等邊三角形“手拉手”模型構造及解題策略研究

廣西南寧市第十四中學（530000）陳 杏

等邊三角形“手拉手”模型是指由兩個共頂點的等邊三角形構成的基本圖形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形。如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，所以稱這個模型為“手拉手”模型，此模型經常在幾何綜合題中出現。構造等邊三角形“手拉手”模型常與平行、旋轉、截長補短等輔助線作法相結合。

一、從教材母題抽象出模型，厘清模型問題本質

很多考試題目的母題都來源于教材，從教材習題提取模型、類比模型和模型變式都是考試命題的方向。三角形全等證明是初中數學教學的重點內容之一，其難點在于要求學生從復雜的圖形中抽象出全等三角形。

［例1］（人教版八年級上冊第83頁第12題）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證BE=DC。

圖1

學生大多能準確地判斷出本題是利用三角形全等證邊等的問題，但不一定能馬上給出解題思路。筆者提示學生將共頂點的等邊三角形（如圖2）抽取出來，學生很快就發現它們形成“手拉手”模型，并找到一對全等三角形，從而得出證明。在面對多個等邊三角形時，教師可以引導學生尋找解決問題的模型——“手拉手”模型，使學生更好地理解和應用幾何模型思想，提高解題效率和正確率。

圖2

二、作平行線構造等邊三角形“手拉手”模型

有時兩個等邊三角形不共頂點，這時可以通過作輔助線，構造共頂點的等邊三角形，從而得到“手拉手”模型。

［例2］在等邊三角形ABC中，E是邊AC上一定點，D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF。

（1）如圖3，若點D在邊BC上，求證：CE+CF=CD。

圖3

（2）如圖4，若點D在邊BC的延長線上，請探究線段CE，CF與CD之間存在怎樣的數量關系，并說明理由。

圖4

雖然有教材母題的經驗，但學生發現本題沒有全等三角形，也找不到“手拉手”模型。對此，筆者引導學生添加輔助線。學生嘗試作平行線，有學生過點E作BC邊的平行線，雖然構造出共頂點的兩個等邊三角形，但和題目要證明的結論聯系不大。筆者引導學生過點D作AB邊的平行線DM，發現不但可以得到第三個等邊三角形，而且其與其中一個等邊三角形共頂點，“手拉手”模型出現（如圖5），證明△DME≌△ECF，將CF轉換為EM，即可得出證明。學生有了經驗，很快可以在圖4 中作平行線，構造“手拉手”模型（如圖6），從而得出證明。在等邊三角形中，作一邊的平行線構造新的等邊三角形是常用的輔助線作法，找準過哪個點作平行線，即找到了模型，可使問題迎刃而解。

圖5

圖6

三、旋轉構造等邊三角形“手拉手”模型

旋轉也是構造等邊三角形“手拉手”模型的重要途徑。在旋轉變換中，要注意可以旋轉的前提條件，即有邊相等旋轉即重合，旋轉特殊度數后有特殊三角形產生。有時還要注意證明旋轉后點的共線。

［例3］如圖7，等邊△ABC中，P為△ABC外一點，連接AP、BP、CP，∠APB=∠BPC=60°，求證：AP+PC=BP。

圖7

對于線段和差的證明問題，通常把不在一條直線上的兩條線段放在一條直線上，因此，可以將△APC繞點A順時針旋轉60°（如圖8），AC與AB重合，但點P是否在BP上需要證明。利用旋轉后∠AP′B=120°，AP=AP′，旋轉角∠PAP′=60°，因此△AP′P是等邊三角形，所以∠AP′P=60°，得到∠AP′B+∠AP′P=120°+60°=180°，從而得到B、P′、P三點共線，由此，就構造了共頂點的等邊三角形△AP′P和等邊三角形△ABC形成的“手拉手”模型。

圖8

四、截長補短構造等邊三角形“手拉手”模型

截長補短是證明三角形全等的重要輔助線作法，對構造等邊三角形“手拉手”模型也同樣好用。

［例4］如圖9，在等腰△ABC中，120° ＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于點D，以AC為邊作等邊△ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC交AE于點M。（1）求∠AFC的度數；（2）探究FE，FA，FC之間的數量關系，并證明你的結論。

