基于FPGA的磁軸承轉子系統自適應振動抑制

肖 鵬，魏靜波，胡宏錦，劉 昆，張志洲

（中山大學航空航天學院，廣東 深圳 518107）

0 引言

磁軸承轉子系統因其無機械接觸、無需潤滑、適應復雜工況以及主動可控等特點，已經在航空航天、機械加工、交通運輸等諸多領域中廣泛應用，同時也是航空發動機轉子的一種重要支承方式。由于轉子的加工誤差、材料質量不均勻、運行后變形等原因，轉子存在一定的不平衡量，在旋轉中產生不平衡激振力而發生不平衡同頻振動。此外，轉子由高速電機驅動，在轉動過程中，電機的電磁干擾將直接作用于電渦流傳感器，進入控制回路后引起磁力的振動，進而引起轉子的倍頻振動。

針對轉子不平衡振動，提出的主動控制方法從實現方式上主要分為2類：不平衡補償法與自動平衡法。不平衡補償通過電磁軸承產生相應電磁控制力補償而抵消不平衡力的作用效果，從而強迫轉子圍繞其幾何中心旋轉。Taguchi等針對渦輪機的不平衡振動問題，提出了一種基于卡爾曼濾波器的前饋自適應不平衡控制算法；蔣科堅等通過系統對于試探性的補償信號的動力學響應計算得到不平衡振動的Fourier系數，實現了不平衡補償；Mao等提出了一種基于可變步長（Variable Step Size，VSS）多邊迭代方法的不平衡系數搜索算法，并基于此算法產生相應的控制信號實現不平衡振動的補償。由于VSS算法提取的是不隨轉速變化的不平衡質量的信息，所以計算成本較低，而且適合在轉子轉速變化的狀態下進行不平衡補償。

而自動平衡則是通過算法使得控制器對位移中的同頻分量不響應，使轉子繞慣性主軸轉動。廣義陷波和歸一化最小均方（Least Mean Square，LMS）算法是其中最常用的2種方法。湯亮等提出了LMS算法的自適應數字陷波濾波器實現自動平衡的控制算法；高輝等著重分析了幾類LMS算法在磁軸承轉子系統中的應用，對原有算法進行了改進，實現了變步長的LMS算法；徐駿等利用LMS算法實現了單自由度懸浮試驗臺上的振動抑制，并分析了各種參數對振動控制性能的影響；Liu等設計了一種改進的雙輸入的自適應濾波器，通過調節收斂系數和補償角度，能夠在較寬的運行速度范圍內自適應抑制同步電流，實現自動平衡。

針對電機干擾產生的傳感器諧波擾動，張激揚等基于級聯相移陷波器全轉速自適應控制方法對磁軸承轉子系統全轉速范圍內的傳感器諧波擾動進行了主動抑制；王雨楠等提出一種變步長LMS算法實現了8倍頻諧波振動的有效抑制；Peng等提出了一種多頻諧振控制器（Multiple Resonant Controllers，MRC），采用漸進式調整和分段切換策略實現了系統全轉速范圍下的多頻諧波擾動的抑制。

本文針對轉子不平衡引起多種振動問題，提出了一種基于LMS算法的自適應濾波器。為了解決一般控制器算法計算延遲大的問題，構建了基于現場可編程門陣列（Filed Programmable Gate Array，FPGA）實時自適應振動補償模塊。

1 基于LMS算法的自適應濾波器

1.1 磁軸承轉子系統振動源建模與分析

轉子的不平衡量可以用附加質量的方法描述，扁平轉子的結構如圖1所示。電機轉子安裝在轉子上半軸，電機定子安裝在磁軸承與傳感器之間，采用附加質量對轉子不平衡量進行建模。轉子的上、下平面中心分別為、，轉子幾何中心為；轉子的上、下平面不平衡質量分別為、，2個不平衡質量距上、下平面幾何中心的距離均為，轉子轉速為，上、下平面不平衡質量的相位差為。下、上軸承產生的指向、軸靜不平衡力分別為f、f、f、f。

