求聯求變重認知 學法指導貫始終
——西蒙數學理論下“角的運算”學習設計與反思

古土城

廣東省廣州市江南外國語學校 510240

課例背景

2020年12月，華南師范大學數學教師教育專家工作室與廣州市王杰航名教師工作室、廣州市鄭燕名教師工作室聯合舉辦西蒙數學研討會，其主題為“認知心理學視角下的數學教學”，此課例是研討會上的一節展示課.

教材內容分析

本節是義務教育教科書人教版《數學》七年級上冊第4章“幾何圖形初步”第3節“4.3.2角的比較與運算”的教學內容.角的和差、角平分線的定義性質等，是比較基礎的幾何知識點，有著廣泛的應用，也是后續學習三角形、四邊形等內容的必備基礎.本節課主要是通過對線段求值與角度求值的比較與歸類，探索角的和差表示、角平分線的定義、性質及其應用.因此，除了具體的知識技能外，還需要讓學生感受類比的思想方法，為今后的學習打下基礎.

學情分析

七年級學生初具抽象思維能力、邏輯思維能力，直觀思維比較突出，模仿學習能力較強.任教的7班，學習基礎較好，經過3個月的磨合后，他們對數學的學習興趣更加濃厚.再結合他們的年齡和心理特征，可采用“問題解決”“題組教學”的形式貫穿課堂，盡可能多地讓學生動手操作、運算、及時反饋，突出新知識的探索過程.習題設置須注意梯度的設置，并搭建腳手架助其理解應用.

考慮到任教班學生的整體學習能力較好，將“角的比較與運算”的內容分2課時完成，在課程標準的基礎上，適當增加拓展內容，促其深度學習.在第1課時中，學生探究了角的比較、無圖形背景的純角度計算（含度、分、秒等單位）.本節課是第2課時，在線段求值、角度的大小比較的基礎上，學習角度求值，學生比較容易接受.在學生對“利用和差、中點等特殊點的性質、方程思想”求線段，有所理解之后，再遷移到學習角度的求值就水到渠成.同時，要把文字語言與圖形語言匹配起來，對部分學生而言仍較困難，因此教學重點放在，通過類比，學習角的和差、角平分線的定義、性質及其應用.解決無圖問題時，輔以適當的示例，指引學生對文字語言、圖形語言、符號語言的準確表達.

目標分析

1.教學目標

（1）類比線段的學習方法，理解角的和差，發現、理解角平分線定義、幾何意義及由其推出的數量關系，并會用文字語言、圖形語言、符號語言進行綜合描述.

（2）在應用以上方法求角度過程中，體會整體思想、方程思想、分類討論等思想方法.

2.教學重點

類比線段的和差、中點性質，發現角度的和差表示方法、角平分線的定義、性質.

3.教學難點

復雜圖形中角的識別及和差表示，缺圖時根據文字材料對應畫出圖形.

教學過程

1.知識建構

（1）情境導入

①泊松分酒問題

設計意圖創設一個有趣味的問題情境，引發學生從事理到數理的思考，為學習新知識設懸念，激發求知欲.為避免不良影響，課堂導入時將“分酒”改為“分水”.

提問：給出長度分別為15 cm、10 cm兩條線段，你能畫出多長的線段？

②用三角板畫特殊角

將已知長度的兩條線段疊合，可得到新長度的線段.同樣，將不同角的邊疊合在一起，使其頂點重合，且其中一邊重合，可得到新的角.

試用一副三角板畫出盡可能多的特殊角（30°，60°，90°，75°，15°角除外）.

設計意圖利用實物進行教學，讓學生充分動手操作，在觀察、想象、展示等活動中，感受角的和差的產生過程.

（2）角的和、差

①如圖1、圖2所示，根據所畫圖形，識別角的和與差.

圖1

圖2

◆∠AOB 是______與_______的和，記作∠AOB=______+_______；

◆∠ACB 是_______與_______的和，記作∠ACB=_______+________；

◆類似地，∠HOG 是______ 與______的差，記作∠HOG=_____ -______.∠HFG 是______與______的差，記作∠HFG=_____-______.

在∠AOB的外部OA左側多畫一條射線OD，則∠CO D=______+_______=_____-______.

②如圖3所示，射線OC，OD在∠AOB內部，∠AOB=80°，∠AOD=60°，∠BOC=45°，求∠DOC的度數.

圖3

設計意圖通過示例演練、“例中學”，學生可以不必經過陳述性知識階段而是通過程序式獲得感知.學生經過兩個題目的仿照練習，在演練中不知不覺地明確角的和、差表示方法.

（3）角的平分線

類比線段中點，嘗試說出角平分線的定義：__________________叫角平分線（二等分線）.

