基于禁帶機理的加筋板減振設計方法

姜周,范雨,李琳,石佳慧

1.北京宇航系統工程研究所, 北京 100076 2. 北京航空航天大學 能源與動力工程學院, 北京 100083 3. 北京航空航天大學 航空發動機結構強度北京市重點實驗室, 北京 100083

在航空航天、船舶、汽車等領域,為了提高結構的承載能力,通常采用加筋的方式以改善結構的力學性能。其設計理念側重于在滿足質量要求的前提下,使得單位質量的承載能力最大,即具有較好的比強度和比剛度。故其設計目的一方面是降低結構質量,即結構優化；另一方面是考慮不同加載模式下結構的極限承載能力和屈服形式,即穩定性分析。

加筋板的結構優化主要體現在筋條的布局、材料和尺寸設計。如選用纖維復合材料替代鋁合金作為加強筋,通過改變筋條的截面形式和所處位置來優化布局等。由于工程中加筋板受到的激勵形式多變,當內部應力小于屈服應力極限時,也可能由于產生垂直于壓力方向的位移使得結構承載能力降低而發生屈服,故存在穩定性問題。因此在不同加載模式下對加筋板進行穩定性分析,判斷其失效形式和極限承載能力,是一個研究的熱點。如在軸壓載荷下,如何改善模型屈服失穩或后屈服破壞等問題。

近年來,有研究將結構優化和穩定性分析綜合起來考慮,如Alinia利用Ritz法研究了加筋板內多參數設計的問題,表明可以通過增加筋條的寬度來增強結構的剪切應力。Wang等研究了剪切載荷下板內筋條的優化,通過采用加筋板的柔性夾芯,可以提高其屈服剛度。這些方法大多利用遺傳算法等手段,從靜力學角度出發,以控制加筋板質量為前提,盡量降低結構的重量。

考慮到加筋板作為承力部件,面對復雜的載荷環境時,會產生嚴重的振動問題。故目前也有部分研究利用被動或主動的控制方法對加筋板的噪聲和振動進行控制。被動控制方法包括利用鋪設阻尼層、布置吸振器等對結構振動進行控制。主動控制則包括主動吸振器等。這些方法大部分基于等效層理論,用耗能、吸聲等方法對振動和噪聲進行控制,而忽略了結構的周期性。

聲子晶體等禁帶周期結構概念的提出,為振動控制提供了新的思路。彈性波在這類周期結構中傳播時,由于結構內部幾何形狀、材料參數或邊界條件等周期性地變化,導致在某一頻帶內形成特殊的傳播關系,從而抑制彈性波的傳播,該頻帶即被稱為禁帶(或帶隙)。現階段有3種構造禁帶的機理,可以構造布拉格禁帶、局域共振禁帶和耦合禁帶,利用周期結構的禁帶特性可以達到減振降噪的目的。

雖然現有研究早已指出周期結構中彈性波禁帶中結構響應明顯降低,但在工程實踐中仍少見基于此原理,對工程周期結構進行動力學設計的案例。目前無法直接利用工程周期結構內禁帶特性的原因之一,就在于設計時并未把禁帶作為設計指標,導致其中禁帶的頻率較高,往往超出了其工作頻帶,以致無法直接滿足減振降噪的要求。

另外目前有關禁帶的研究大多是已知周期結構的元胞(最小可重復單元),再求解其頻散曲線來獲得禁帶分布；隨后對結構進行振動響應分析來驗證禁帶的減振效果,即已知模型求解其波動特性,可稱為“正問題”。而工程中常常是先確定了需要振動抑制的頻帶,要求設計出符合這一需求的結構。如何設計既具有良好的比剛度又能在所希望的頻率范圍產生禁帶達到減振目的結構,可稱為禁帶設計的“反問題”。由于工程問題以及工程結構的復雜性,目前還少有直接基于禁帶理論對結構動力學特性進行設計的方法。就作者查閱文獻可知,對加筋板中的工程反問題的研究還較少,波動理論對加筋板等人工周期結構的研究,大多是為了預報和分析這類結構的振動與噪聲響應特性,從而更側重于發展高效快捷的計算方法,較少考慮禁帶的設計和應用。

