探尋問題本質 落實核心素養
——以2021年浙江省各地區中考函數試題為例

樊潔瑩 杭州師范大學數學學院 311100

陸吉健 杭州師范大學經亨頤教師教育學院 311100

引言

數學對于人的發展是至關重要的，它時時刻刻都在我們身邊，不論是在日常生活中，還是研究中.數學作為一門基礎學科，因為它的重要性，使得它在整個中考教學體系中的主導作用彰顯無遺.函數蘊含著變化，這不僅讓初中學生在學習函數后對于數學知識有一個新的認知，也使得函數出題方式多種多樣，出題難度可難可易，可以考查函數的圖像與性質，可以將函數與其他數學知識結合起來，也可以將函數與日常生活實際應用結合起來.如何科學而富有新意地對中考函數進行命題，發揮其重要的指引作用，這一點十分值得研究.值得一提的是，初中階段函數知識的學習有利于提高中學生的數學素養.

2021年浙江省十市中考數學試卷函數題型分類評析

函數的考查題型可基本分為六大類，分別是“函數基本型”“函數代數型”“函數幾何型”“函數應用型”“函數動點型”以及“函數最值型”.

筆者將2021年浙江省十市中考數學試卷中涉及函數知識試題進行相關分類，結果如表1所示：

表1 2021年浙江省十市中考數學函數題型分類統計表

通過上表可以看出，2021年浙江省十市中考數學試卷對每一種題型的考查都有所涉及.其中函數基本型、函數代數型和函數最值型考查頻率較高，說明命題人注重基本概念的考查，要求學生思維多樣化并希望學生能夠把所學知識應用到實際中去，這是非常好的現象.

1.函數基本型

例1（2021金華中考）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數y=-的圖像上.若x1＜0＜x2，則（ ）

A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1

C.y1＜y2＜0 D.y2＜y1＜0

例2（2021紹興中考）Ⅰ號無人機從海拔10 m處出發，以10 m/min的速度勻速上升，Ⅱ號無人機從海拔30 m處同時出發，以a（m/min）的速度勻速上升，經過5 min兩架無人機位于同一海拔高度b（m）.無人機海拔高度y（m）與時間x（min）的關系如圖1所示.兩架無人機都上升了15 min.

圖1

（1）求b的值及Ⅱ號無人機海拔高度y（m）與時間x（min）的關系式；

（2）問無人機上升了多少時間，Ⅰ號無人機比Ⅱ號無人機高28 m.

例3（2021寧波中考）如圖2所示，二次函數y=（x-1）（x-a）（a為常數）的圖像的對稱軸為直線x=2.

圖2

（1）求a的值；

（2）向下平移該二次函數的圖像，使其經過原點，求平移后圖像所對應的二次函數的表達式.

評析以上例題分別考查的是反比例函數、一次函數、二次函數三種基本初等函數的圖像及其單調性，此類型試題是各地中考的常見題型，要求學生理解并掌握初等函數的解析式和圖像性質，并且能夠將其熟練運用于具體題目情境中；要求學生能夠充分理解兩者結合的特定情境下的解題技巧.而函數作為數學的代數知識和幾何知識的綜合，更加要求學生熟練掌握函數的圖像法和解析法以及兩者結合使用的綜合法［1］.

2.函數代數型

例4（2021嘉興、舟山中考）已知點P（a，b）在直線y=-3x-4上，且2a-5b≤0，則下列不等式一定成立的是（ ）

評析本題將一次函數與不等式結合了起來，其意思與“若-3a-4=b，且2a-5b≤0，則等式一定成立的是”相同.在一次函數的背景下，要求學生將圖像上的點轉化為等式中的點，不僅有效考查學生對一次函數性質的理解，而且將函數與不等式相結合，使得題目變得更為“豐滿”.此外，還可以用數形結合的思想求解該類問題，更加直觀.值得一提的是，本題為選擇題，可以利用分別代入驗證的方法求解此問題.在實際教學中，教師應該注重此類問題的多種求解方法，多方面深入剖析求解過程.

