，工況3與工況1、工況2 優化結果對比，由于覆土厚度增大，側壓力系數減小，為提高結構魯棒性，優化后襯砌厚度明顯增大，配筋率減小，這與2.2 節的敏感度分析結果中襯砌厚度對結構魯棒性影響很大，而配筋率影響較小的結論相符.因此，為了保證不同地層條件下的安全性，綜合考慮三種工況下的計算結果，取最為安全的設計參數作為優化結果，同時考慮襯砌厚度的模數限制、內襯承內壓的特性以及混凝土耐久性等因素的影響，最終的優化結果如表6 所示.與實際設計點相比，最終優化結果內襯配筋率取值減小，螺栓直徑增大，權衡了結構的魯棒性和建設成本，保障隧道掘進安全.

表6 不同地層下的優化結果Tab.6 Optimized results in different formations

4 結論

本文結合具體工程案例，綜合考慮雙層襯砌輸水盾構隧道建設成本及結構對外部參數變異的敏感性，形成約束多目標優化問題，建立了一套雙層襯砌輸水隧道的魯棒性設計框架.得到的主要結論如下：

1）針對雙層襯砌輸水盾構隧道受力特點加入約束并選擇適應性魯棒性指標，通過引入優化算法，獲取了完整的三維及二維Pareto 前沿，實現了滿足結構安全性要求下成本和結構魯棒性的權衡.

2）雙層襯砌輸水隧道根據其修建階段的不同，控制指標不同，在襯砌修筑階段，收斂變形起主要限制作用，在使用階段，裂縫寬度起限制作用.

3）基于兩種極限狀態的魯棒性指標存在一致性，通過賦權重的方式可以將魯棒性指標合并為一個，實現求解過程的簡化，二維優化相較于高維優化的結果更適用于工程決策及應用.

4）盾構隧道縱向不同區段的參數變異性較大，單一考慮一種工況不夠全面，通過將隧道分段并提取典型斷面優化的方式可有效解決較大的參數變異性問題，保證掘進中的參數統一及隧道安全.