針對這一現狀,同時并考慮到加筋板這一周期結構在工程中應用的普遍性,以正交加筋板為對象,研究禁帶反問題設計方法以及其中的關鍵技術,利用結構本身周期性具有的禁帶特性實現振動控制。通過波有元法來計算不同模型的禁帶分布。該方法的主要優勢在于可以借助商業有限元軟件建立元胞模型,在模型動力學矩陣上施加周期性邊界條件后即可進行波動特性的求解。通過將元胞內部自由度減縮為模態坐標,可以進一步提高計算效率。

利用該算法,結合拉丁超立方采樣,以正交加筋板中的元胞數、筋條寬度和高度為設計指標,在控制加筋板質量的前提下,建立了有限周期結構的禁帶設計方法,并通過計算結構的強迫響應對設計方案進行了驗證。考慮到實際中的加筋板由于材料本身以及加工安裝等使其并非完美的周期結構,還分析了失諧對加筋板減振效果的影響。最后結合靜力學分析,利用結構柔順度校核了設計模型的靜剛度,判斷設計方案下的加筋板是否具有良好的動、靜力學性能。

1 基于禁帶減振機理的加筋板設計方法

1.1 加筋板模型

本文以正交加筋板為研究對象(圖1(a)),在保證正方形基板總體尺寸不變的基礎上,設計筋的結構尺寸(即筋寬和筋高)和間距(即元胞尺寸),使得結構在目標頻帶內產生禁帶,從而達到控制振動的目的。

圖1 加筋板及元胞示意圖Fig.1 Illustration of stiffened plate and its unit cell

需要說明的是,雖然現階段存在3種禁帶構造機理,但無論何種類型,禁帶內的彈性波都無法遠距離傳播,能涵蓋目標頻帶的禁帶都可用于控制結構振動。因此此處并未限定所用的禁帶類型。

利用有限元軟件ANSYS對加筋板元胞(圖1(b))進行建模,并導出其動力學矩陣,編程實現周期性邊界條件的施加和波動特性的求解。

建模時,基板由六自由度四節點的SHELL181單元構成,筋條由六自由度兩節點的BEAM188單元構成。單元中六自由度分別為沿3個方向的平動自由度(,,)和3個方向的轉動自由度(,,)。2種單元通過耦合方程進行結合,以保證接觸面對應筋條節點和基板節點位移及轉角的連續性,對應節點的關系如下：

(1)

式中：為基板寬度;為筋高；下標p代表為基板自由度,下標s代表為筋條自由度。如p表示基板節點沿方向的位移,s為筋條節點沿方向的轉角。

對元胞中各節點施加約束條件后,即可建立加筋板的元胞模型。當結構中不含阻尼時,可以得到元胞動力學方程：

(-)=

(2)

式中：和分別為質量矩陣和剛度矩陣；表示位移向量；表示力向量；為頻率。

對式(2)施加周期性邊界條件,即得到結構的波動方程,進而對其求解后就可以獲得給定尺寸加筋板的波動特性。考慮到需要反復計算不同設計尺寸下元胞的頻散曲線,為了提高計算效率,此處采用了波有限元減縮算法。

1.2 波有限元減縮算法

圖2 元胞節點分布示意圖Fig.2 Nodes definition of unit cell

對于自由波動,元胞只在邊界處受力,因此元胞內力守恒。將式(2)中的矩陣和向量按照節點位置重新分塊,得動力學方程為

(3)

為了保證求解的精度,每個波長內的至少需要有6～12個網格。同時考慮到需要計算的模型較多,故在求解式(3)的波動特性前,對內部自由度進行模態減縮,可以減小矩陣規模,節約計算時間。減縮主要基于Craig-Bampton方法。即將邊界自由度固定,將內部自由度轉到模態坐標,其中轉換矩陣滿足：

(4)

式中：為固定界面主模態,通過固定邊界自由度=,求解如下特征值方程獲得：

(-)=

(5)

<∈{1,2,…,}

(6)

(7)

故按模態坐標和邊界自由度分塊后的減縮系統動力學方程為

(8)

考慮其內部節點不受外力,因此可進一步縮小矩陣規模：

(9)

由周期邊界理論可知,邊界節點的自由度應當滿足如下關系：

(10)

(11)

