基于“單元”視角，設計問題驅動
——以“圓周角（第2課時）”教學設計為例

徐強

江蘇省南通市海門區教師研修中心 226100

寫在前面

“雙減”背景下，探索“單元”整體教學，讓課堂更“飽滿”是提升“作業質效”的路徑之一.初中數學如何從“課時”教學轉向“單元”教學？重構學材，讓學生將所學的知識結構化，從而成為實現提升“作業質效”，培育學生核心素養的重要方向和主要途徑.《義務教育數學課程標準（2011年版）》中也明確指出：數學知識的教學，要注重知識的生長點與延伸點，把每堂課教學的知識置于整體的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.這表明從“課時”教學轉向“單元”教學就是需要教師進行“單元”視角下的教學組織，而這已經成為當下很多數學教師的自覺追求，他們積極踐行“在整體之中看局部”“在建構之中學知識”.筆者作為全國著名特級教師李庾南老師創立的“自學·議論·引導”教學法推廣專家組成員之一，持續在研究“單元”視角下的“學材再建構”［1］.本文結合“圓周角（第2課時）”課例，談談如何基于“單元”視角，設計問題驅動，讓學生課內吃飽吃好，課后作業減負且更有效.

“圓周角（第2課時）”教學設計

（一）教材分析

1.地位作用

本節內容選自人教版教材九年級上冊第二十四章第一節第5 課時，即24.1.4圓周角第2課時，主要內容是能證明圓內接四邊形的性質，并會用之解決相關計算和證明等問題.大多數教師不會從整體的角度把握教材僅孤立地看本節內容，淺顯地將本節設計成“圓內接四邊形”.忽略了一個問題：教材為什么將本節課題定為“圓周角”而不是“圓內接四邊形”？筆者以為教材這樣安排一方面是突出聯系，圓內接四邊形的四個內角都是圓周角（“課時”視角）；另一方面更重要的是突出轉化，積累圓中角轉化的路徑與方法（“單元”視角），而這在探索或運用圓中角的相等、互余、互補等關系是至關重要的［2］.

為此，筆者基于對教材的理解與學生的認知基礎，對學材進行了重構，以“圓周角轉化的路徑與方法”為主線對教材內容進行了整合與設計，并確定了本課時的目標、重難點.

2.教學目標

（1）了解圓內接四邊形、四邊形外接圓等相關概念；

（2）證明圓內接四邊形的性質，進一步積累圓中角轉化的路徑與方法.

3.教學重點與難點

（1）教學重點：圓中角轉化的路徑與方法；

（2）教學難點：會用圓中角轉化的方法解決與圓有關的角度計算與證明.

基于以上認識，筆者進一步思考——設計怎樣的“問題鏈”，更能抓住學生的思維和調動學生學習的興趣，讓學生在有限的時間內釋放更多的學習能量，從而實現目標，于是形成了如下“教學過程”.

（二）教學過程

1.回顧與梳理

問題1：結合圖1你能說說什么是圓周角嗎？

圖1

問題2：你能在圖1中畫出一個等于∠ABC兩倍的角嗎？理由是什么？

問題3：你能在圖1中畫一個∠ABD，使∠ABD＝∠ABC嗎？理由是什么？

問題4：如果在圖1中作直徑BD，你能發現∠ABC與∠ADC有何數量關系？理由是什么？

問題5：方法建構，你認為轉化一個圓周角有哪些路徑與方法？

活動預設教師利用PPT 動畫功能，漸次呈現相應問題.通過說圖、畫圖，交流學過的圓周角的相關知識，圓周角轉化的路徑與方法.問題1由學生直接回答，問題2和3由學生展示畫圖過程并闡釋畫圖依據，問題4和5由學生先獨立思考后小組交流、全班展示展講.

設計意圖首先，通過一系列逐層遞進的問題迅速喚醒學生前一課時所學習的圓周角的定義、圓周角定理及其推理.然后，在學生已有的認知規律和經驗基礎上，總結歸納轉化圓周角路徑與方法，為進一步探究做好鋪墊.

2.探究與發現

問題6：在剛才的圖形中，四邊形ABCD具有怎樣的特點？

問題7：如圖2，四邊形ABCD內接于⊙O，∠A與∠C、∠B與∠D之間有怎樣的數量關系？

圖2

問題8：如何證明“圓內接四邊形對角互補”？

活動預設教師先引導類比圓內接三角形，讓學生嘗試歸納表述圓內接四邊形等概念并板書，再放手讓學生猜想“圓內接四邊形對角有怎樣的數量關系”，并追問“是如何猜想的”，最后由學生自主證明“圓內接四邊形對角互補”.學生在組內交流匯總不同的方法，小組代表全班展示.

設計意圖一方面通過問題6—8延續“回顧與梳理”環節，自然給出圓內接四邊形等概念，同時讓學生先感受特殊到一般的結論推廣，再回歸特殊證明路徑，體會數學證明的必要性和嚴謹性；另一方面由自主思考到小組討論，最后全班展示發現并證明“圓內接四邊形對角互補”，將探索的主動權完全交給學生，增強了學生的自主能動性、自信心，讓學生進一步理解圓周角轉化的方法與依據，靈活地選擇方法來證明.

