精細龍格庫塔法計算變壓器繞組的過電壓分布

張 萍， 田豐源， 趙新賀， 王秋富

(1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業大學），天津 300130;2. 河北工業大學人工智能與數據科學學院，天津 300130)

0 引 言

氣體絕緣變電站(gas insulated substation)中隔離開關分合閘操作時會產生上升時間，為納秒級，暫態頻率高達兆赫茲的特快速暫態過電壓(very fast transient over-voltage，VFTO)[1-2]。當VFTO侵入大型電力變壓器等電氣設備時，極易破壞電氣設備的絕緣，給電力系統造成嚴重的經濟損失。受現場環境的制約，目前直接開展VFTO下大型電力變壓器繞組的絕緣實驗條件要求很高，所以仿真分析VFTO作用下的變壓器繞組過電壓分布具有重要的理論意義和工程價值[3-4]。

目前針對變壓器繞組建模分為3種：集中參數模型、集中-分布參數混合模型、分布參數模型。集中參數模型是把變壓器線圈劃分為若干單元，把每單元用集中電感、電容、電阻來表示，它的適用頻率范圍比較窄，適應于低頻和中頻情況下的建模[5]。集中-分布參數混合模型是把變壓器繞組分為兩部分，對其重點研究的部分采用分布參數模型進行建模，對其他線餅采用集中參數模型進行建模，這樣雖然避免了大量的計算，但變壓器繞組中的電磁場是緊密耦合的，此方法破壞了電磁場的連續性，結果容易產生偏差[6]。分布參數模型是以變壓器線匝為單元，每一匝看成一根傳輸線，根據線匝的電氣連接順序，求得變壓器繞組上電壓與時間和空間的關系。當需要考慮參數的頻變效應時，可以在頻域中計算電壓的響應。這種模型更加準確，并且適應于高頻情況，更能反映出VFTO作用下變壓器繞組內過電壓分布的規律[7]。

文獻[8]對變壓器的多導體傳輸線方程離散成微分方程組以后，使用精細積分法求解，但這種方法涉及到大量的矩陣運算，會造成誤差過大、計算效率過低。針對此不足，在前人基于分布參數模型對變壓器繞組建模的基礎上，提出了精細龍格庫塔法計算電力變壓器繞組過電壓分布，采用矢量匹配法和遞歸卷積處理頻變參數的方法。該方法在非線性動力學與結構力學方面得到了廣泛應用，該文將其應用到變壓器繞組過電壓求解領域。通過仿真結果和實際測量結果相比較，精細龍格庫塔法相比較于精細積分法，誤差更小，計算效率更高。

1 精細龍格庫塔法

1.1 多導體傳輸線模型

對連續式變壓器而言，將變壓器繞組在每匝換位處打開，不考慮傳輸線的頻變效應，變壓器繞組就等效為線匝長度均為l且每根互相耦合首尾相連的多導體傳輸線模型，如圖1所示[9]。

圖1 多導體傳輸線模型

模型的時域形式為：

式中：u和i——距離始端x處的電壓、電流向量；

R、L、G、C——單位長度傳輸線的電阻、電感、電導、電容矩陣。

1.2 多導體傳輸線模型的空間離散

變壓器繞組的多導體傳輸線模型的電報方程是偏微分方程組，采用歐拉公式對傳輸線的電報方程進行空間離散。

為了介紹方便，以變壓器繞組的單導體為例進行說明。圖2中傳輸線長度為l，把它按照空間距離分為M段，那么每一段長為Δx=l/M。

圖2 傳輸線的分段

假設傳輸線的首端接電阻為RS，末端接電阻為RL，邊界條件為：

假如傳輸線的分段數為M，把分段處的電壓和電流看作自變量，此時有2M+2個自變量，結合邊界條件式(2)整理得要求解的變量為2M個。

運用歐拉公式對式(1)進行空間離散，其中式(1)的第二式在(k+1)h處離散，第一式在kh處離散得：

其中h為空間的步長，k=0,1,2, ···,M。

式(3)變換得：

其中u1,u2,···,uM是狀態變量。

式(4)變換得：

其中i0,i1,i2,···,iM-1是狀態變量。

經歐拉公式離散后的傳輸線方程包含了2M個獨立的狀態變量，根據式(2)將u0用i0線性表示，iM用uM線性表示，得線性常態狀態方程組：

其中F為常數矩陣。

對于多導體傳輸線模型，就是將具有N匝的變壓器線圈用N根頻變的耦合傳輸線進行建模，每根傳輸線分為M段，可得公式(7)，相應的參數將變為矩陣和向量。

1.3 精細積分法

精細積分法是常用的求解微分方程方法，該方法適用于齊次和非齊次常微分方程的求解[10]。該文將使用精細積分法求解式(7)，得到變壓器繞組在VFTO作用下的過電壓分布。

由常微分方程組的理論可以知道，式(7)的解可以寫為：

時間步長設為δ，一系列等長δ的時刻為：tj=jδ,j=0,1,2,···，當t=jδ，有：

經過推導，在tj≤t≤tj+1的任意時刻，有：

當t=tj+1=(j+1)δ時，有：

式(13)為精細積分法求解VFTO作用下的過電壓公式，但單純采用精細積分法會涉及到大量的矩陣運算，造成計算量過大，而且還帶來較大的計算誤差。所以在求得式(13)以后，使用龍格-庫塔法求解式(13)等號右邊的積分項，這樣就避免了大量的矩陣運算，使誤差減少，計算速率更高。

1.4 龍格-庫塔法

龍格-庫塔法是一種求解常微分方程的高精度算法，其中4階龍格-庫塔迭代法因精度高、穩定區域廣、編程簡單被經常采用[11]。本文采用4階龍格-庫塔迭代法求解式(13)等號右邊的積分項，得到VFTO作用下大型電力變壓器繞組過電壓與時間和空間的關系表達式，如下式所示：

式中：k1,k2,k3,k4——4階龍格-庫塔方法的系數；

δ——時間步長。

2 頻變參數的處理

變壓器繞組的分布參數在頻率較高的情況下，會出現明顯的頻變，該文用矢量匹配法和遞歸卷積處理頻變參數[12]。以集膚效應為例說明。

高頻集膚效應時，單位長度電阻為：

式(1)的第一式可寫為：

式中：ki——第i個極點；

pi——第i個留數。

代入式(16)得：

式中：n和m——和L(s)匹配的階數；

k——極點；

p——留數。

將式(17)進行拉氏反變換得：

其中λ1和λ2為卷積項：

采用同樣的方法，對式(1)的第二式進行相應處理。

對任意空間點x， 式(19)做以下變換：

設時間步長為τ， 在時刻n有以下遞推關系：

其中：

式(21)等號右邊可以進行同類項合并，整理可得標準的狀態方程。

3 方法驗證和算例分析

首先對文獻[13]中的變壓器模型進行仿真，與實測結果進行對比，驗證了所提方法的準確性，并仿真了本課題組的一臺由18餅，每餅10匝構成的連續式變壓器模型。

3.1 方法驗證

文獻[13]中變壓器的結構參數如表1所示。

表1 變壓器結構的基本參數

使用該文的方法，可得：

式（22）可化簡為：

其中=R1+L1。

頻率范圍選取的是1～107Hz，采用對數平均分布104個頻點，矢量匹配的階數為10階，遞推7次，匹配前后均方差為 9 ×10-3， 圖3為矢量匹配的幅頻特性曲線圖。

圖3 矢量匹配的幅頻特性曲線

圖4為文獻[13]中所施加在變壓器繞組上的電壓源，圖5～圖7為精細龍格庫塔法與精細積分法仿真的第100、200、400匝末端過電壓。

圖4 電壓源

圖5 第100匝末端過電壓

圖7 第400匝末端過電壓

比較使用本文方法仿真的第100匝、200匝、400匝的結果和文獻[13]的實測結果，發現實測結果和仿真結果基本相一致，證明了本文算法的準確性。

圖6 第200匝末端過電壓

表2為實測與仿真輸出電壓峰值對比，由精細龍格庫塔法計算出來的第100匝與實測值的誤差為1.2%，第200匝的誤差為1.3%，第400匝的誤差為2.1%，而使用精細積分法計算出來的第100匝、200匝、400匝的誤差分別為3.8%、4.8%、3.7%，通過對比分析可知，使用精細龍格庫塔法的誤差均小于精細積分法的誤差。所以精細龍格庫塔法在計算變壓器繞組過電壓分布比精細積分法更加有優越性。表3為在同等條件（CPU2.2 GHz，4 GB內存）下兩種方法耗時比較，使用精細龍格庫塔法計算時間為325 s，精細積分法計算時間為653 s，經計算，精細龍格庫塔法比精細積分法減少50.2%的計算時間。

表2 測量和計算峰值對比

表3 方法耗時比較

3.2 算例分析

采用精細龍格庫塔法對本課題組的一臺變壓器模型進行仿真分析，變壓器模型如圖8所示。此變壓器線圈為連續式繞組，共18餅，每餅有10匝，變壓器繞組的俯視圖如圖9所示，基本參數如表4所示。

圖8 變壓器繞組模型

圖9 變壓器繞組俯視圖

表4 變壓器模型的基本參數

采用有限元方法求得該變壓器模型的匝對鐵芯的電容Cg=35 pF、匝間電容Ct=144 pF、餅間電容Cs=15 pF[14]。變壓器繞組過電壓仿真結果如圖10所示。

圖10中(a)為對變壓器繞組施加的上升沿20 ns、幅值為500 V的VFTO電壓源，圖(b)～圖(f)為變壓器繞組第10、20、35、50、70匝末端的過電壓分布圖。

由圖10可知，最大的匝間過電壓出現在靠近變壓器繞組首端的線圈，例如第10匝線圈約為電壓源最大幅值的60.2%。假如大型電力變壓器長時間工作在電壓幅值過高的情況下，對變壓器的正常運轉是極其不利的，很容易造成線圈的擊穿，發生嚴重的事故。在生產設計變壓器結構時，應著重考慮變壓器首端的絕緣措施，防止事故的發生。且由圖10可知，變壓器繞組過電壓的上升陡度在靠近繞組首端的線圈過大，之后隨著匝數的增加，逐漸變緩。例如第10匝過電壓峰值時間為44.12 ns，第35匝的峰值時間為84.72 ns。如此陡的過電壓長時間侵入變壓器繞組中，會造成繞組的絕緣老化，且其中含有的高頻分量可能會造成諧振現象的發生。

圖10 變壓器繞組過電壓分布

4 結束語

本文建立了大型電力變壓器繞組的多導體傳輸線模型，提出了基于精細龍格庫塔法計算變壓器繞組過電壓分布的方法，并采用矢量匹配法和遞歸卷積處理頻變參數。通過仿真結果和實測結果相比較，驗證了本文方法的準確性，所得結論如下：

1）以線匝為單元的多導體傳輸線模型，采用精細龍格庫塔法計算變壓器繞組過電壓分布的仿真結果與實測結果相符合，證明了此方法的準確性與可行性。

2）精細龍格庫塔法相比較于精細積分法，解決了其大量矩陣運算問題，計算誤差低至1.2%，計算時間減少了50.2%。

3）最大的匝間過電壓出現在靠近變壓器繞組首端的線圈，假如變壓器長時間工作在這種情況下，對變壓器的運轉極其不利，應著重考慮變壓器首端的絕緣措施，防止事故的發生。

4）過電壓的上升陡度越靠近繞組首端，其陡度越大，之后隨著匝數的增加，逐漸變緩。