其中：=e-j,=e-j。e為自然對數,、分別為沿著和方向的波數,波數的實部和虛部分別反映了彈性波在經過一個元胞的傳播后產生的相位變化和幅值衰減,即傳播常數和衰減常數。對于傳播波,在傳播過程中幅值并無衰減,故有||=1；對于快衰波,其幅值隨彈性波傳播而衰減,有||≠1。,為元胞沿著和方向的尺寸,在本文中由于選取了正方形元胞,有==。

同樣,根據邊界處節點力平衡有

(12)

將式(10)和式(12)代入式(9)可得中：

(13)

(14)

1.3 禁帶設計流程

1) 設計目標

(15)

當基板尺寸確定時,該系數越小則表明結構越輕。

加筋板的靜力學設計目標一般為在限定結構總質量前提下,保證結構的剛度需求并通過強度校核；動力學設計目標則是在滿足靜力學指標要求的前提下,在給定頻率范圍內使板的彎曲振動限制在一定水平之下。設計時可以先根據給定總質量下的振動指標設計加筋方案,然后完成靜剛度校核。

對于一個邊長和寬度的方板,給定的動力學設計目標為在滿足質量比的條件下,在板上加設正交周期分布的筋條。使其具有涵蓋目標頻帶的禁帶,從而抑制頻帶內激勵產生的振動。因此問題歸結于如何確定周期加筋板中的元胞數、筋條寬度和高度。

2) 設計方法

基于禁帶機理的加筋板減振設計(禁帶反問題設計)可分為2大步驟：

第1步,根據基板尺寸給定一個元胞數的取值范圍,每一個元胞數對應一個元胞尺寸=。對于每一個確定的元胞數(或元胞尺寸),禁帶出現的頻率范圍就取決于元胞內的筋條尺寸(寬度和高度)。這一步的主要任務就是對于一個確定的元胞數(或元胞尺寸)計算所有可能的筋條尺寸下加筋板的禁帶特性,從中選取滿足目標禁帶需求的筋條尺寸。

第2步,對比各個元胞數的筋條尺寸方案,確定滿足目標禁帶需求的元胞數和筋條尺寸。

具體的設計流程如圖3所示。以下詳細論述基于該流程對禁帶“反問題”設計時需要解決的問題以及本文所采取的解決方案(以“關鍵技術”字樣標注在設計流程中對應的環節)。

圖3 加筋板設計流程圖Fig.3 Diagram of stiffened plate and its unit cell

① 關鍵技術1(確定采樣空間)

結構中筋條的寬度和高度都是連續變量,這意味著給定元胞面積(即對應給定的元胞數)后,有無窮多組筋條尺寸可以選擇。當對筋寬和筋高各取個數據時,需要對加筋板作次計算與分析,以獲得對應每個數據的彎曲波禁帶。當較大時(比如超過100),即使采用波有限元減縮算法,其計算量也是十分龐大的。為解決這一問題,本文采用了拉丁超立方采樣(LHS)構造一個離散數據的樣本空間。

該方法是Mckay等于1979年提出的一種分層采樣方法。其基本原理是將樣本點分層并均勻覆蓋整個采樣空間,用較小的采樣規模即可準確反映樣本的分布。當需要對個樣本各采樣次時,原有的采樣規模為,按LHS采樣可以將采樣規模降為×,極大地降低了需要計算的采樣組數。

將其用于筋條寬度和高度的取值時,如果希望獲得每個維度取100個值的結果,只需對加筋板進行200次禁帶計算分析(否則需進行100次計算)。該算法MATLAB已經有成熟的函數(lhsdesign),可以直接利用。

需要注意的是,作為一種通用算法,它給出的是歸一化的參數分布,即所有值都位于0～1之間,在實際應用時需要在此基礎上進行換算,以得到實際尺寸。利用LHS程序時,只需輸入數據維度、每一維度數據變化范圍、再設定總采樣數,程序即可按LHS方法返回在總采樣數為時,每個維度的采樣數據。顯然,總采樣數不同時,每個維度的采樣數據也不同。因此會出現取得不合適需要重新采樣、計算的情況。

② 關鍵技術2(禁帶的識別)

考慮到復雜結構內往往存在多種波,彎曲波的禁帶內其他波有可能可以傳播。因此在得到加筋板元胞的頻散曲線或能帶圖后,利用單波形占比(RSW)作為指標來消除目標頻帶內其他波的影響,方便選出彎曲波禁帶的分布范圍。

(16)

即除3個表征彎曲變形的自由度外,其余各自由度均設為零的模態。

再計算參考波模態與完整波模態的模態置信因子(MAC),就得到了單波形占比：

RSW=MAC(,)=

(17)

單波形占比是位于0～1的實數,0表明參考波模態對完全波模態沒有貢獻,即不含有該變形；1表明完全波模態完全由參考波模態構成。本文設置彎曲波的占比RSW>06,以排除其他波對彎曲波禁帶篩選的干擾。

板的減振一般針對的是彎曲振動,因此只需利用彎曲波占比(RSW)即可識別出彎曲振動主導的彈性波及其禁帶。

同時為了確定禁帶的邊界頻率,僅畫出彎曲變形主導的傳播波的頻散曲線(對應||=1),再利用禁帶內不存在傳播波的特性來確定禁帶的邊界頻率。由于這一性質與禁帶的種類無關,故用該方法可以識別結構中存在的各類禁帶。

③ 關鍵技術3(禁帶的評價)

周期加筋板禁帶“反問題”設計的第2個步驟是比較由第1步得出的對應每一個元胞數的筋條尺寸方案(筋條寬度和高度),進而確定最終的元胞數及對應的筋條尺寸。比較不同元胞數的筋條尺寸方案,實際上就是比較各種方案的加筋板禁帶。由第1步給出的每一個方案,其禁帶帶寬及在頻域上出現的位置都能滿足目標頻帶的要求,因此問題歸結為這些禁帶是否具有等同的減振效果,應該如何評價對應不同元胞尺寸產生的相同頻率范圍的禁帶。

根據波動理論,在禁帶內,禁帶頻率內波數(=+j)的虛部代表彈性波在無限大介質中每傳播一個元胞產生的衰減程度,即+1=e-p；表示相位的變化;經過個元胞后,彈性波的衰減程度為=e-p(不考慮反射)。推廣到有限大結構可知,不同元胞數(周期不同)的同一結構中彈性波的衰減程度不同。根據這一特性,本文提出平均衰減因子的概念來評價(有限大)結構禁帶對彈性波的衰減能力。其定義式為

(18)

式中：和為目標頻帶的起始和終止頻率。該因子越大,表明衰減程度越強,禁帶效果越明顯,當工作頻帶內無禁帶時,有=0,=1,即=1,表明彈性波無衰減。需要強調的是,該因子是從頻散曲線中提取出的概念,因此僅能用于評價禁帶對沿某一方向傳播的彈性波的衰減能力。對禁帶的方向性評價還需要借助能帶圖。

2 加筋板彎曲波禁帶設計實例

如圖1所示的正交加筋板,基板和筋條材料參數為：彈性模量=2.09×10Pa,泊松比=0.33,密度=7 500 kg/m。基板總長度=1 m,=5×10m。通過模態分析可知,基板在2 000～2 500 Hz存在模態密集現象,故選取該頻帶為控制頻帶。通過設計筋條尺寸(筋寬和筋高)和間距(元胞尺寸),使結構在2 000～2 500 Hz內產生禁帶,達到控制此頻率范圍內彎曲振動的目的；筋板質量比的容許變化范圍15%～25%。

2.1 加筋板禁帶設計流程

根據圖3所示設計流程,首先根據基板尺寸大致設定了一個合理可行的元胞數變化范圍：6≤≤20,相應的元胞尺寸的范圍為0.05 m≤≤0.166 7 m。然后要遍歷元胞數(或元胞尺寸),對每個元胞數,判斷是否符合設計要求的尺寸。

以元胞數=13為例,首先利用拉丁超立方采樣程序獲得總采樣數=50時需要計算的筋寬和筋高數據組,這一過程又稱在筋寬和筋高連續變化的二維空間中采樣。通過式(15)篩選出質量比在設定范圍的每一組筋寬和筋高數據,計算對應的加筋板的彈性波頻散曲線,利用RSW找到其中的彎曲變形主導波的頻散曲線,看是否存在能涵蓋目標頻帶的禁帶。圖4給出的是基于第1輪數據組計算得到的禁帶最寬的加筋板頻散曲線(含RSW),圖中橫坐標為頻率,縱坐標為彈性波的傳播常數。對應尺寸為筋寬=0.034 536 m,筋高=0.001 248 m。

圖4 含RSWf的頻散曲線(第1次迭代)Fig.4 Dispersion curves with RSWf (first iteration)

圖4中虛線表征了禁帶的起始和終止頻率。可見利用RSW可以準確判斷彎曲波禁帶的位置,此時禁帶頻率滿足實部Real()=π,故為布拉格禁帶。很明顯這個禁帶寬度不符合設計要求。這說明元胞數為13時,在對應的元胞面積范圍內,第1次用拉丁超立方采樣程序給出的50組筋寬和筋高數據中,沒有一組能使對應的加筋板產生滿足要求的禁帶。如果所有采樣數據對應的加筋板的彎曲波禁帶帶寬都不滿足要求,則需進行第2輪計算。

在這種情況下需要改善數據組,即重構拉丁立方采樣空間。有2種重構方案：一是不改變筋寬和筋高數據的變化范圍、直接增大總采樣數,比如將50變為100；另一種方案是利用第1輪的計算結果(對應最大禁帶寬度的筋寬和筋高),縮小筋寬和筋高數據的變化范圍(減小LHS的數據空間)；這里采用了第2種方案。實際上數據空間減小之后,總采樣數也可適當減少。一般經過2到3次重構拉丁立方采樣空間,即可找到滿足要求的筋寬和筋高,或可以確定對應的元胞數下不存在滿足要求的筋寬和筋高數據。

對從6～20的每一個元胞數,實施上述計算后,只在元胞數=8時,得到了一組符合設計要求的解：筋寬=0.001 823 m,筋高=0.041 051 m。對應該筋條尺寸的加筋板中沿方向傳播的彈性波頻散曲線如圖5所示,其中虛線為禁帶邊界頻率。

圖5 設計尺寸的頻散曲線Fig.5 Dispersion curves of design size

利用RSW容易識別出圖5中布拉格禁帶對應的是彎曲變形主導波的傳播禁帶,可見該設計尺寸下,彎曲波禁帶涵蓋了目標頻段,滿足設計需求。

利用能帶圖判斷這一禁帶的方向性分布見圖6,其中、、、、表示波傳播的不同方向。該圖也用RSW區分不同種彈性波,其中灰色陰影表示禁帶的分布。由于陰影部分不存在對應彎曲變形的傳播波波數分布,可見該設計下的禁帶為完全禁帶,即可以抑制各個方向傳播的彈性波。

圖6 設計尺寸的能帶圖Fig.6 Band structure of design size

2.2 最終方案確定

在遍歷元胞數尋求滿足要求的筋條尺寸的過程中,按設計流程找到滿足要求的筋條尺寸即停止對該元胞數的計算,轉入對下一元胞數的計算；只有在對應該元胞數不存在滿足要求的筋條尺寸時才會把LHS空間中的所有數據遍歷。這一過程沒有考慮可能存在的多解問題,即LHS空間的數據中可能不只一組數據滿足設計要求。更合理的方法是即使找到滿足設計要求的筋條尺寸也應完成對LHS空間中所有數據的遍歷。

本例中,元胞數=8(對應的元胞尺寸=0125 m)時,在得到滿足設計要求的筋條尺寸后,繼續計算,完成對LHS空間中所有數據的遍歷,一共可得3組滿足設計需求的方案,如表1 所示。其中方案1為2.1節確定的設計尺寸。

采用表1中的筋條尺寸構造出的加筋板都滿足彎曲波禁帶要求,對其取舍的問題涉及的就是如何對禁帶減振效果的評價。可見該設計下的布拉格禁帶為完全禁帶,可以抑制各個方向傳播的彈性波。另外表1中方案2的禁帶也涵蓋了目標頻帶,但其質量比=0.261 0,不滿足輕質化的要求。同時可以看出,隨著迭代次數的增加,元胞尺寸最終收斂到同一個值。

表1 加筋板不同設計尺寸Table 1 Different design sizes of stiffened plate

注意到同一元胞數的不同方案是不同元胞數方案的特例,故也能用2.1節中的平均衰減因子對不同方案進行評價。為此按式(18)計算表1中不同方案的衰減因子如表2所示,可見在設定質量比內,方案1具有最高的有限衰減因子。

值得注意的是,只是由于設計的初衷為獲得能涵蓋目標頻段的禁帶,并不涉及優化設計,因此最終方案對應的設計尺寸不一定為最佳尺寸。而有限衰減因子可以作為后續優化的指標。

表2 有限衰減因子Table 2 Finite attenuation factor

2.3 強迫響應驗證

基于彈性波傳播的禁帶理論按圖3示設計流程設計加筋板的筋條尺寸時,不需要考慮板的邊界條件,即該設計方法與邊界條件無關,對不同邊界條件下的結構都應當有較好的減振效果。因此本節通過計算基于該理論所設計的加筋板在不同邊界條件下的位移響應傳遞函數對此作進一步驗證。驗證模型為2.2節基于傳播波禁帶理論設計的正交加筋板,元胞及筋條尺寸取方案1的結果；其動力學特性為：在2 000～2 500 Hz之間存在彎曲變形主導的彈性波絕對禁帶。

當元胞尺寸為0.125 m時,沿方向和方向的元胞數=8,按方案1的尺寸建立元胞后,延拓即可得到設計的加筋板(如圖7所示)。

圖7 加筋板及監測點分布示意圖Fig.7 Distribution of stiffened plate and monitoring points

在不同邊界下,在加筋板左端邊界中間節點上施加幅值為1 000 N,沿向的激振力,以激發出結構的彎曲波。利用有限元軟件ANSYS在1 500～3 000 Hz內做諧響應分析,通過對比不同監測點在禁帶和通帶內的傳遞函數,來驗證禁帶的減振效果。

(19)

式中：()為板中(某點)自由度的位移頻率響應；()為作用在(某點)自由度的激振力。通過對比禁帶和通帶內結構傳輸特性的差異,來驗證禁帶對彈性波的控制效果。

1) 邊界條件影響

在自由邊界下,計算點和點的傳遞特性如圖8所示。圖中藍色曲線為點的傳遞函數,紅色為點的傳遞函數,虛線為不同頻段傳遞函數的平均值。可見目標頻帶內的響應明顯低于2段參考頻帶(1 500～2 000 Hz和2 500～3 000 Hz)的響應。

圖8 水平方向位移傳輸特性(自由邊界)Fig.8 Transmission characteristics in horizontal direction (free boundary condition)

值得注意的是,禁帶內點的響應大于點的響應,出現了與彈性波隨元胞數增加呈指數衰減特性相反的現象,這就是邊界的反射作用。同時可見,禁帶內出現了一些共振峰(共7階模態),這些峰值的量級幾乎與禁帶外的響應量級等同。實際上Mead推導一維有限周期結構內固有頻率和禁帶邊界頻率的關系,在特定邊界條件下,固有頻率才可能位于禁帶邊緣。雖然單個衰減波不會傳遞能量,但Bobrovnitskii和Kurze指出,衰減波之間是存在能量流動的。因此在某些情況下禁帶內是存在共振的。

選取均質板和加筋板位于同一位置的右側節點的計算結果進行比較。圖9中陰影部分為目標頻帶,虛線為不同頻段的平均響應。可見在目標頻帶內,無論是加筋板的強迫響應還是平均響應都較均質板的低,表明該設計下,系統的振動得到了有效控制。對比2段參考頻帶(1 500～2 000 Hz 和2 500～3 000 Hz),發現均質板響應并無明顯區別,而加筋板的頻響函數明顯較低,進一步突出了禁帶的減振效果。另外可見該設計也能降低均質板中的模態密度。

圖9 加筋板/基板的傳輸特性Fig.9 Transmission characteristics for stiffened and uniform plate

為了進一步驗證禁帶的方向性分布,在相對激勵點的30°、60°、90°方向各取了一個距激勵點0.5 m的點計算對激勵的位移響應傳遞函數。計算結果如圖10所示,圖中虛線為該頻段位移響應傳函的平均值。可見在30°和60°方向目標頻帶內的響應得到了控制。90°方向正好是沿邊界方向,由于邊界的反射作用十分顯著,因此振動抑制效果不明顯。如果激勵點位于板內,則90°方向也會具有較好的振動抑制效果。

圖10 不同角度的傳遞特性對比Fig.10 Transmission characteristics at different propagation angles

圖11分別給出在一個禁帶頻率(2 020 Hz)激勵下和一個通帶頻率(2 550 Hz)激勵下結構的位移響應云圖,以更直觀地對比禁帶和通帶頻率激勵下加筋板的振動響應。考慮到結構的對稱性,只給出了加筋板上半部分的位移云圖,其中白色虛線為加強筋所在位置。

圖11 單點激勵下位移場對比Fig.11 Comparison of displacement field under single-support excitation

對比圖11(a)和圖11(b)可知,禁帶頻率激勵下的位移響應遠低于通帶頻率激勵下的位移響應,且禁帶頻率的激勵效果僅出現在力的作用點附近,這說明禁帶頻率激起的振動在各個方向傳遞時都受到了限制。可見在該禁帶為完全禁帶,即對沿各個方向傳播的彈性波都存在抑制效果。

考慮到工程中加筋板的實際邊界條件很難簡單用“自由”、“固支”或“簡支”等模擬,這里采用可變剛度的彈性支承模擬一般的邊界條件,示意圖見圖12。激勵點和位移響應采集點以及他們的方向均同自由邊界情況。

圖12 邊界為彈性支承的加筋板示意圖Fig.12 Illustration of stiffened plate with elastic supports on the boundary

圖13給出了不同邊界條件下,、這2個點的位移響應傳遞函數,其中支撐剛度越大,越接近固支邊界。由圖13可見,不論哪種支撐剛度,目標頻帶內的位移響應都能得到不同程度的抑制。隨著支撐剛度的增加,禁帶內的共振峰也隨之降低。支撐剛度較小時,其效果等同于自由邊界的情況。

圖13 傳遞特性隨支撐剛度變化Fig.13 Different transmission characteristics with support stiffness

由禁帶減振原理可知,禁帶主要通過降低模態密度來達到控制其中平均響應的目的,因此禁帶減振對邊界條件不敏感。根據這一特點,基于自由邊界出的該絕對禁帶能抑制沿各個方向的振動的結論也能推廣到任意邊界條件,故不再計算其他方向的位移響應傳遞函數。

實際上文獻[48]也指出,在邊界出引入阻尼后,可以有效緩解禁帶共振的負面影響。這也為禁帶內響應控制提供了一種設計思路。即不用在整個周期結構內鋪設阻尼,僅在邊界處設置阻尼后,就可以進一步抑制或者消耗振動能量,從而進一步降低目標帶內的響應。

2) 材料失諧影響

由于加工工藝和材料本身的缺陷,實際的筋條尺寸或形狀一般存在微小差異,這種現象被稱為周期結構的失諧。由失諧的原因不難理解失諧廣泛存在于實際工程中,而以往的周期結構理論對這一現象缺少關注。失諧現象是否會通過改變結構的周期性影響禁帶的減振效果是一個值得研究的實際問題。因此本節以設計的加筋板為例,研究材料失諧對禁帶性能的影響。

研究主要通過設置筋條材料彈性模量的微小差異來模擬材料失諧。設失諧強度為5%,即每根筋條材料的實際彈性模量是名義彈性模量2.09×10N/m的±5%；用計算機生成均值等于名義彈性模量、方差為5%的滿足正態分布的16個隨機數,與名義彈性模量相加即得到了16根筋條材料彈性模量分布的一個樣本,一共計算了10個樣本。

4邊自由工況下,模型最右端所有節點的平均響應(對應10組失諧筋條尺寸樣本數據)如圖14 所示,圖中橫坐標為節點方向的坐標,縱坐標為目標頻帶(2 000～2 500 Hz)的平均響應。為了便于比較,圖中同時給出筋條材料用名義彈性模量時的結果(諧調情況)。其中黑色虛線為諧調情況,藍色實線為材料失諧情況。

圖14 失諧情況平均響應Fig.14 Average response with mistuning cases

由圖14可知,對于諧調情況,響應沿=0.5 m 對稱分布,當引入失諧時,破壞了結構的對稱性,使得對稱位置的平均響應出現差異。而對比不同失諧情況的平均響應分布可知,失諧響應總是圍繞諧調情況的響應上下波動,即采用隨機失諧模式難以降低所有節點的平均響應。

同樣對3邊彈支工況實施同樣的計算與分析,以研究不同邊界條件下失諧的影響。分別考慮了4種支撐剛度：10N/m、10N/m、10N/m和10N/m。從結構最右側所有節點中,選取距底邊分別為0.2 m,0.3 m,0.8 m和0.9 m處(圖14 中紅色虛線)的4個節點,分別計算各節點對應10組失諧筋條尺寸樣本的最大響應相對差隨支撐剛度的變化,可得表3。

由表3可見,不同支撐剛度下,最大響應相對差都較小,表明不同邊界條件下,失諧對響應結果影響有限。

表3 不同邊界條件下最大響應差分布

3 靜力學設計與校核

在完成加筋板動力學設計和減振效果驗證后,考慮到其設計初衷是為了具有較好的比強度和比剛度等靜力學性能,基于禁帶機理設計出的加筋板是否違背了靜力學設計初衷,是一個必須回答的問題。基于此,對加筋板還進行了靜力學設計與校核。

靜力學設計主要是針對結構柔順度展開的。結構柔順度表征結構在靜力作用下抗變形的能力,該值越低表明施加載荷下結構變形越小,靜剛度越強。其定義為

()=

(20)

式中：()為結構柔順度;為結構位移向量。這一參數常用作結構靜力學設計的指標,以進行結構的尺寸和形狀優化。在本文中,由于選用了矩形截面的加筋板,因此只針對其尺寸進行靜力學設計。

同時為了校核表1中方案1的靜力學性能,故選取方案1的質量比進行靜力學設計。即必須滿足=0237 7。從而根據式(15),就可以求解出給定筋高下的筋厚,其分布如圖15所示。因此可以得到100組相同質量比下的筋厚/筋高分布。固定加筋板的一段,在另一端中間節點施加沿方向,大小為1 000 N的靜載荷。導出其位移場和剛度陣后,根據式(20)計算結構的柔順度。同時為了方便展示不同組筋厚/筋高下結構的柔順度分布。根據二者的比例關系設定筋條的厚高比為=()(),計算結果見圖16。

圖15 筋厚/筋高分布Fig.15 Distribution of thickness and height of rib

由圖16可見,隨著厚高比的增加,不同加載方式下結構柔順度都是先增大后減小,即結構剛度性能先變差后變好。而筋厚高比增加則表明加筋板中筋條的寬度增加,高度降低。因此在同一質量比下,筋條高度的增加能有效提高結構的剛度性能。而方案1的厚高比為=0034 7,表明在該設計尺寸下,結構不僅具有寬頻禁帶,還具有良好的靜力學剛度。

圖16 加筋板結構柔順度Fig.16 Structural compliance of stiffened plate

4 結 論

本文提出了加筋板設計方法,在控制加筋板質量比的前提下,設計了正交加筋板的筋條間距、筋厚和筋高的尺寸,使得其中的布拉格禁帶能涵蓋設計頻帶。基于強迫響應分析,討論了邊界條件和和失諧對禁帶減振效果的影響,最后對設計的加筋板進行了靜力學校核。得到如下結論：

1) 解決了禁帶設計流程中的關鍵技術：利用拉丁超立方采樣方法構造了筋條尺寸的采樣規模(關鍵技術1)；通過單波形占比可以識別加筋板各類彈性波頻散曲線中對應彎曲變形的頻散曲線(關鍵技術2)；提出的平均衰減因子,可以作為不同周期(即元胞數)和筋條尺寸方案下,頻率位置及帶寬近似相同的禁帶的評價指標(關鍵技術3)。實際上也可以對于其他設計參數(如筋條的形狀或材料參數等),該設計流程依然適用,即具有較好的普適性。

2) 強迫響應結果驗證了在不同邊界條件下禁帶內的平均響應都較低的結論,論證了加筋板的減振設計的有效性。且材料失諧下的強迫響應結果表明在不同邊界條件下,加筋板的禁帶減振特性對筋條材料彈性模量的少量失諧不敏感。

3) 利用結構柔順度校核了基于禁帶設計的加筋板方案,發現除了減振特性外,結構還具有良好的靜力學剛度。

4) 雖然本文未能進行實驗驗證,但已有大量文獻驗證了不同禁帶的減振效果。另外本文通過保證波有限元算法和仿真驗證的可靠性已足以證明設計方法的有效性。后續將開展禁帶減振效果的實驗驗證。