引導探究，逐層深入
——一節數學實踐活動課的教學實錄

張玉娥 甘肅省武威第十九中學 733000

范軍 甘肅省武威第二十四中學 733000

教學背景

七年級數學題中經常會碰到這樣一道題：一件商品成本m元，如果按成本增加12%定價，商品的售價應該是多少？現在由于活動促銷，按原價的75%出售，現在售價應該是多少？每件商品的盈利是多少？以這樣的題目為基礎，在考試和練習中還會出現變式訓練題：一種商品，先提價15%，以后又降價15%，現在的價格與原來商品的價格發生了怎樣的變化？由于初中生的生活經驗不足，故對于成人理解比較容易的利潤率，他們反而較難理解.即使在講解時教師明確了如何進行計算，學生還是覺得模糊不清，難以明晰.

鑒于上述情況，當時學生所接觸到的有關數的計算還較少，所以筆者對這個問題并沒有深究.在學生學習了分式計算后，筆者決定開展一節數學實踐活動課，來解決這道當時困擾他們的疑難問題，幫助他們提高分析問題和解決問題的能力.

指導思想

教師要轉變教學觀念，以學生為主體，關注全體學生的發展，引導學生主動參與，積極交流合作.在教學中通過開展教學互動，引領學生體會活動過程，積累活動經驗，培養表達能力，增強學習信心.

設計思路

通過開展數學活動，設計問題，引導學生針對問題進行探究，從發現問題到提出問題，從分析問題到解決問題，最后交流體會，反復經歷思維活動過程.在相互交流中，學生加強課堂互動，吸取學習經驗，不斷提升自己運用知識解決問題的能力.

教學過程

師：同學們，我們看一下這道題目，你還知道它的答案嗎？

問題1：一種商品，先提價15%，以后又降價15%，現在的價格與原來商品的價格發生了怎樣的變化？

生1：價格不變.

生2：不對，價格下降了.

學生爭論不休，沒有肯定的答案.

生3：老師，我可以這樣計算，設原來的價格為a，則現在的價格為a（1+15%）（1－15%）=0.9775a＜a，所以商品的價格應該是下降了.

師：很好，那么我把這道題目變一下，大家看看答案又是什么？

問題2：一種商品，先降價15%，以后又提價15%，現在的價格與原來商品的價格發生了怎樣的變化？

生1：肯定是提高了.

（不一定吧，也許是不變，學生竊竊私語，有的學生開始安靜下來進行列式計算.）

生4：老師，我列出了式子，a（1－15%）（1+15%）=0.9775a＜a，價格還是下降了.

師：剛才兩個問題讓我們知道所有的數學問題不能想當然解決，應該通過計算，用數據說話.為什么剛才兩種情況都是降價呢？請大家討論，注意用數據說話，可以舉例說明.

第一小組：我們組列舉了一個特殊值，假設商品原價是100元，第一種是先提價，商品價格變為115元，接著在115元的基礎上降價，降價比提價要多，所以最終商品價格下降了.第二種是先降價，商品價格變為85元，接著在85元的基礎上提價，提的價比降的價少，所以最終價格也是降低了.

（聽完第一組的匯報，學生又開始討論，第二組率先舉手.）

第二小組：我們組沒用取特殊值，假設商品原價是a元.先降價，下降了a的15%，降得多，價格變為0.85a；再提價，價格提高了一個較小數的15%，提得少，因此價格比原來降低了.

師：很好！我們可以看到不管是先提后降還是先降后提，只要提和降的百分率相同，價格都會比原價低，但是問題1和問題2最終的價格一樣嗎？

生4：價格一樣，因為列的兩個式子按照乘法交換律是相等的，所以結果自然相等.

師：是的，如果提價和降價的百分率變了，會影響比較的結果嗎？

問題3：如果提價和降價的百分率都為10%，大家覺得結果是什么呢？

（學生不再脫口而出，開始低頭計算.）

生5：結果還是比原價低，a（1+10%）（1－10%）=a（1－10%）（1+10%）=0.99a＜a.

師：從這里我們可以看到不管是先提價還是先降價，只要提價和降價的百分率相同，總價都會比原價低，而且提價和降價的百分率越高，與原價的差距越大.讓我們好奇的是最終的價格和百分率有什么關系呢？請大家討論一下.

