素養導向下開放題的創新
——2021年數學高考題研究

云南師范大學數學學院（650500）陳坤美

一、高考數學開放題的命制要求與分類

隨著素質教育的逐步推進和落實，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課標》）和《中國高考評價體系說明》進一步要求高考數學開放題的設計不僅要注重與“雙基”緊密聯系，還要突出對核心素養的考查。《新課標》在“命題原則”中指明，“數學高考命題既要有一定數量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識；《中國高考評價體系說明》則強調“高考命題要通過多種形式命制結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題，增強試題的開放性和探究性，引導學生打破常規進行獨立思考和判斷，提出解決問題的方案，考查學生的學科素養”。

條件和結論是一個問題最基本的兩個要素，一般將“條件明確，結論唯一”的問題稱為封閉題，而將“條件明確，結論不唯一”“條件不明確，結論唯一”“條件不明確，結論不唯一”的問題稱為開放題。在《新課標》與《中國高考評價體系說明》的指導下，2021 年10 套數學高考卷中共設置了6 道不同程度的開放題。

二、2021年高考數學開放題例析

（一）條件明確，結論不唯一

［例1］（北京卷第14題）若P(cosθ,sinθ) 與關于y軸對稱，寫出一個θ的值_________。

解析：

圖1

評析：此題由于θ的多值性導致結論有無限多個，如果將所求改編為“θ的值為___________”，則題目就會成為一道封閉題，這對通過賦值試錯找到答案的學生而言解決問題的成功率將降低。這啟示我們在教學中可以嘗試將具有唯一標準答案的封閉題改編為答案不唯一的開放題。這類開放題的起點較低，適用于開放題教學的初始階段，能讓不同思維水平的學生參與學習，同時獲得成功的學習體驗，從而增加數學學習的信心。

［例2］（新高考Ⅱ卷第14 題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x)=___________。

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當x∈(0,+∞)時，f′(x) ＞0；③f′(x)是奇函數。

解析：

根據條件①給出的抽象函數性質可以判斷f(x)是一個冪函數，即f(x)=x?（x是自變量，?是常數）。由條件②可知f(x)在(0,+∞)上單調遞增，從而?＞0。依據條件③并結合“奇函數的原函數為偶函數”能確定f(x)為偶函數。容易發現當?是正偶數時都滿足要求，如x2，x4，x6等。若將?限制為正有理數，則有?=為非零同號的互質整數），要使f(x)為偶函數，則p只能為奇數，q只能為偶數，于是等也滿足題意。兩類解可以綜合表示為f(x)=為非零同號的互質整數且p為奇數，q為偶數）。

評析：首先根據條件②③猜想一個f(x)，再驗證其是否滿足條件①能快速獲得答案，這能彰顯學生思維的靈活性，但沒有體現出思維的深刻性。要想獲得更完備的答案，學生需要綜合調用冪函數的定義與性質、函數的單調性和奇偶性、導數等知識。在有限的考試時間內學生很難達到這個要求，因此教師在平時的教學中要注重培養學生的高階思維，引導學生多方位、多角度、深層次地看待問題。

例1 與例2 均屬于“條件明確，結論不唯一”的開放題，考查學生綜合運用數學知識分析和解決問題的能力，指向思維靈活性、創造性以及數學運算、邏輯推理等核心素養。

（二）條件不明確，結論唯一

［例3］（新高考Ⅱ卷第22 題）已知函數f(x)=(x-1)ex-ax2+b。

（1）討論f(x)的單調性；

（2）從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，證明：f(x)有一個零點。

解析：

（1）當a≤0 時，f(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞) 上單調遞增；當0 ＜a＜時，f(x) 在(ln 2a,0)上單調遞減，在(-∞,ln 2a)，(0,+∞)上單調遞增；當a=時，f(x)在R 上單調遞增；當a＞時，f(x) 在(0,ln 2a) 上單調遞減，在(-∞,0)，(ln 2a,+∞)上單調遞增。

