單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)研究
——以“全等三角形”教學(xué)為例

江蘇省鎮(zhèn)江實(shí)驗(yàn)學(xué)校（212000）章再俊

對(duì)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)理論及模式的探討已成為近年教師討論的熱點(diǎn)話題，該教學(xué)模式旨在落實(shí)發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。筆者積極嘗試運(yùn)用該教學(xué)模式提高課堂教學(xué)效率與發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。本文以蘇教版八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”的單元整體教學(xué)為例進(jìn)行探究。

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型可從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；等等。

數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)是在整體思維指導(dǎo)下，以教材知識(shí)體系為基礎(chǔ)，通過(guò)教學(xué)團(tuán)隊(duì)的合作，對(duì)相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)統(tǒng)籌重組與優(yōu)化，并將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容作為一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，突出知識(shí)間的關(guān)聯(lián)和知識(shí)的循環(huán)理解及運(yùn)用，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解總結(jié)，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。

一、感悟活動(dòng)，了解模型

教師在設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)時(shí)，應(yīng)在常規(guī)教學(xué)的基礎(chǔ)上，設(shè)置相應(yīng)問(wèn)題，向?qū)W生逐步滲透主要的模型，如：有公共邊的兩個(gè)全等三角形如何重合？有公共角的兩個(gè)全等三角形如何重合？有三個(gè)角相等的兩個(gè)全等三角形如何重合？

比如，如圖1，若△ABC≌△DEF，沿著對(duì)應(yīng)邊BC與EF所在直線相向平移。

圖1

問(wèn)題1：這兩個(gè)三角形如何通過(guò)幾何變換實(shí)現(xiàn)重合？

問(wèn)題2：你能從平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的角度具體描述幾何變換的過(guò)程嗎？

問(wèn)題3（在問(wèn)題2 的基礎(chǔ)上繼續(xù)提問(wèn)）：如圖2，若BC與EF所在的邊不共線，沒(méi)有公共點(diǎn)，這兩個(gè)三角形如何通過(guò)幾何變換實(shí)現(xiàn)重合？

圖2

又如，如圖3 和圖4，若△ABC≌△AEF，公共點(diǎn)為A。

圖3

圖4

問(wèn)題1：這兩個(gè)三角形如何通過(guò)幾何變換實(shí)現(xiàn)重合？

問(wèn)題2：你能從平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的角度具體描述幾何變換的過(guò)程嗎？

問(wèn)題3（在問(wèn)題2 的基礎(chǔ)上繼續(xù)提問(wèn)）：若△AEF是由△ABC繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°得到的，給出△ABC你能畫(huà)出△AEF嗎？

問(wèn)題4（在問(wèn)題3 的基礎(chǔ)上繼續(xù)提問(wèn)）：你能求出線段BC與EF所在的直線的夾角嗎？

通過(guò)思考及解決以上問(wèn)題可讓學(xué)生對(duì)這些模型有一個(gè)初步的了解。

二、操作活動(dòng)，理解模型

教師在設(shè)計(jì)本單元整體教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生剪兩個(gè)全等的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，設(shè)計(jì)的問(wèn)題可圍繞：將有公共邊的兩個(gè)全等三角形進(jìn)行重合實(shí)驗(yàn)；將有公共角的兩個(gè)全等三角形進(jìn)行重合實(shí)驗(yàn)；將一條直線上有三個(gè)角相等的兩個(gè)全等三角形進(jìn)行重合實(shí)驗(yàn)。

比如，如圖5，若△ABC≌△AEF，∠A為公共角。

圖5

問(wèn)題1：如何操作可使這兩個(gè)三角形重合？

問(wèn)題2：這兩個(gè)三角形在重合實(shí)驗(yàn)過(guò)程中是關(guān)于哪條線翻折的？

問(wèn)題3：你還發(fā)現(xiàn)了哪些三角形是全等的？

又如，若△ABC與△DEF，滿足∠B=∠E，AB=DE，AC=DF（邊邊角結(jié)構(gòu)，形狀不確定）。

問(wèn)題1：這種情況合理嗎？

問(wèn)題2：如果不能確定是否全等，大家能畫(huà)出相應(yīng)的圖形嗎？（學(xué)生作出圖6和圖7）

圖6

圖7

問(wèn)題3：三組角相等能確定三角形全等嗎？

問(wèn)題拓展：你能用直尺與圓規(guī)畫(huà)“邊邊角”不全等的三角形嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出兩個(gè)三角形具體經(jīng)過(guò)幾步能夠重合，嘗試把中間的每一步變換的情況畫(huà)出來(lái)或演示出來(lái)。

三、探究活動(dòng)，深化模型

（一）設(shè)計(jì)問(wèn)題串，促進(jìn)新知生成

比如，如圖8 所示是兩個(gè)全等的銳角△ABC與△AEF。

圖8

問(wèn)題1：你能在圖上畫(huà)出對(duì)稱軸嗎？

問(wèn)題2：圖上有幾組全等三角形？

問(wèn)題3：將其中一個(gè)三角形繞公共A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，分別連上對(duì)應(yīng)點(diǎn)，圖中存在幾個(gè)等邊三角形？

問(wèn)題4（在問(wèn)題3 的基礎(chǔ)上繼續(xù)提問(wèn)）：兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的夾角是多少？

問(wèn)題5（在學(xué)生學(xué)習(xí)相似三角形時(shí)繼續(xù)提問(wèn)）：圖中有相似三角形嗎？若有，請(qǐng)證明。

（二）探究單元整體教學(xué)涉及的常見(jiàn)模型

關(guān)于一條邊重合的兩個(gè)全等三角形：探究關(guān)于這條邊所在直線翻折、探究關(guān)于這條邊的中垂線翻折、探究關(guān)于這條邊的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。

關(guān)于一個(gè)角重合的兩個(gè)全等三角形：探究關(guān)于這個(gè)角的角平分線翻折、探究關(guān)于角的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。

關(guān)于兩個(gè)相等的角共線的兩個(gè)全等三角形：探究一線三角的關(guān)系及這兩個(gè)三角形經(jīng)過(guò)怎樣的操作重合。

“一線三等角”模型的探究：

例如，如圖9，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形，直線AN與MC交于點(diǎn)E，直線BM與CN交于點(diǎn)F。

圖9

（1）求證：AN=BM；

（2）求證：△CEF為等邊三角形。

問(wèn)題1：圖中還有哪些特殊的三角形？

問(wèn)題2：圖中的全等三角形有哪幾組？

拓展問(wèn)題：若AN與BM的交點(diǎn)為O，則AN與BM的夾角∠MON的度數(shù)是多少？

追問(wèn)：△OFN與△CFB全等嗎？

探究1：求△CMN的外接圓半徑的最小值。

探究2：△ACM，△CBN是等邊三角形，AB長(zhǎng)度確定，點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，如何求△CMN的面積的最值？

“共頂點(diǎn)雙子型”模型的綜合探究：

例如，如圖10，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF。

圖10

（1）求證：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度數(shù)。

變式1：如圖11，已知△ABC，以AB，BC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE，CD。證明AE=CD。

圖11

變式2：如圖12，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE。連接BE，CD。BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。

圖12

在變式2的探究中，可以設(shè)計(jì)如下小問(wèn)題：

（1）設(shè)CD與BE的交點(diǎn)為O，圖中的全等三角形有哪幾組？CD與BE的夾角度數(shù)是多少？

（2）如何判斷OA是∠DOE的角平分線？（可通過(guò)等面積法，判斷OA為∠DOE的角平分線）

（3）如圖13，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長(zhǎng)。

圖13

全等三角形的分類(lèi)還有很多，這里不再一一列舉。

教師在滲透模型思想時(shí)，需思考模型構(gòu)造的特征及其合理性，設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生探究的環(huán)節(jié)。

四、師生互動(dòng)，生長(zhǎng)模型

在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生既是教學(xué)的對(duì)象，又是學(xué)習(xí)的主體，無(wú)論是獲取知識(shí)還是提高能力，都要學(xué)生通過(guò)自身的積極思考和實(shí)際活動(dòng)，而他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和質(zhì)量都有賴于教師的指導(dǎo)，教師的教也只有通過(guò)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，才能取得較好的效果。

在本單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師在認(rèn)真研讀教材、思考學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，不僅要判斷學(xué)生按教材學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生的階段性困難，還要判斷本單元對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的影響，探究學(xué)生產(chǎn)生困難的原因，從而處理學(xué)生產(chǎn)生的認(rèn)知困難、應(yīng)用困難。

例如，部分學(xué)生對(duì)“一線三等角的兩個(gè)三角形全等或相似”的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)有困難，對(duì)此，在學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生剪兩個(gè)直角三角形，把它們相等的一組邊設(shè)計(jì)為共線。然后再提問(wèn)：你能說(shuō)出圖14中兩個(gè)三角形的關(guān)系嗎？

圖14

設(shè)計(jì)情境復(fù)雜的探究題（在直角坐標(biāo)系中探討雙子型模型）：如圖15，直線AB交x軸于點(diǎn)A(4,0)，交y軸于點(diǎn)B(0,4)。

圖15

問(wèn)題1：若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0)，且AH⊥BC于點(diǎn)H，AH交OB于點(diǎn)P，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

問(wèn)題2：在問(wèn)題（1）的條件下，連接OH，求證：∠OHP=45°。

問(wèn)題3：若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥DM交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，式子S△BDM-S△ADN的值是否發(fā)生改變？如發(fā)生改變，則直接寫(xiě)出該式子的值的變化范圍；若不改變，則直接寫(xiě)出該式子的值。

在問(wèn)題1的探究中，可設(shè)計(jì)如下小問(wèn)題：

（1）若△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)60°，∠CHA還是90°嗎？

（2）你能畫(huà)出相應(yīng)的圖形嗎？

（3）對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角與什么有關(guān)？

在問(wèn)題3的探究中，可設(shè)計(jì)如下小問(wèn)題：

（1）連接OD，分別作x軸與y軸的垂線段，點(diǎn)D處有多個(gè)直角，你能?chē)@點(diǎn)D，發(fā)現(xiàn)全等三角形嗎？

（2）你能描述雙子型全等模型的特點(diǎn)嗎？

綜合探究：輔助線作法之“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”。

截長(zhǎng)法：在第三條線段上截下一段使其等于兩條線段中的一條，再證明剩余部分與另一條線段相等。

補(bǔ)短法：把兩條線段中的一條補(bǔ)到另一條線段上去，證明所得新線段與第三條線段相等。

比如，如圖16，已知AD∥BC，AE，BE分別平分∠DAB和∠ABC，點(diǎn)E在CD上。

圖16

求證：AB=AD+BC。

教師可設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：

（1）你打算用什么方法解決本題？（截長(zhǎng)補(bǔ)短法）

（2）如何補(bǔ)呢？（延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，證明△ADE與△FCE全等，△BEA與△BEF全等）

（3）還可以怎么補(bǔ)？（延長(zhǎng)BE與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，證明△BCE與△FDE全等、△AEB與△AEF全等）

（4）如何截呢？（在AB上截取AF=AD，證明BF=BC，證明△AED與△AEF全等、△BEC與△BEF全等）

（5）還可以怎么截呢？（在AB上截取BF=BC，證明AF=AD，證明△BEF與△BEC全等、△AED與△AEF全等）

還可以進(jìn)一步在動(dòng)態(tài)幾何中探究全等三角形。

在師生共同探究的過(guò)程中，學(xué)生能感悟模型的變化過(guò)程。通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)，以及運(yùn)用演繹推理法給出證明，將合情推理與演繹推理相結(jié)合，可促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形全等與相似的本質(zhì)。

總之，教師必須要加強(qiáng)對(duì)基于數(shù)學(xué)模型思想的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的深度探究，通過(guò)不斷重組教學(xué)內(nèi)容與優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，構(gòu)建新的更加突出知識(shí)間的關(guān)聯(lián)和知識(shí)的循環(huán)理解及運(yùn)用的單元教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生理解和領(lǐng)悟，掌握新知、習(xí)得技能，從而有效實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)，讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地開(kāi)花結(jié)果。