生6：我們可以利用平方差公式發現其中的關系，當百分率為10%時，最終價格是a（1+10%）（1－10%）=a（1+0.1）·（1－0.1）=a（1－0.12）=a（1－0.01）=0.99a；當百分率為15%時，最終價格為a（1+15%）（1－15%）=a（1+0.15）（1－0.15）=a（1－0.152）=0.9775a

師：非常好，如果我們把百分率用x來表示，你能發現其中的規律嗎？

生6：應該可以這樣表示a（1+x）（1－x）=a（1－x2）.

師：好的，現在對于降價和提價百分率一樣的情況，我們已經很清楚了，價格都會比原價低.如果想讓變化后的價格和原價一樣，百分率就不能一樣，那么提價和降價的百分率之間應該是什么關系呢？

問題4：一種商品，先提價25%，再降價20%，現在的價格與原來的價格發生了怎樣的變化？

（學生討論之后，在黑板上進行展示.）

生7：我們把原價看成1，變價后的價格可以表示為1×（1+25%）（1－20%）=1×1.25×0.8=1，所以價格和原來是一樣的.

師：怎么樣才能使價格不變，大家發現其中的秘密了嗎？

生8：我知道了，一開始提價之后，價格變高了，再降價的百分率就要少一些，這樣價格就不會改變.

生9：我發現（1+25%）（1－20%）=1.25×0.8=1，所以價格是不變的.

師：大家的觀察都很仔細，想保持原價，在先提后降時，降價的百分率要比提價的百分率小.如果先降后提，想保持原價，那么百分率又是什么關系呢？

（馬上就有學生舉手回答.）

生10：先降后提，因為一開始價格降低了，所以在提價時百分率只有高一點，才能保持原價.

生11：我們從數據計算也可以這樣看，（1+25%）（1－20%）=（1－20%）（1+25%）=1，通過乘法交換律發現結果不變，我們也可以理解為先降價20%，再提價25%，這樣結果不變，回到原價.

師：這樣看來，只要保持降價百分率比提價百分率低，就能保持原價不變.至于是先降價還是先提價，其實都沒有關系.

（學生一致表示同意.）

師：我們還需要考慮一種情況，只知道一個百分率，但是又要保持價格不變，怎樣才能很快算出另一個百分率呢？有沒有一個公式可以直接套用呢？

問題5：一個商品，如果先提價百分率為x，再降價百分率為y，要想保持價格不變，兩個百分率之間應該是什么關系？

（學生經過較長時間的討論，最后選出幾位代表發言.）

生10：我們仿照問題4可以這樣列出一個算式：（1+x）（1－y）=1，因此1－y=，通過化簡可以得出y=

師：太厲害了，這個算式可以在我們知道提價百分率的情況下，輕松算出降價的百分率.如果我們知道的是降價百分率，需要去算提價百分率，這時該如何操作呢？

生9：老師，這非常簡單，我們同樣可以利用上面的算式進行化簡計算，x=

生8：這些式子太麻煩了，我們也記不住，我覺得不如這樣統一，x－y=xy.也就是說提價百分率比降價百分率要高出兩個百分率的乘積.

（這些算式還是太復雜了.）

生12：老師，上面的計算結果雖然是對的，但是過程太麻煩了，有沒有更加簡單的方法呢？

師：我們一起看黑板，還是按照單價1 進行計算，如果說一種商品提價25%之后，需要降價多少百分率才能跟原價一樣呢？首先提價后的價格為1×（1+25%）=，要想回到原價，需要乘以它的倒數，也就是1－，相當于降價了20%.我們也可以換個數據試一下，假如降價25%，要提價多少，才能回到原價？降價后的價格為1×（1－25%）=，恢復到原價也就是乘以它的倒數，也就是1+.通過這兩個舉例，你們發現規律了嗎？你能用字母表示這種關系嗎？

師：很好.我們檢驗一下能不能用它解決具體的問題呢？

問題6：一種商品，提價了10%，現在活動結束恢復原價，應該降價多少百分比？（精確到0.1%）

（學生思考后紛紛得出答案9.1%.）

師：這節課就上到這里，大家覺得自己探究出來的結論是不是印象特別深.各位同學的表現都非常棒，積極參與討論，踴躍思考.希望大家能記住這種探究方法，在以后的學習中也能積極主動地參與探討.

教學反思

學生是學習的主體，教師的教學應圍繞學生的具體學情來展開.在本課中，教師通過設計一組問題，引導學生主動探究，充分調動學生的主觀能動性，展開師生互動或生生互動.在交流互動中，學生展現了從發現問題到提出問題，從分析問題到解決問題的能力，與新課標的要求是不謀而合的，這也是我們想要取得的教學效果.