符號語言：如圖4所示，因為FG是∠HFO的平分線，所以∠OFG=∠HFG=∠HFO，∠HFO=2∠HFG=______.

圖4

類似地，還有三等分線、四等分線、五等分線……n等分線.

設計意圖從線段中點到角的平分線，形成正遷移，發展學生合理猜想的能力，體會類比思想.同時通過“幾何模型—圖形—文字— 符號”的學習程序，讓學生多方位理解角平分線的性質.

2.學習遷移

（1）已知∠AOB=80°，OM是∠AOB的平分線，則∠BOM=______.

（2）如圖5所示，∠AOB=80°，若OC，OD，OE，OF 是∠AOB 的五等分線，則∠AOF=_______°，∠EOB=________°，∠COF=______∠DOB.

圖5

設計意圖第（1）題直接應用角平分線性質，第（2）題通過五等分線求角度、角之間的關系，體會角度的倍、分關系.“做中學”體現學生由模仿學習到再創造，在解決問題中體驗成功的快樂，又能獲得大量的隱性知識，增強題感，訓練直覺思維，促進學生對知識的獲取和認知技能的發展.

（3）已知∠AOB=80°，OM平分∠AOB，以射線OB為一邊的∠BOC=30°，求∠COM的度數.

（4）已知∠AOB=80°，以射線OB為一邊的∠BOC=30°，OM平分∠AOC，求∠COM的度數.

小結：__________________

設計意圖第（3）（4）題缺圖，滲透分類討論思想，當圖形位置未定時，要考慮存在不同情況.第（4）題改編于七年級《陽光學業評價.數學》下冊（廣州市教育研究院研發）第119頁中的問題探究“已知線段AB=8 cm，直線AB上有一點C，且BC=3 cm，M是線段AC的中點，求AM的長.”從線段的分類遷移到求角度的分類，體會“角與角組合時，當角的一邊位置不確定時，可以得到不同大小的角”.

（5）如圖6所示，O是直線AB上一點，∠AOC=53°18′，若OM，ON分別平分∠AOC、∠BOC.①∠BOC=______；②∠AOM=______；③求∠NOM的度數；④題目中的∠AOC度數改為α°，其他條件不變，求∠NOM的度數.

圖6

小結：__________________

設計意圖本題源自人教版七年級上冊數學教材第136頁例1，將原題中的“∠AOC=53°17′”改為“∠AOC=53°18′”，同時增加用平分線求角度，改度數是為了降低計算對角平分線性質應用的影響.第④問，讓學生感受整體思想、從特殊到一般的思想，進一步理解出現雙平分線時，局部角度的大小，不影響整體的結果.

3.能力拓展

已知∠AOB內部有兩條射線OM，ON，OM將∠AOB分成兩部分，∠AOM ∶∠MOB=2 ∶3.ON也將∠AOB分成兩部分，∠AON ∶∠NOB=4 ∶1，且∠MON=30°.求∠AOM，∠NOB的度數.

設計意圖題目不配圖，需根據文字材料對應畫圖才能解決問題，且涉及角度和差、比例等多個知識點，更能訓練優等生的數學思維和規范表達能力.形式不同的習題，培養學生解題的變通性、靈活性和創造性.尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需求.

4.總結與反思

求角的方法有：________________

以怎樣的方式去研究角度求值：_________________________________

易錯點：______________________

數學思想方法：________________

設計意圖引導學生自行小結本節課的知識要點及數學思想方法，使知識系統化.

5.課后作業

（1）如圖7所示，用“=”“＞”或“＜”填空.

圖7

①∠AOC_____∠AOB+∠BOC；

②∠AOC____∠AOB；

③∠BOD-∠BOC____∠COD；

④∠AOD____∠AOC+∠BOD；

⑤如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC____∠BOD.

（2）射線OC 在∠AOB內部，下列選項不能判定OC 是∠AOB 平分線的是（ ）

A.∠AOB=2∠AOC

B.∠AOC=0.5∠AOB

C.∠AOC+∠BOC=∠AOB

D.∠AOC=∠BOC

（3）如圖8所示，已知O是直線AB上一點，∠AOC=63°，射線OD，OE 將∠BOC三等分，則∠AOD=________°.

圖8

（4）如圖9所示，已知O是直線CD上一點，OA平分∠BOC，∠AOC=35°，求∠BOD的度數.

圖9

（5）如圖10 所示，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度數.

圖10

6.板書設計

4.3.2 角的比較與運算（2）

——角的和差 例題

1.角的和差 練習

2.角平分線定義與性質：

符號語言：

7.附件

“線段求值”認知工作單（此處略）.