3.運用與鞏固

問題9：如圖3，點A，B，C，D 在⊙O上，點E是BC延長線上一點，已知∠A＝100°，則∠DCE=______.

圖3

問題10：如圖4，A，B，C是⊙O上三點，已知∠AOC＝130°，則∠ABC＝______°.

圖4

變式思考1：若∠ABC ＝115°，則∠AOC＝______°；

變式思考2：若∠ABC＝x°，∠AOC＝y°，則y與x有怎樣的數量關系？

變式思考3：若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ABC＝______.

問題11：如圖5，已知在⊙O中AB＝AD，∠BAD＝60°，求證：∠ACD＝60°.

圖5

活動預設對于問題9，教師先引導學生分析、利用所學知識自主設計合理的問題在小組內分享，再安排學生上臺講解并寫出解答過程，若出現不足，則引導其他學生參與評價和優化，強調規范表達.對于問題10，先讓學生自主分析“要求∠ABC，可以補充哪些條件”，再小組分享，全班展講求解的思路方法，如果學生有困難，那么可用變式思考1提示學生，待學生厘清關系后再根據學情漸次呈現其他變式問題.對于問題11放手讓學生自主分析解答，教師巡視批改做得快的學生并激勵評價，同時讓先做好的學生去批改、指導、幫助其他學生.

設計意圖一方面將問題9和10設計成開放性問題，在同一個基礎圖形上漸次“生成”一些新的問題，讓學生放飛思維，有效激發學生的探究欲望，同時提高探究水平、培優探究習慣和發展思維品質；另一方面這樣的問題串，既關注了圓內接四邊形性質的鞏固，又關注了圓中角轉化的方法，使學生在思維層面上進一步感悟聯系與轉化，內化認知結構.

4.小結與反思

問題12：“圓內接四邊形對角互補”是如何得到的？你的證明方法是什么？

問題13：對于圓中角的轉化路徑與方法你積累了哪些經驗？還有疑問否？

活動預設投影小結問題，學生自主歸納總結后組內交流，小組代表展示，教師追問補充完善結構化板書.

設計意圖通過問題引導方式讓學生回顧整堂課的知識線和方法線，有效提升學生自主歸納提煉反思的能力，強化數學學習階段知識、方法的關聯.

5.板書設計

板書設計見圖6.

圖6

設計意圖通過結構化的板書，讓學生體會知識與方法間的內在聯系，突出本節課的教學目標及重難點，加深理解記憶，變抽象為具體，積累轉化圓中角的路徑與方法.

（三）課后作業

1.回顧梳理：（1）用自己喜歡的方式簡明地梳理“圓中角轉化的路徑與方法”；（2）整理“問題9”中補充的條件及解答過程.

2.鞏固思考：人教教材九年級上P88練習5；P90第14題【拓展思考（選做），由本題條件，你還能提出哪些問題？如試著探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明】.

設計意圖作業設計應該是教學設計不可分割的一部分，而在“雙減”背景下作業設計的“精”“準”顯得更為重要.作業設計緊緊圍繞本節課的教學目標及教學重難點，以鞏固知識、發展能力、提升素養為目標，通過回顧梳理準確建構內化思維模式，再歸納本課所學知識、思想、方法等，強化學生自主溫故、反思、整理的習慣，提升學習力；通過基礎訓練與拓展思考，既幫助全體學生鞏固所學的基礎，又滿足部分喜思考、善研究的學生的需求，力求踐行“不同的人在數學上得到不同的發展”的理念.

教學立意的進一步解讀

第一，從“課時”轉向“單元”，優化學生的認知結構

認知心理學的核心理念是：學習是認知結構的組織和再組織，學生有效學習的最終結果必然是在自己的頭腦中構建有成效的認知結構，這個結構具有良好的穩定性、清晰性和可利用性［3］.“課時”視角某種意義上說是一種“孤立推進”的碎片化的設計視角，這不僅會造成學生“只見樹木不見森林”狹隘的知識視野，還會制約學生方法的遷移能力.“單元”視角是一種系統構建的凸顯整合性特點的設計視角，能較好地避免這些問題，但需要教師從整體上把握教材，尋求課時知識之間的內在關聯，對教學資源、內容進行重新整合.本節設計從“課時”的知識視角轉向“單元”的方法視角，以圓中角的轉化路徑與方法為線索，重組內容、重構學材，不僅厘清了課時之間的邏輯，打通了方法，構建了完整的方法體系，讓課堂更豐滿，而且增進了知識的系統性，拓寬了學生的視野，優化了學生的認知結構，促進了學生良好認知結構的形成.

第二，從“知識鏈”轉向“問題鏈”，凸顯學生的自主建構

筆者以為“知識鏈”的設計理念，往往是“教師中心”下的“教程—知識驅動”的設計，會制約學生數學關鍵能力的發展與情感態度的培育，而“問題鏈”的設計理念是“學為中心”下的“學程—問題驅動”的設計，可以更好地發揮學生的主體性，培育學生的核心素養.“問題鏈”設計，把準學生的最近發展區是關鍵，設計中需要教師深度分析學生已有經驗與水平，從整體系統的視角精心設計“問題鏈”，這樣才能使問題驅動更有效，讓數學學習真正發生［4］.筆者設計本節課的“問題鏈”時力求基于學生的最近發展區，立足學生對轉化圓周角已有經驗與方法（“單元”視角）的快速喚醒，通過層層深入的“問題鏈”搭建了新知與舊知之間的關聯，激發與引導學生自主探究、系統建構新知，提高學生參與度和思維度，從而讓學生由被動聽講到主動建構，卷入具有思考性的學習活動中，真正促進學生數學學習的深度理解與發展，從教會走向學會.關于“問題鏈”在教學過程中的呈現方式，可以使用PPT漸次呈現的動畫功能，而不是將所有問題串直接印制在學案上，前一種呈現方式可以更好地激發學生的學，讓學生在課堂上對新的問題充滿期待，而后一種方式，學生會直接看全所有“問題鏈”，不利于學生養成逐步深入思考的習慣.

第三，從“結果”轉向“過程”，突出思維的循序漸進

“單元”視角下重構學材，注重過程體驗是重點.本節課設計線索是圓中角的“聯系”“轉化”（“單元”視角），而將圓內接四邊形及其性質的探究僅僅作為“路徑與方法”的載體.從圓周角定理到兩個推論再到圓內接四邊形性質的證明，都是指向轉化圓周角的路徑與方法，知識與方法并行，轉化思想貫穿，潛移默化，水到渠成［5］.為此，在教學時，教師不要急于給出圓內接四邊形定義，不要直接給出圖形，不要讓學生直接證明“圓內接四邊形對角互補”這一結論，而要讓學生在前面復習舊知問題（設計小的“問題鏈”）的基礎上充分經歷圓周角的轉化過程，積累圓中角的轉化路徑與方法，再自然畫出圓內接四邊形的示意圖，自主探究發現其性質，最后利用已有的圓周角轉化的路徑與方法嚴謹證明以說明合理性.這一教學過程讓學生充分知道數學猜想必須經過證明，以體現數學的嚴謹性，其最終目的是幫助學生積累轉化圓中角（圓周角、圓心角）的方法（等角轉化、倍分轉化、互余轉化、互補轉化），為進一步積累求解圓中線段長奠定基礎.

第四，從“封閉”轉向“開放”，提供“再創造”的機會

“雙減”之一是課內增效提質，課外減輕學生過重的作業負擔.實踐表明，大量的機械刷題、繁雜的習題演算不僅不能有效激發學生主動建構、積極參與的情感，讓學生有效形成良好的認知結構，而且會消耗學生較多的課后時間，加重學生的作業負擔，甚至讓部分學生對數學產生厭煩、厭惡的情感.筆者以為“題”從“封閉”轉向“開放”，是解決以上問題的一條有效路徑.為此，在本節課課內新知運用環節，設置的問題9沒有直接呈現最后的問題，問題10沒有直接呈現關鍵條件，均是讓學生根據圖形當小老師補全結論或條件，交由同組內學生解答，各小組（代表）在全班展示展講提出的結論、條件與解答，教師則“順學而導”“順勢而為”引導反思提煉，生成結構化板書.通過結構化板書直觀顯現教學內容的脈絡以提升學生的整體感知，強化知識、方法間內在的邏輯關聯.在課后作業環節中，基于梳理的開放筆者設置了“用自己喜歡的方式簡明地梳理圓中角轉化的路徑與方法”的問題；基于訓練的開放筆者設置了“由教材原題的條件，你還能提出哪些問題”的問題.課內新知運用的環節與課后作業的環節均為學生提供了開放性問題，讓學生圍繞本節課的內容自主設計與提問.這種開放性問題的設計，不僅為學生提供了“再創造”的情境與機會，對提升學生創造性思維品質（獨立性、變通性、發散性、重組性、多向性、質疑性）大有裨益，而且能有效激發學生的探究欲望，讓學生真正學會“數學地思考、表達”，幫助學生認識自我并形成穩固的學習激情.

源于教材又是高于教材是“單元”視角下“學材再建構”的基本要求，從“教教材”到“用教材教”，“學材再構建”必須以教科書為參照物，以教學對象——學生為依據，以學生最大發展為目標，以“問題鏈”為載體，重新構建學材.筆者以為，數學教師在進行教學設計時要主動探索并堅守“單元”視角，將學材分為單元或知識（方法）模塊進行再建，從整體上把握教學要求，適度整合教學內容，持續優化“問題鏈”；在教學過程中要“以學為中心”，重學程重生成，將讓學生課內學足學透學好，課后真正“減負”并有效激勵學生學習自信與培養學生學習自覺作為教學追求.