關(guān)注教材，以生為本，培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)

俞永毅

江蘇省高郵市南海中學(xué) 225600

新課改的深入，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)情境、主動(dòng)探究、合作學(xué)習(xí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.然而在強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)活動(dòng)的同時(shí)，卻在一定程度上忽視了對(duì)教材的鉆研，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深入思考，以至于學(xué)生不能區(qū)分代數(shù)式（1-20%）x，x-20%x是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式.教材是教學(xué)的載體，無(wú)論課改怎樣深入發(fā)展，對(duì)教材的研究始終應(yīng)是教師不可忽略的重要工作，在研究教材的基礎(chǔ)上，落實(shí)以生為本的教育理念，從整體上幫助學(xué)生架構(gòu)起知識(shí)的框架，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)是教學(xué)追求的核心目標(biāo)［1］.筆者在數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)的教學(xué)部分進(jìn)行了一些思考，下面將和大家分享一些想法！

代數(shù)研究對(duì)象

研究代數(shù)教學(xué)首先要弄清楚初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)主要研究的對(duì)象是什么.用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表示就是類似10a+2b，這樣的代數(shù)式是初中代數(shù)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容.用文字語(yǔ)言表述就是通過(guò)數(shù)、字母以及加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或者由一個(gè)數(shù)或字母組成的表達(dá)式也是代數(shù)研究的對(duì)象.

思考：數(shù)學(xué)表達(dá)式是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本呈現(xiàn)方式，正是通過(guò)各種各樣的表達(dá)式揭示了數(shù)量之間的關(guān)系，可以是代數(shù)、幾何、概率等等.本文主要研究的是代數(shù)式，在代數(shù)式中還有一個(gè)關(guān)鍵的連接符號(hào)，就是“加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方”等等，這類符號(hào)稱為“運(yùn)算符號(hào)”，通過(guò)運(yùn)算符號(hào)，代數(shù)式就可以表達(dá)各種數(shù)量關(guān)系.當(dāng)然數(shù)學(xué)表達(dá)中還有表達(dá)關(guān)系功能的關(guān)系符號(hào)，利用代數(shù)式表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系.

初中代數(shù)主要表達(dá)相等和不等兩種數(shù)量關(guān)系，相對(duì)應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容為函數(shù)、方程和不等式.而不等式可以看作是等式省略一些條件進(jìn)行的表達(dá)形式，函數(shù)與方程則表達(dá)的都是相等關(guān)系.從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，一切的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以歸結(jié)為方程問(wèn)題進(jìn)行解決.因此初中數(shù)學(xué)代數(shù)研究的主要內(nèi)容就是代數(shù)式與方程.那么具體的來(lái)說(shuō)又包括了哪些內(nèi)容呢？

研究對(duì)象的具體分類

代數(shù)式從組成的結(jié)構(gòu)和要素上來(lái)分可以分成由數(shù)、字母之間相乘組成的單項(xiàng)式；由單項(xiàng)式相加組成的多項(xiàng)式.從表達(dá)的形式上來(lái)說(shuō)有兩個(gè)含有字母的代數(shù)式相除的分式，如等；還有表達(dá)算術(shù)平方根的二次根式，如等.

思考：縱觀教材，基本上是按照不同的運(yùn)算方式進(jìn)行分類的，從含有加、減、乘、除、乘方和開(kāi)方的整式，到進(jìn)行除法計(jì)算的整式稱為分式，還有含有開(kāi)方運(yùn)算的根式.相比于小學(xué)的計(jì)算，在初中階段多了開(kāi)方的運(yùn)算，因此出現(xiàn)了根式，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出一種螺旋上升的形式，而到了高中和大學(xué)階段，還將繼續(xù)學(xué)習(xí)更加復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題.

經(jīng)過(guò)以上的總結(jié)思考，我們就不難解答開(kāi)始提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如怎樣區(qū)分單項(xiàng)式和多項(xiàng)式：（1-20%）x，x-20%x，從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)上就可以進(jìn)行區(qū)分，分別屬于單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.在教學(xué)中，很多教師常常認(rèn)為（1-20%）x=x-20%x，但是兩者的形式是不一樣的，這里的等號(hào)只是表達(dá)了一樣的數(shù)量關(guān)系.

代數(shù)研究的另一個(gè)重要對(duì)象方程，方程主要是用來(lái)揭示數(shù)量關(guān)系的，可以通過(guò)含有的代數(shù)式的不同分為整式方程、分式方程和根式方程.如（1-20%）x=0揭示的是關(guān)于x的一元一次關(guān)系，被稱為一元一次方程.方程與之對(duì)應(yīng)的是函數(shù)，，表面上看起來(lái)表達(dá)形式不一樣，但是揭示的關(guān)系是一樣的，因此都可以表示為y=x·sinx的形式.通過(guò)以上的研究，我們就能透過(guò)表面現(xiàn)象抓住本質(zhì)，更加深刻地理解代數(shù)式的含義.

綜上所述，作為初中代數(shù)研究的兩大對(duì)象代數(shù)式和方程，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，最大的區(qū)別在于代數(shù)式是一種數(shù)量表達(dá)形式，而方程則是一種關(guān)系表達(dá)形式，在明晰了兩者的區(qū)別之后，我們繼續(xù)探究研究代數(shù)的方法.