3.函數幾何型

例5（2021年杭州中考）如圖3所示，在平面直角坐標系中，函數y1=（k1是常數，k1＞0，x＞0）與函數y2=k2x（k2是常數，k2≠0）的圖像交于點A，點A關于y軸的對稱點為點B.

圖3

（1）若點B的坐標為（-1，）

2，

①求k1，k2的值；

②當y1＜y2時，直接寫出x的取值范圍；

（2）若點B在函數y3=（k3是常數，k3≠0）的圖像上，求k1+k3的值.

評析本題重點考查了反比例函數、一次函數、點的對稱性質，以坐標軸和反比例函數曲線為基礎背景，要求學生能根據已知條件即點的對稱性質求出各點坐標，從而求出函數表達式，再根據圖像信息，解答取值范圍等問題.根據此題得到啟示，教師在解題教學中可采用引導探究的方式，引導學生透徹理解問題［2］，同時應當注重培養學生的數學作圖分析能力，引導學生自己動手參與實踐.

4.函數應用型

例6（2021年臺州中考）電子體重秤讀數直觀又便于攜帶，為人們帶來了方便.某綜合實踐活動小組設計了簡易電子體重秤：制作一個裝有踏板（踏板質量忽略不計）的可變電阻R0，R1與踏板上人的質量m之間的函數關系式為R1=km+b（其中k，b為常數，0≤m≤120），如圖4所示；在圖5所示的電路中，電源電壓恒為8 V，定值電阻R0的阻值為30 Ω，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數為U0，該讀數可以換算為人的質量m，

圖4

圖5

溫馨提示：①導體兩端的電壓U，導體的電阻R，通過導體的電流I，滿足關系式I=

②串聯電路中電流處處相等，各電阻兩端的電壓之和等于總電壓.

（1）求k，b的值；

（2）求R1關于U0的函數解析式；

（3）用含U0的代數式表示m；

（4）若電壓表量程為0～6 V，為保護電壓表，請確定該電子體重秤可稱的最大質量.

評析題目以現實生活中電子體重秤為背景，是借助現實生活中的事件完善題目，主要考查的是學生對一次函數圖像的理解與實際應用，與前幾年試題相比，如今題目雖然花哨，但其中所考查知識點仍然不變，然而還要求學生在正確理解題目的基礎上，將問題中所給文字語言和圖像語言轉換成數學符號語言，只有正確轉化之后，才能求出一次函數解析式，進而才能借助函數這個橋梁完成一系列問題，可謂一環扣一環，也說明數學人要具備膽大心細的特質.在日常教學中，教師應當注意強調數學符號語言的重要性和數學“從生活中來，到生活中去的”的實際意義，注重培養學生的數學抽象素養和數學建模核心素養，注意引導學生將非數學化語言轉換成數學語言文字，學會用簡單字母表示問題中較為冗長的語言文字.在教學實施過程中，像“用字母表示數”這一課要特別注意，其內容雖然基礎，卻是一塊不錯的墊腳石，為今后數學學習發展做好鋪墊.

5.函數動點型

例7（2021年湖州中考）已知在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數y=（x＞0）圖像上的一個動點，連接AO，AO的延長線交反比例函數y=（k＞0，x＜0）的圖像于點B，過點A作AE⊥y軸于點E.

圖6

圖7

評析本題是反比例函數與點的軌跡相結合的“函數動點型”問題，著重考查學生的邏輯分析推理能力，雖然本題考查難度遠高于課標之上，但對提高學生的空間能力、邏輯思維能力有著較大的促進作用.本題所給反比例函數解析式中存在兩個未知數，因此反比例函數圖像也會隨著未知數的變化而相應改變，另外也可能出現多種情況，由此抓住題中的關鍵信息是解題的關鍵.本類型題目，如果單靠畫圖解答，會將問題復雜化，因此在實際教學中，教師應當注意引導學生用各類數學思想處理問題，比如常見的數形結合思想、整體思想以及化歸思想等.