圖1 扁平轉子的結構

則4軸產生的靜不平衡力分別為

作用于轉子后產生的、軸振動位移信號應為

式中：A、A分別為、軸位移信號的幅值。

不平衡量是轉子振動的1個重要來源。此外，在轉動過程中，電機轉子永磁體構成的磁場的轉動會引起電渦流傳感器的倍頻擾動。根據試驗可知，頻率與電機轉速同頻之間存在倍數關系，這個倍數就是電機的極對數。電機的倍頻干擾是1種加性噪聲，直接與轉子的真實位移量疊加，作為位移反饋進入控制回路，所以可以認為是1個位移信號，則倍頻擾動信號的位移表達式為

式中：為擾動的幅值；為電機的極對數。根據電機設計的對稱性，可以認為、軸的擾動幅值相等；而、軸傳感器的安裝位置相差90°，則、軸的擾動位移相位相差90°。同時，由于電機轉子安裝在轉子的上半軸，距離上軸承傳感器更近，與下軸承傳感器相距較遠，那么下軸承傳感器的擾動幅值遠遠小于上軸承傳感器的，可以忽略不計。

而當同時存在不平衡量以及倍頻擾動時，轉子的位移信號應在式（2）的基礎上加入倍頻擾動項，即

從式（4）中可見，無論是不平衡量引起的不平衡位移，還是電機磁場干擾帶來的擾動位移，都以正弦信號的形式存在，并且作為位移信號進入傳感器中。

倍頻擾動在傳感器環節引入，消除擾動信號使得控制器對于該信號不響應，就不會產生相應的電磁力，使轉子穩定在平衡位置，此時倍頻振動得以抑制。不平衡位移信號產生于轉子的轉動過程中，濾除不平衡位移信號，使控制器不對該信號產生控制力，從而令轉子繞其慣性軸旋轉，達到抑制不平衡振動的目的。因此，可以在反饋環節加入自適應濾波器，并且濾波器應該滿足以下要求：能夠自適應地進行頻率跟蹤；不破壞系統本身的穩定性；響應速度快；濾波效果好。

1.2 基于LMS算法的頻率跟蹤振動抑制

LMS算法通過不斷調整濾波器的權值系數，使得濾波器的輸出信號與參考信號之差的平方和（均方誤差）最小，從而讓系統輸出所需信號的最佳估計，LMS算法基本原理如圖2所示。

圖2 LMS算法基本原理

其中，參考向量()作為算法的參考信號，

式中：為轉子轉速頻率；輸入信號（）為位移信號，其中為離散系統中的序號；輸出信號為（），由參考向量中各分量線性疊加產生；濾波器權向量()=[]由LMS算法進行更新，式中分別為權向量的組成元素。誤差信號（k T）是LMS算法的重要判斷準則；而則為離散系統的采樣時間。LMS算法基于最小均方誤差的準則，均方誤差為

其中（kT）可由輸入信號與輸出信號給出，

從式（7）可知，σ是1個關于的二次函數，對求導可得

式中：為參考信號（）的自相關矩陣；為輸入信號（）與參考信號（）的互相關矢量。

為了求得最優解，從式（8）可知，必須求得的逆，這在實際應用中需耗費較多的計算資源，且計算時間長。此時，引入最陡下降法獲取的遞推公式，簡化流程，取單個誤差樣本的梯度作為算法梯度，可以得到算法的遞推方程組

式中：為算法步長，控制算法的收斂速度和穩態精度。

式中：為虛數單位。

將的遞推式經變換得

聯立式（10）、（11）、（12）可得以輸出信號（）為輸出，輸入信號（）為輸入的傳遞函數

式（13）零點為±e ，±e 。當輸入信號頻率與參考信號頻率相等時，|G （）|=0。說明輸入信號中的轉速同頻信號與倍頻信號都能夠被濾除。選取轉速=3000 r/min，則此時轉速頻率=50 Hz，步長取值0.1、0.01、0.001，倍數=2，自適應帶阻濾波器G（）的波特圖如圖3所示。

圖3 自適應帶阻濾波器G（fz）的波特圖

從圖中可見，G （）此時可視為1個帶阻濾波器。從幅頻響應可見，3種不同的步長值均能夠濾除轉速同頻50 Hz與2倍頻100 Hz的信號，證明了傳遞函數零點分析的正確性。并且濾波器對于位于之外的頻率成分增益為1，為濾波的中心頻率，為對應中心頻率的阻帶帶寬，即中心頻率兩側最近的幅值增益為-3 dB的2個點之間的帶寬。與步長成正相關。當步長=0.1時，的值已經遠大于2個中心頻率之間帶寬，導致自適應帶阻濾波器對頻率在50～100 Hz之間的信號也起濾除作用，與自適應濾波器只濾除定點頻率的期望效果不符。而步長為0.001時，阻帶帶寬太小，當轉子加速時，由于受算法收斂速度的限制，導致自適應濾波器達不到理想的濾波效果。