圖9

由（1）可解得∠AFC=60°，這是構造等邊三角形的有利條件，筆者鼓勵學生在長線段FC上截取FG=FA，從而得到等邊三角形△AFG與等邊三角形△AEC構成了共頂點的“手拉手”模型（如圖10）。

圖10

［例5］如圖11，在△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠BAC=60°，求∠ADC的度數。

圖11

這道題不僅有等邊三角形，還有含60°角的三角形△ABD，筆者引導學生思考：能否嘗試補短？∠ADB的兩邊中，BD比較短，可將短邊BD延長至E，使DE=AD（如圖12），從而形成等邊三角形△AED，進而構造了共頂點A的等邊三角形△ADE和等邊三角形△ABC的“手拉手”模型。

圖12

五、作等邊三角形構造等邊三角形“手拉手”模型

當圖形中只有一個等邊三角形時，也可以在它的一個頂點作另一個等邊三角形，從而構造等邊三角形“手拉手”模型。

［例6］如圖13，E為等邊△ABC內一點，∠BEA=90°，∠AEC=150°，求證：BE=2EC。

圖13

本題可以EC為其中一邊在其右側構造等邊△EDC，這樣△EDC就與△ABC構成共頂點C的“手拉手”模型（如圖14）。

圖14

六、“手拉手”模型的應用

筆者在幾何綜合題的教學實踐中，提出了“四步驟幾何模型研究”的教學策略（如圖15），以幫助學生實現對模型的構造和對綜合問題的解決。

圖15

下面以一道模擬題為例說明這個教學策略。

［例7］如圖16，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上，可以證明△ACD≌△BCE，則AD=BE。

（1）將圖16 中的△CDE繞點C旋轉到圖17，猜想此時線段AD與BE的數量關系，并證明你的結論。

圖16

（2）如圖17，連接BD，若AC=2 cm，CE=1 cm，現將△CDE繞點C繼續旋轉，則在旋轉過程中，△BDE的面積是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由。

圖17

（3）如圖18，在△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△DCE繞點C按順時針方向旋轉得到△CD′E′（使∠ACD′＜180°），連接BE′，AD′，設AD′分別交BC，BE′于O，F，若△ABC滿足∠ACB=60°，BC的值。

圖18

分析：

第一步，標圖——顯示圖形的特征。

引導學生標注圖形中相等的線段和角（如圖19），將圖形的特征顯性化，為進一步找到等邊三角形“手拉手”模型做好鋪墊。

圖19

第二步，析圖——抽象幾何模型。

通過圖形標注，學生很容易發現△ACD≌△BCE的條件，即AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE（有共頂點的等邊三角形），從而發現AD=BE，這對解決第（1）問起到提示作用。如圖17 所示的圖形雖然A、C、E三點不共線，但學生仍能發現等邊三角形“手拉手”模型（如圖20），△ABC和△CDE都是等邊三角形，所以AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，△ACD≌△BCE，AD=BE。

圖20

第三步，構圖——構造幾何模型。

在第（2）問中，將△CDE繞點C繼續旋轉，當△CDE旋轉到BC與C到DE的高在同一條直線上時，△BDE面積最大（如圖21），此時，教師應引導學生利用旋轉將面積問題轉化為“手拉手”模型，再由線段相等得到△BDE是等腰三角形，從而求出△BED面積的最大值。因為DE邊上的高為2 +cm，所以△BDE面積的最大值為

圖21

第四步，變圖——利用圖形變化進行模型變化。

圖22

圖23

在一道幾何綜合題中往往會涉及幾個不同的模型，在教學中教師應引導學生熟悉模型，熟記相關結論，從題目中快速抽象出幾何模型，從而提高學生的解題速度和效率。

從本文的解法歸納中可以看出，即使是比較復雜的圖形問題，所用到的也是簡單的基礎知識，這就要求教師在平時的教學和備考中，從幾何圖形的形成、變化過程入手進行研究，教給學生幾何模型的構建方法，提高學生解題的正確率，增強學生的解題能力。