代數(shù)研究方法

方程的研究最終通過(guò)化歸的思想都可以轉(zhuǎn)化為整式方程，而整式方程可以分三類：一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程，總結(jié)起來(lái)我們可以稱為n元m次方程.

思考：代數(shù)中的很多名稱就源自于它的含義，如n元m次方程，這個(gè)名稱中就蘊(yùn)含了方程的兩個(gè)特點(diǎn)：第一，這個(gè)名稱告訴我們有幾個(gè)未知數(shù)的值，就需要幾個(gè)方程，也就是說(shuō)需要n個(gè)互相獨(dú)立的數(shù)量關(guān)系.第二，方程有幾個(gè)解，取決于方程的次數(shù)，也就是m的值.這樣就告訴我們方程有幾個(gè)解以及何時(shí)有解的問(wèn)題，因此這樣的思想在方程求解過(guò)程中就是消元、換元方法的應(yīng)用［2］.

案例1已知m+n=7，求2m+2n+3的值.

方法一：通過(guò)將m+n=7的值進(jìn)行代入，2m+2n+3=2（m+n）+3=14+3=17.

說(shuō)明：由于字母與代數(shù)式是2倍關(guān)系，所以可以通過(guò)整體代入的方式進(jìn)行求解，這種解法就是一種整體思想，而透過(guò)表象，整體代入的方法其實(shí)就是換元，我們將方程中的兩個(gè)未知數(shù)看成了一個(gè)整體，整體代入進(jìn)行消元，從而得以求解.

說(shuō)明：這是一種常數(shù)變易思想，將已知和未知進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，然后進(jìn)行代入換元求解.

方法三：由原題可得m=7－n，所以2m+2n+3=2（7－n）+2n+3=17.

說(shuō)明：將方程的兩個(gè)未知數(shù)換算成一個(gè)未知數(shù)代入求解，用n表示m，將m代入原式，抵消后即可得結(jié)果.

方法四：通過(guò)列舉特殊值進(jìn)行求解，設(shè)m=1，則n=6，代入原式進(jìn)行計(jì)算為17.

說(shuō)明：這是從方程的角度，賦予m和n特殊值，進(jìn)行計(jì)算.這種特殊值的計(jì)算方法是一種探索未知數(shù)量關(guān)系的常用方法，其本質(zhì)還是一種消元法.

方法五：令m=1+t，則n=6－t，通過(guò)代入可以得到，原式=2（1+t）+2（6－t）+3=17.

說(shuō)明：這種方法與方法四類似，其本質(zhì)是將兩元消為一元進(jìn)行計(jì)算，將m和n換成了一元t，從而求得代數(shù)式的值.

方法六：令m=3.5+t，n=3.5－t，通過(guò)代入可以得到2（3.5+t）+2（3.5－t）+3=17.

說(shuō)明：這種換元方法同上一種相比更加側(cè)重于對(duì)稱性，除了在代數(shù)的計(jì)算中可以應(yīng)用，常常還被用于因式分解的變換當(dāng)中.

說(shuō)明：這種解法也是一種整體思維，將整個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體進(jìn)行換元，通過(guò)轉(zhuǎn)換成為m和T的二元一次方程，然后進(jìn)行消元.

以上的解法，我們通過(guò)不同的角度進(jìn)行了換元和消元，從而求得代數(shù)式的值.這樣的求解過(guò)程我們可以看到都是在代數(shù)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行的代數(shù)變形求解，不同的思考角度會(huì)帶來(lái)不同的解法.

構(gòu)建整體框架

代數(shù)的學(xué)習(xí)讓我們學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的眼光去看待和審視生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，面對(duì)生活中的問(wèn)題，我們往往可以先提取出研究的基本對(duì)象，然后針對(duì)研究對(duì)象，從代數(shù)、幾何、概率等多角度進(jìn)行進(jìn)一步的求解.在求解的過(guò)程中，從變化中找出不變的數(shù)量關(guān)系，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這樣的研究方法也可以用于其他很多領(lǐng)域［3］.我們把代數(shù)的研究方法總結(jié)如表1所示.

表1

這個(gè)知識(shí)框架給我們展示了研究代數(shù)的方法，這樣的方法我們也可以應(yīng)用在其他領(lǐng)域，其關(guān)鍵是先找到不變的數(shù)量或者不變的數(shù)量關(guān)系，這種尋找方式可以是多角度的聯(lián)想也可以是靜態(tài)的觀察，再通過(guò)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多角度的求解.通過(guò)知識(shí)框架的建構(gòu)，使學(xué)生理解了代數(shù)的內(nèi)涵以及研究代數(shù)的方法和如何解決代數(shù)問(wèn)題.多角度解決問(wèn)題的過(guò)程還可以激活學(xué)生思維，促進(jìn)思維的靈活性，發(fā)展思維的創(chuàng)新性，提升學(xué)習(xí)能力.

綜上所述，代數(shù)的研究告訴我們一種數(shù)學(xué)的研究方法，從分類研究到在具體問(wèn)題中提取研究對(duì)象，在變化中尋找不變的規(guī)律.只有教師能夠?qū)⒔滩闹R(shí)體系研究透徹，才能給予學(xué)生清晰的學(xué)習(xí)思路.代數(shù)的學(xué)習(xí)是一種數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想的滲透，通過(guò)研究體察到從具體問(wèn)題中抽離出數(shù)學(xué)模型的方法，進(jìn)而進(jìn)行求解和計(jì)算，從多個(gè)角度進(jìn)行研究，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì).