熱環(huán)境下纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼非線性振動(dòng)分析與驗(yàn)證

李暉,呂海宇,鄒澤煜,羅忠,馬輝,韓清凱

1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,沈陽(yáng) 110819 2.東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,沈陽(yáng) 110819

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶等領(lǐng)域,由于該類(lèi)型結(jié)構(gòu)很多都服役在高溫、強(qiáng)振動(dòng)、沖擊等惡劣工況下,極易發(fā)生動(dòng)態(tài)響應(yīng)超標(biāo)、基體裂紋、纖維斷裂、分層失效等問(wèn)題,因此有必要研究其動(dòng)力學(xué)建模、試驗(yàn)和性能優(yōu)化方法與計(jì)算。

多年來(lái),人們對(duì)復(fù)合材料圓柱殼在常溫環(huán)境下的非線性振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了富有成效的研究。如Iu和Chia采用修正的Donnell非線性殼體理論,在引入von-Kármán幾何大變形假設(shè)后,研究了隨激勵(lì)幅值變化的復(fù)合材料圓柱殼非線性共振頻率的求解方法。何建國(guó)等應(yīng)用全拉格朗日列式法求解了加筋疊層圓柱殼的非線性頻率,并研究了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問(wèn)題。Lakis等利用Sanders-Koiter非線性殼體理論推導(dǎo)了層合圓柱殼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程,并采用有限元法驗(yàn)證了模型的正確性。Amabili提出了Amabili-Reddy高階剪切變形理論,通過(guò)數(shù)值方法研究了層合圓柱殼的非線性振動(dòng)響應(yīng)。宋旭圓建立了彈支邊界下考慮幾何大變形影響的復(fù)合材料圓柱殼非線性振動(dòng)分析模型。張悅等考慮了硬涂層材料的應(yīng)變依賴(lài)關(guān)系,并推導(dǎo)獲得了硬涂層圓柱殼非線性強(qiáng)迫振動(dòng)的解析公式。李暉等提出了螺栓松動(dòng)邊界下具有振幅依賴(lài)性的復(fù)合材料圓柱殼非線性共振頻率和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的求解方法。

只有少數(shù)科研工作者對(duì)熱環(huán)境復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動(dòng)問(wèn)題開(kāi)展了研究。Malekzadeh和Heydarpour考慮了溫度導(dǎo)致的材料非線性,建立了熱環(huán)境旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼自由振動(dòng)的解析模型。基于Reddy高階剪切變形理論,Zhang等考慮熱效應(yīng)造成的材料非線性影響,求解了碳納米管增強(qiáng)復(fù)合圓柱殼在沖擊載荷作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Yang等考慮了溫度效應(yīng)的影響,研究了碳纖維增強(qiáng)聚合物基層合圓柱殼的1∶2內(nèi)共振問(wèn)題,求解獲得了非線性共振頻率、頻響曲線和分叉圖。Sheng等考慮溫度導(dǎo)致的材料非線性和von-Kármán幾何大變形的影響,建立了熱環(huán)境下功能梯度復(fù)合圓柱殼的非線性振動(dòng)模型,并獲得了非線性共振頻率和頻域響應(yīng)。沈慧申等基于高階剪切變形理論和von-Kármán幾何大變形原理等建立了熱環(huán)境下功能梯度和碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)模型,并預(yù)測(cè)了考慮溫度依賴(lài)性的頻率和動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)。

在上述文獻(xiàn)調(diào)研中,并未發(fā)現(xiàn)同時(shí)考慮幾何非線性和材料非線性且在基礎(chǔ)激勵(lì)載荷作用下研究復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)熱振問(wèn)題的相關(guān)報(bào)道。此外,對(duì)該類(lèi)殼體結(jié)構(gòu)開(kāi)展熱振試驗(yàn)研究的也不多見(jiàn)。針對(duì)上述問(wèn)題,本文在考慮溫度效應(yīng)導(dǎo)致的材料非線性和von-Kármán幾何大變形的基礎(chǔ)上,建立纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼在均勻熱環(huán)境下的非線性振動(dòng)模型,并開(kāi)展實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證研究。

1 理論建模

1.1 模型描述

建立圖1所示的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼的理論模型,其處于懸臂邊界條件,受到基礎(chǔ)振動(dòng)激勵(lì)載荷的作用。首先,將其中面作為參考平面,建立坐標(biāo)系,假設(shè)、、為沿方向的位移分量,殼體長(zhǎng)為,中面半徑為,厚度為,每層位于坐標(biāo)軸較低表面-1和較高表面之間,每層的厚度均相同。1、2和3分別代表纖維的主軸方向,且“1”方向與軸方向的夾角為,假設(shè)復(fù)合材料圓柱殼平行纖維方向的彈性模量為,垂直纖維方向的彈性模量為,1-2平面內(nèi)的剪切彈性模量為,、和為不同方向的損耗因子,和為相應(yīng)的泊松比。

圖1 熱環(huán)境下纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼理論模型Fig.1 Theoretical model of fiber reinforced composite cylindrical shell in thermal environment

1.2 材料非線性假設(shè)

考慮溫度效應(yīng)影響,可將復(fù)合材料圓柱殼的非線性材料參數(shù)表示為

(1)

式中：、和為不同溫度下的彈性模量(包括拉伸模量和剪切模量)；、和為不同溫度下的損耗因子；、、、、和為與溫度有關(guān)的非線性材料參數(shù)的擬合系數(shù),=-1,1,2,3；Δ為溫度變化量。

考慮振幅依賴(lài)性的影響,基于應(yīng)變能密度函數(shù)法可將結(jié)構(gòu)的非線性材料參數(shù)表示為

(2)

(3)

1.3 考慮幾何非線性影響的圓柱殼理論

考慮幾何非線性的影響,根據(jù)Love殼體理論,基于von-Kármán幾何大變形假設(shè)將圓柱殼任意一點(diǎn)的應(yīng)變-位移的關(guān)系表示為

(4)

(5)

(6)

考慮熱環(huán)境的影響,復(fù)合材料圓柱殼產(chǎn)生的熱應(yīng)變?yōu)?/p>

(7)

在熱環(huán)境下圓柱殼結(jié)構(gòu)的第層應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

(8)

各個(gè)方向?qū)?yīng)的內(nèi)力=[,, ]和內(nèi)力矩=[,, ]對(duì)應(yīng)的向量可表示為

(9)

將式(11)代入式(12)可得

(10)

式中：、和分別為拉伸、耦合與彎曲矩陣元素。

(11)

式中：為密度；為相應(yīng)的積分區(qū)域面積。

結(jié)構(gòu)受到的基礎(chǔ)振動(dòng)激勵(lì)可等效為均布慣性力作用,即

(12)

式中：、和分別為激勵(lì)沿軸向、周向和徑向的分量；、和為激勵(lì)幅值；為周向波數(shù)；為激勵(lì)頻率；為時(shí)間變量。

結(jié)構(gòu)所受慣性力做功為

(13)

1.4 非線性振動(dòng)特性求解

應(yīng)用Ritz法可得復(fù)合材料圓柱殼位移場(chǎng)函數(shù)：

(14)

然后定義能量函數(shù)為

(15)

將能量函數(shù)對(duì)各里茲Ritz求偏導(dǎo)：

(16)

式中：、和為里茲系數(shù)；為最大截?cái)嘞禂?shù)。

可獲得熱環(huán)境下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程為

(17)

求解熱環(huán)境下的固有頻率和振型,只需令材料阻尼矩陣和激振力向量為,即

(18)

為保證式(20)有解,需要系數(shù)矩陣的行列式為0,即

(19)

復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼圓頻率和材料損耗因子可表示為

(20)

式中：為復(fù)合材料圓柱殼在熱環(huán)境下對(duì)應(yīng)于某一階周向波數(shù)和軸向半波數(shù)的無(wú)阻尼固有圓頻率,即=。

熱環(huán)境下復(fù)合材料圓柱殼的阻尼比可表示為

(21)

為求解復(fù)合材料圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng),根據(jù)空間與時(shí)間變量分離法,將其位移場(chǎng)函數(shù)進(jìn)一步假設(shè)為