6.函數最值型

例8（2021年衢州中考）（1）一座拋物線形拱橋的側面示意圖如圖8所示，水面寬AB與橋長CD均為24 m，在距離D點6 m的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5 m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系.

圖8

（2）如圖9所示，橋面上方有3根高度均為4 m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1 m.

圖9

①求出其中一條鋼纜拋物線的函數表達式；

②為慶祝節日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值.

評析本題是“函數最值型”考題，考查的知識點是二次函數的典型最值性質，著重考查學生的邏輯思維分析和邏輯思維推理能力.本題所給啟發：教師在實際教學過程中，應該注重培養學生的數學素養以及數學邏輯能力，并且引導學生充分利用“選擇題”此類特殊題型的特點對試題進行多方位剖析，幫助學生建立“特殊到一般”的歸納思想.

從中考函數試題中看數學核心素養

函數基本型試題主要體現的是數學運算能力，這是初中階段的學生最應具備的能力.事實上，每道數學題都在考查學生的數學運算能力，如果在這個方面丟分，實在可惜.

而函數動點型試題主要體現的是邏輯推理能力，在難度遠高于課標要求的情況下，要求學生有較為嚴謹的邏輯分析和邏輯推理思維，根據不同情況下的動點條件一一作答.

拿上文中例6來講，該題將函數應用從傳統的代數領域擴展到平面幾何領域，并且和實際事例相結合，拓展了初中階段函數應用的新思路，豐富了對學生數學建模素養的考查方式，也豐富了實際教學中如何形成、培養、發展學生的數學建模核心素養的途徑［3］.另一方面，函數解析式和函數圖像密切相關，這就又涉及了直觀想象素養.中學階段是對學生直觀想象素養培養較為關鍵的階段，因為處于萌芽時期的學習奠定了今后的學習狀態；中學階段，剛剛較為深入地接觸到幾何知識，恰好高中立體幾何的學習正是需要初中萌芽時期幾何的鋪墊，因此直觀想象素養的合的函數試題顯得更加新意滿滿，在為解決問題的方法方面提供了更多可能性，也為考查直觀素養提供了更多可能性.

除了上述已提及核心素養，數據分析和數學抽象核心素養雖然未在中考函數試題中有所體現，但關注面向信息化未來的數據分析素養的培養，并堅守數學基礎的數學抽象素養的培養也顯得尤為重要［4］.

實際教學中如何培養數學核心素養

數學核心素養的培養要通過學科教學和綜合實踐活動課程來具體實施，在核心素養下，建立初中數學高效課堂是當今教學發展之必經之路.初中數學教師要實現通過有效課堂的構建來助力學生核心素養的發展，就應將學生放在教學的正中央，通過以滿足學生的核心素養發展需求為目標.

課標中提到“綜合與實踐”式教學方式，其重在綜合也重在實踐，主張教師在日常教學活動中應將主動權交給學生，引導學生積極主動參與課堂，主動分享所思所感.這也呼應了教師觀中應發揮教師主體地位和發揮學生主導作用相結合的理念.在正式實施該教學方式時，教師應時刻謹記，讓學生參與實際活動應該積累活動經驗、展現思考過程、交流收獲體會、激發創造潛能［5］.

除了上述所提的教學方式應當普及，縱觀當今初中數學課堂，教師應該在教學方式上有所突破，努力為培養學生數學核心素養做出努力.在構建高效數學課堂的情境下，教師的教學設計也應當朝著高效設計看齊，所給案例應當從實際生活中所取，從而增加課堂趣味性，另外中考試題也越來越“接地氣”，如此所做，也可盡早幫助學生適應中考之變；其次課堂中要適當性地增加互動次數，無論是師生之間還是生生之間，相較傳統被動接受式教學，在交流中學習更有助于思維的橫、縱向發展，也更有利于發展學生的數學核心素養；最后，在問題中拓展思維是關鍵，因此在如此有限的45分鐘課堂內，教師更應嚴格把控問題的精準性及有效性.