從傳遞函數的相頻響應可見，自適應濾波器將會導致信號的相位畸變，并且步長越大，相位畸變越明顯，產生相位畸變的帶寬也就越大。當=0.001時，在第1個中心頻率，雖然畸變的超前角和滯后角都比較大，但畸變帶寬在2 Hz內，是1個比較小的尺度，因此對于信號整體相位的影響較小；而在第2個中心頻率，相角從0～2π的過渡十分平滑，對信號相位基本沒有影響。

加入自適應帶阻濾波器后的控制系統如圖4所示，、通道徑向控制解耦，以軸的徑向懸浮控制為研究對象。

圖4 加入自適應帶阻濾波器后的控制系統

圖中（）為懸浮控制的控制器，一般采取PD控制器的形式；G （）為功率放大器的傳遞函數；（）為轉子質心平動的動力學模型；，，分別為磁懸浮軸承的電流剛度系數、位移剛度系數、電渦流傳感器的位移電壓轉換比。G （）即為自適應帶阻濾波器的連續形式。以擾動位移（）為輸入，轉子平動位移（）為輸出，寫出控制系統的閉環傳遞函數

由式（13）可知

則有（）=0。此時，系統的輸出（）=0。同理，將=帶入式（14）得到（）=0。則在系統的位移輸出中將不含有與轉速同頻和倍頻的量，能夠有效抑制轉子的振動。再以擾動位移（）為輸入，電磁軸承產生控制力（）為輸出，得到該系統的控制系統的閉環傳遞函數

按照上述方法分析，在系統的控制力（）中也不包含含有與轉速同頻或倍頻的量。因此，通過單頻點的方法可以證明加入自適應帶阻濾波器后的控制系統（圖4）能夠抑制轉子的同頻以及倍頻振動。

1.3 模態頻點振動抑制

當轉子轉速即將達到其模態頻點時，不平衡振動將與磁軸承轉子系統的模態振動相互影響，引起更大幅度的振動。

磁軸承轉子系統的模態頻點是1個或多個固定的頻率值，可以通過仿真軟件計算推導得出、或在激振試驗和磁軸承轉子系統的調試過程中大致估算出模態頻率值。因頻率值固定，可加入1個固定頻率的自適應同頻放大器與自適應帶阻濾波器共同組成自適應濾波器。并且，當轉子轉速接近模態頻率時，自適應濾波器應當自動切換到固定頻率的濾波器。自適應同頻放大器（）的傳遞函數為

取=3000 r/min，收斂系數=0.1，自適應同頻放大器的波特圖如圖5所示，在頻點50 Hz處，（）的增益為無窮大，并且起放大作用的帶寬極小，而在放大帶寬外其它頻點處，（s）的增益基本都為0 dB。從相頻響應看，其相角也能在畸變后很小的帶寬內恢復為0。

圖5 自適應同頻放大器的波特圖

自適應同頻放大器（）的增益無窮大，不能單獨作為濾波器使用，不過可以將其接入負反饋回路中，利用其同頻信號開環放大倍數為無窮大，其余信號開環放大倍數為1，使得期望的同頻信號的閉環增益為0，同時不影響其它信號的閉環特性。接入（）后的自適應濾波器控制系統如圖6所示。

圖6 接入N（s）后的自適應濾波器控制系統

選擇不平衡靜力（）為輸入，轉子平動位移（）為輸出，得到控制系統的閉環傳遞函數

式中：（s）為牛頓第二定律的傳遞函數形式。

令=，帶入式（19）中得到

則（）=0。系統的輸出位移（）同樣為0，即轉速同頻的信號已被完全濾除，抑制了同頻振動，達到了最小位移控制的目的。

2 基于FPGA的自適應濾波器實現

2.1 SLMS算法

FPGA的特性決定了其能夠在1個相當高的頻率下穩定工作，而且擁有大量的乘加運算資源與存儲資源，具有完全并行化的結構設計，與自適應濾波算法的需求完全契合。

為使LMS算法的計算更符合FPGA的運算規則，使計算速度進一步加快，引入符號類LMS算法（Signed Least Mean Square，SLMS）簡化硬件復雜度。SLMS算法的主要思想是在權值更新環節引入量化誤差函數，對參考信號（）和誤差信號（）進行量化處理。而具體對哪一種信號進行量化，是SLMS算法類型的一種分類方法。僅對（）進行量化，稱之為符號-數據LMS算法；僅處理（），是符號-誤差LMS算法。由于在符號-數據LMS算法中對參考信號（）進行量化，使得算法權值更新的迭代方向與代價函數的最陡梯度下降方向不總是相同的，這導致在更新過程中平方誤差頻繁增大，從而出現不穩定問題。本文選用了更加穩定的符號-誤差LMS算法對自適應濾波器進行實現。

首先對誤差信號進行量化

式中：[]為量化計算函數，一般取符號sgn（）函數，即

步長可以取2的冪次方數，（）經過量化處理后只保留符號位，那么權值更新部分便不需要進行乘法運算，極大地簡化了算法的硬件復雜度。同時，為改進SLMS算法的收斂性能，可以采取一種新的3級量化策略

當-＜（）＜，誤差信號未達到閾值時，權值始終不更新，如果大于該閾值，權值更新方程為

從式（25）中可見，此時算法是一種時變步長的LMS算法，其收斂性能遠超其他的符號類LMS算法的，同時具備結構簡單、計算速度快的特點。

2.2 FPGA模塊結構

自適應放大器是對固定頻點進行濾波，只需要提前計算好濾波器權值系數即可，不需要對其權值實時更新，所以主要是對自適應LMS濾波器的結構進行設計。

自適應濾波器的頂層結構如圖7所示。從圖中可見，提取轉子位移模擬信號（），通過模數轉換器（Analog to Digital，ADC）轉換為數字信號，并作為LMS濾波器的輸入信號（）。通過轉速解碼模塊對輸入的轉速信號進行解碼獲得此時的轉速頻率，經過直接數字頻率合成（Direct Digital Synthesis，DDS）模塊得到與轉速相關的參考信號（）。模塊輸出則為濾波后的信號（）。若ADC的采樣頻率與控制器的控制頻率不相同，則還需要進行時間同步的處理。

圖7 自適應濾波器的FPGA頂層結構

LMS濾波器計算單元的結構如圖8所示。

圖8 LMS濾波器計算單元結構

圖中

只展示了LMS濾波器的同頻濾波模塊，以同頻的正弦及余弦信號為參考信號。而事實上，同頻濾波模塊與倍頻濾波具有復用性，只需要輸入倍頻的參考信號即可進行倍頻的濾波。LMS濾波器還具有可疊加性，將輸出（）與同頻信號濾波器的輸出相加后進入權值更新的環節，就相當于2個濾波器在結構上相串聯，但由于FPGA的并行計算特性，只會多出1個加法的計算時間，而不像DSP、Arm等嵌入式控制器，是2個濾波器計算時間之和。并且，當擾動信號為多個倍頻信號疊加，相應地串聯多個對應頻率的濾波器即可。此外，考慮到FPGA的計算特性，濾波器還采用了參考信號循環移位的方法構建高階濾波器，利用參考信號前后時刻間的關聯性使得每個基本單元具有相互補償作用，可以達到更好的濾波效果。即使參考信號輸入不完整，即參考信號只有正弦或只有余弦部分，也能夠達到濾波的效果。在同時采用定點數進行計算、主頻皆為150 MHz、均實現16階LMS濾波器的條件下，各類硬件平臺的型號及運算時間見表1。

表1 不同硬件平臺算法架構、型號及其運行時間

從表中可見，FPGA的運行速度約為DSP 28335平臺的25倍，約為ARM STM32F103平臺的81倍。由于FPGA的并行架構，濾波器的權值計算處于并行狀態，相當于16階的權值計算與1階的權值計算時間相等。相應地，ARM以及DSP均為串行計算，16階權值計算時間是1階權值計算時間的16倍。此外，FPGA以及DSP均能調用硬件乘法器，定點運算只需要1個時鐘周期即可完成，所以二者運算速度均遠超ARM的。同時，DSP在運算時需要消耗額外的時間來等待指令、存取數據。

3 仿真結果及分析

3.1 自適應頻率跟蹤振動抑制

自適應頻率跟蹤振動抑制仿真所用參數有：轉子質量=4.8 kg；位移剛度系數k=50000 N/m；電流剛度系數=125 N/A；傳感器位移-電壓轉換系數=8000 V/m；功放環節增益=0.00004 A/V；功放環節時間常數=0.0005，轉速=2000 r/min。對同頻及2倍頻位移成分抑制的仿真結果如圖9所示。仿真開始時轉子處于懸浮狀態，第2 s時啟動自適應濾波器。

圖9 對同頻及2倍頻位移成分抑制的仿真結果

從圖中可見，在第0～2 s時，由于自適應濾波器未開啟，在不平衡位移與倍頻擾動位移的共同作用下，轉子在軸上振動，并且位移信號的形式是轉速同頻與2倍頻信號疊加。啟用自適應濾波器后，轉子的位移迅速收斂，并在第4 s時基本收斂到0，證明了自適應濾波器對于轉速同頻及2倍頻位移信號能夠起到很好的抑制作用。

磁力響應的曲線如圖10所示。與位移響應類似，在第0～2 s時，控制器對轉速同頻與2倍頻信號疊加的位移信號響應，并輸出相應控制磁力，自適應濾波器開啟后，控制器對于位移信號的轉速同頻和2倍頻成分不響應，此時磁力曲線迅速收斂。證明了自適應濾波器對于磁力的振動能起到抑制的作用。

圖10 磁力響應曲線

在轉子以恒定加速度加速的過程中（加速度為5πrad/s），加入自適應濾波器后的位移響應如圖11所示。

圖11 加速過程位移響應曲線

從圖中可見，位移響應分2個階段：在第0～1 s時，處于收斂過程，濾波器的權值跟隨擾動頻率在持續變化，在自適應濾波器的作用下迅速收斂到1個較小值，約為原幅值的1/10；在第1 s以后，轉速在持續變化，參考信號的不斷變化使得權值在短時間內難以快速收斂，不能終止于維納解，即最優解，導致抑制效果差于定頻率的效果。

3.2 模態頻點振動抑制

模態頻點振動抑制仿真參數與頻率跟蹤參數相同。轉速達到模態頻點時，不平衡力是1個幅度為50 N的正弦信號形式。若不對這個力進行控制、補償，位移信號將會逐漸發散。

在反饋回路加入自適應同頻放大器后模態頻點的位移響應曲線如圖12所示。從圖中可見，轉速同頻的位移響應在1 s內迅速收斂到0附近。說明自適應濾波器對模態頻點的位移振動能起到完全抑制的作用。

圖12 模態頻點位移響應曲線

4 自適應振動抑制試驗

為驗證基于FPGA的SLMS算法自適應濾波器對特定頻率成分的抑制效果，進行自適應振動抑制試驗。試驗相關參數包括：FPGA時鐘頻率為10 MHz，ADC采樣頻率為50 kHz，輸入信號由1、5 kHz 2個頻率的正弦信號構成，幅度比值為1∶1，均為1.5 V，試驗目的為濾除1 kHz的正弦波干擾，而不破壞5 kHz的正弦波，從而檢驗算法的有效性。

輸入信號電壓隨時間變化關系如圖13所示。進入自適應濾波器后的誤差信號即所求信號，對其做傅里葉變換，其頻譜如圖14所示。

圖13 輸入信號電壓時間關系

圖14 誤差信號頻譜

從圖中可見，1 kHz頻率幅值減小了將近80%，而5 kHz頻率成分幅值沒有明顯變化，說明基于FPGA的自適應濾波器能夠完成濾除特定頻點的任務，且對于其阻帶帶寬外的頻率成分不會產生抑制作用。但由于受FPGA有效字長效應的影響以及ADC精度的限制，不能達到將特定頻率成分信號完全濾除的效果。

5 結論

（1）數值仿真表明，所設計的基于LMS算法的自適應濾波器對恒定轉速下的轉子同頻與倍頻振動以及模態振動能夠完全抑制，對加速狀態下的轉子振動能夠抑制90%左右。

（2）基于FPGA設計的SLMS算法自適應濾波器的模塊結構經試驗驗證對特定頻率成分的抑制效果達到80%以上。