(22)

式中：()為時(shí)間有關(guān)的位移場(chǎng)分量。

復(fù)合材料圓柱殼的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)可用Duhamel積分寫(xiě)成一般形式：

(23)

sin()

(24)

式中：為激振力。

最后,將式(22)經(jīng)傅里葉變換操作和卷積運(yùn)算即可得到結(jié)構(gòu)的頻域振動(dòng)響應(yīng)。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 測(cè)試對(duì)象和系統(tǒng)

分別對(duì)兩個(gè)CF120碳纖維/環(huán)氧樹(shù)脂圓柱殼試件進(jìn)行測(cè)試,將其命名為試件I和試件II,其長(zhǎng)度、半徑、厚度分別為130 mm×65 mm×3 mm和150 mm×125 mm×3 mm,鋪設(shè)參數(shù)為[(0°/90°)],材料參數(shù)見(jiàn)表1,其中和分別為平行與垂直纖維方向上的熱膨脹系數(shù),為試件的泊松比,纖維體積分?jǐn)?shù)約為45%。圖2為建立的熱振測(cè)試系統(tǒng),其中激勵(lì)系統(tǒng)由波形發(fā)生器、聯(lián)能JZK-100電磁激振器、聯(lián)能YE5878功率放大器組成,通過(guò)夾具和激振平臺(tái)為殼體試件提供可控的基礎(chǔ)振動(dòng)激勵(lì)(其幅值可通過(guò)Endevco 6240M10高溫加速度傳感器反饋)；溫控系統(tǒng)包括一個(gè)帶有耐熱玻璃窗的加熱箱和一個(gè)長(zhǎng)白T-500溫度控制設(shè)備,使圓柱殼試件處于均勻的熱環(huán)境中(內(nèi)置有PT100熱電偶傳感器可精確控制溫度)；試件的振動(dòng)響應(yīng)可通過(guò)Polytec PDV-100激光測(cè)振儀經(jīng)由45°反射鏡改變光路后獲得,所測(cè)的振動(dòng)和溫度信號(hào)均通過(guò)LMS數(shù)據(jù)采集儀和PC終端進(jìn)行記錄和查看。

表1 CF120碳纖維/環(huán)氧復(fù)合材料圓柱殼在常溫下的材料參數(shù)

圖2 熱環(huán)境下復(fù)合材料圓柱殼試件振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)Fig.2 Vibration test system for composite cylindrical shells in thermal environment

2.2 非線性材料參數(shù)辨識(shí)

分別在20、50、150 ℃環(huán)境下通過(guò)掃頻測(cè)試方法獲得試件I在不同激勵(lì)幅值下的共振頻率和阻尼比數(shù)據(jù),將這些測(cè)試數(shù)據(jù)輸入MATLAB編寫(xiě)的迭代求解程序中,分別構(gòu)造理論計(jì)算相對(duì)于上述測(cè)試數(shù)據(jù)的最小二乘相對(duì)誤差函數(shù)(包括頻率誤差函數(shù)和阻尼誤差函數(shù))。以常溫環(huán)境下的材料參數(shù)為基準(zhǔn),在上下浮動(dòng)30%范圍內(nèi)以排列組合的方式分別對(duì)彈性模量和損耗因子進(jìn)行迭代,當(dāng)求解獲得的共振頻率和阻尼比對(duì)應(yīng)的和分別取得最小值時(shí),對(duì)應(yīng)的不同溫度和激勵(lì)幅值下輸入的材料參數(shù)即是辨識(shí)結(jié)果。表2和表3給出了考慮振幅和溫度依賴(lài)性的CF120碳纖維/環(huán)氧樹(shù)脂彈性模量和損耗因子辨識(shí)結(jié)果,結(jié)合提出的材料非線性假設(shè)關(guān)系式可通過(guò)數(shù)據(jù)擬合方法確定式(4)中的擬合系數(shù),如表4所示。在此基礎(chǔ)上,便可通過(guò)第1節(jié)中建立的該類(lèi)型復(fù)合材料圓柱殼的解析模型實(shí)現(xiàn)對(duì)不同溫度和激勵(lì)幅值下結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)的分析與預(yù)測(cè)。

表2 考慮振幅和溫度依賴(lài)性的CF120碳纖維/環(huán)氧樹(shù)脂的彈性模量

表3 考慮振幅和溫度依賴(lài)性的CF120碳纖維/環(huán)氧樹(shù)脂的損耗因子Table 3 Loss factor of CF120 carbon fiber/epoxy resin with consideration of amplitude and temperature dependence

表4 非線性材料參數(shù)的擬合系數(shù)

2.3 測(cè)試與理論結(jié)果對(duì)比分析

從圖3可知在不考慮材料和幾何非線性問(wèn)題的情況下,前三階共振頻率的最大計(jì)算誤差達(dá)8.8%,而提出的理論模型在考慮上述非線性特征后,預(yù)測(cè)的共振頻率與實(shí)測(cè)結(jié)果變化趨勢(shì)一致,且最大計(jì)算誤差僅為1.2%。另外在不同的溫度下,由于材料非線性(導(dǎo)致共振頻率減少)和幾何非線性(導(dǎo)致共振頻率增大)的共同影響,隨激勵(lì)幅值增大,結(jié)構(gòu)第一、二階共振頻率呈先減少后增大的變化趨勢(shì),但由于高階振動(dòng)幅值較小(幾何大變形效應(yīng)不明顯),因而第三階共振頻率呈逐步降低但下降趨勢(shì)越來(lái)越慢的變化。

圖4給出了實(shí)測(cè)和計(jì)算獲得的非線性阻尼結(jié)果,分析可知結(jié)構(gòu)阻尼比會(huì)隨激勵(lì)幅值和溫度的提高而逐步增加。其中線性模型的最大理論計(jì)算誤差達(dá)28.2%；而在考慮材料和幾何非線性問(wèn)題后,由提出的理論模型獲得的阻尼結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合較好,最大計(jì)算誤差為4.7%。

圖5給出了實(shí)測(cè)和計(jì)算獲得的非線性共振響應(yīng)結(jié)果,其中為理論模型最大計(jì)算誤差。對(duì)圖5進(jìn)行分析可知隨激勵(lì)幅值和溫度的提高,共振響應(yīng)幅值呈現(xiàn)逐步上升的趨勢(shì),提出的理論模型最大計(jì)算誤差為10.8%。需要說(shuō)明的是,雖不斷增大的阻尼會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)共振發(fā)揮一定程度的抑制效果,但由于外激勵(lì)幅值增大和環(huán)境溫度上升導(dǎo)致的“剛度軟化”(彈性模量隨溫度上升而下降)對(duì)共振響應(yīng)發(fā)揮了主導(dǎo)作用,因而共振相應(yīng)幅值呈現(xiàn)不斷上升的趨勢(shì)。

3 結(jié) 論

建立了熱環(huán)境下纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動(dòng)模型,并利用熱振測(cè)試系統(tǒng)開(kāi)展了一系列實(shí)驗(yàn)測(cè)試研究,通過(guò)對(duì)比理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

1) 理論計(jì)算獲得的結(jié)構(gòu)在不同溫度和激勵(lì)幅值下前三階模態(tài)的非線性共振頻率、阻尼比和共振響應(yīng)的最大誤差分別為1.2%、4.7%和10.8%,屬于誤差允許的范圍內(nèi),因而可證明理論模型的有效性。

2) 在不同的溫度下,由于材料非線性和幾何非線性的共同影響,隨激勵(lì)幅值的增大結(jié)構(gòu)低階共振頻率呈先減小后增大的變化趨勢(shì),但由于高階振動(dòng)幅值較小,所以第三階共振頻率呈逐步降低但下降速度越來(lái)越慢的變化趨勢(shì)。

3) 隨激勵(lì)幅值和溫度的上升,復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)各階阻尼比和共振響應(yīng)幅值均呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì)。

建立的解析模型和相關(guān)熱振實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)為研究復(fù)合材料圓柱殼的非線性振動(dòng)問(wèn)題提供了一種有效的理論模型和測(cè)試手段。