（2）若選①，結合（1）可知f(x)的最大值為f(0)，最小值為f(ln 2a)。根據f(0)=b-1，f(ln 2a)=2a(ln 2a-1) -a(ln 2a)2+b以及a，b的取值范圍通過適當放縮可證明f(0)和f(ln 2a)均大于0。因此，若f(x) 有零點，則只可能在(-∞,0) 上，于是在(-∞,0)上取特殊值并計算因為所以f(x)在上存在零點，又因為f(x)在(-∞,0)上單調遞增，所以f(x)只有一個零點。

若選②，由（1）可知f(x)的最大值為f(ln 2a)，最小值為f(0)。此時f(0)和f(ln 2a)均小于0，因此若f(x)有零點，則只可能在(0,+∞)上，于是在(0,+∞) 上取特殊值a+1 并計算f(a+1)，因為f(a+1) ＞0，f(0)＜0，所以f(x)在(0,a+1)上存在零點，又因為f(x)在(0,+∞)上單調遞增，所以f(x)只有一個零點。

評析：第（2）小問供選擇的兩個條件均給出a的取值范圍以及2a與b的大小關系，選擇不同的條件卻得到同一結論，即f(x)有一個零點。這從側面說明兩個備選條件具有等價性，而兩種解答思路也展現出相似性，因此對選擇①或②的考生而言相對公平，這也是高考公平的一種表現。同時此題延續傳統命題風格，結合函數與導數知識設置為壓軸題，一方面以開放題形式呈現，容易對考生造成更大的心理壓力，另一方面又能較好地區分不同考生的能力，對高考人才選拔有積極作用，這種命題趨勢值得師生關注和重視。本題突出對數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養的深入考查。

（三）條件不明確，結論不唯一

［例4］（北京卷第16 題）已知在△ABC中，c=2bcosB，C=

（1）求B的大小；

（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求BC邊上中線的長度。

圖2

解析：

評析：此題沒有給圖形，為了使解題更加直觀高效，需畫出正確的圖形，借助圖形來分析問題，優化運算過程。這要求學生具備良好的數學抽象、直觀想象等核心素養以及識圖、畫圖、用圖能力。

［例5］（全國甲卷第18 題·理科）已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。

①數列{an}是等差數列；②數列是等差數列；③a2=3a1。

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分。

評析：試題以等差數列的定義、通項公式、前n項和公式、性質、Sn與an的關系等知識為背景，聚焦數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養的考查，涉及分類討論、函數思想、方程思想等思想方法，學生自主提出問題、分析問題、解決問題和獨立思考提供了廣闊空間。三種選擇方案既尊重學生思維的差異性，又能探明學生思維的靈活性和對等差數列知識本質的理解與掌握程度。若選①②證③，學生的難點在于根據等差數列的性質寫出2a2=a1+a3和并經歷兩次開方運算得到結論；若選②③證①，學生需學會用已知的“數列是等差數列”去證未知的“數列{an}是等差數列”，還要能理解一次函數與等差數列通項公式以及定義的關系。相對而言，選①③證②是一個最優解。

例4、例5屬于“條件不明確，結論不唯一”型開放題，各條件之間相互獨立，選擇不同的條件將得到不一樣的結論。在解決此類題型時，學生可以根據自身的知識儲備和數學能力構建最適合自己的解題方案，這為問題解決提供更多的可能性。

三、思考與啟示

縱觀上述分析可以發現，2021 年高考數學試卷中的開放題圍繞主干知識命制，以填空題或解答題的形式呈現，突出對數學本質、關鍵能力和數學學科素養的考查，體現了基礎性、綜合性、探究性和創新性的考查要求，對立德樹人、人才選拔以及引導教學都具有積極的意義。從中筆者可以得到如下啟示：

1.教師教學活動的重點應放在學生“四基”“四能”的掌握和提升上，關注學生對知識本質的理解，讓學生不僅能“知其然”“知其所以然”還能明白“何由以知其所以然”。

2.教師在備考過程中應適時進行開放題的專題教學，與學生一起辨析不同題型，歸納總結其中蘊含的數學思想方法和素養要求，為學生解決開放題提供正確的指導。

3.教師應將《新課標》和《中國高考評價體系說明》等文件作為教學指南，以教科書中的開放題為切入點，讓學生有序地認識、熟悉、探索三類開放題，挖掘其中的思維價值，提升學生思維的發散性、創新性、批判性、深刻性和靈活性，拓展學生思維的廣度與深度。