教學設計的立意

1.教法

本節課以“類比法”為主線開展教學活動.教學中通過創設問題情境，借助研究線段求值的方法，不斷提出富有啟發性、挑戰性的問題，激發學生的探究欲望，類比發現角度的和差、角平分線的定義、性質和求法.

2.學法

借助“西蒙數學”理論設計認知工作單，用于導思、導學、導練，讓學生的學習有章可循.“西蒙數學”源自美國科學家赫伯特·西蒙（H.A.Simon）.三十多年前，身披“認知心理學家”“人工智能之父”“諾貝爾經濟學獎得主”之譽的西蒙，因為認知心理學上的共識，與中國科學院心理學家朱新明雙劍合璧，對“自適應產生式系統”進行深入的研究，并建構了“示例演練”學習模型［1］.近二十年來，華南師范大學數學科學院謝明初教授，結合數學學科“高度概括和抽象”等特點，在原有的模型基礎上，運用建構主義和情境認知理論，從教法學法等多個角度，對數學教學進行哲學的闡述，提出了“西蒙數學教學法”［2-6］.這是建立在“人類自適應學習”理論基礎上，將人工智能和現代認知心理學研究成果運用于數學教學的現代教學法，其核心理念是將部分陳述性知識轉化為程序性知識呈現出來，通過“例中學、做中學”幫助學生深入學習數學.

利用工作單，以問題串的形式，一步步引導學生積極思考，同時借鑒前面所學的線段求值的思路、方法，探索角度的求法，促其從“被動學習”變為“主動學習”，經歷“觀察、類比、發現、歸納”的過程，多種感官參與學習活動，真正成為學習的主體，在探索中發展運算能力、推理能力.

教學反思

1.立足建構主義，設“工作單”導思導學

建構主義的學習觀認為，學習活動并非對已有知識的簡單接受，而是以主體已有的知識和經驗為基礎的主動建構，這種建構是無法由他人來代替的.“西蒙數學”主張以“知識建構——學習遷移——能力拓展——總結與反思”的框架，設計、編寫認知工作單，把數學知識的傳授轉換成數學認知工作單的學習，使學生的學習轉變為探索式的建構學習.

本節課中，在知識建構的環節，先是以“泊松分酒”的數學名題，創設了趣味性情景，引發學生思考其與新知的聯系；再通過以三角板畫特殊角的活動，并以產生式理論為指導設計問題，形成題組，讓學生在“做中學”體會角的和差表示.這些設計根據學生現有水平，遵循“小步教學、及時反饋”的原則，以示例的方式助學生建構新的知識.后面的學習遷移，以問題串的形式呈現求角的變式練習，學生即思即做即評，及時反饋，強化學生的自我效能感；能力拓展環節，設置涉及方程思想、整體思想，綜合性更強的題目，供學有余力的學生挑戰；總結與反思，用以歸納求線段與求角的異同、解題規律、思想方法，這些環節體現出對知識的精加工.

2.遵循認知規律，學習遷移求“聯”求“變”

按照教育心理學的觀點［7］，初中生思維發展的主要特點是思維逐步符號化，但在抽象概括事物屬性時，大多數仍依賴感性經驗.如果解決問題所需的抽象概括水平超出他們的心理水平，思維自然也就中斷，從而成為思維障礙.因此多位學者提出建議，要遵循認知規律，在數學教學的疑難抽象處，使用形象直觀的方法有效化解難點.因此，在開始的三角板畫特殊角及定義角平分線的環節，都是以直觀的方式，讓學生感知圖形與幾何語言的匹配，再逐漸深入知識點的應用.

另一方面，本節課主要采用類比的方式展開教學活動.認知心理學認為，類比學習的一般過程主要包含信息輸入、模式匹配、檢驗、修正等步驟［8］.在線段求值到角求值的類比學習過程中，學生會先對角的和差表示等內容進行表征，再根據求線段長度的策略、方法的相似性，建立兩者之間的聯系，再通過同化或順應，獲得解決求角相關問題的方法.

在較復雜的學習過程中，布魯納、維果斯基等建構主義者皆有共識，他們提出要搭建認知支架，對高層次的學習而言尤為重要.本節課的學習遷移部分，以題組的形式呈現應用角平分線求角的變式訓練，并進行題后小結.前兩題較簡單，屬于較低的認知起點，通過樣例學習即可解答，第（3）（4）題開始增加難度，從有圖到無圖，前后聯結，形成有梯度的認知序列，助學生遷移到較高級的學習，再通過小結方法，從具體到抽象概括，形成規律.這樣的設計，落實了“四基”中的基礎知識與基本技能，也切合了西蒙數學“知識求聯、技能求變”的理念.

3.精講在關鍵處，學法指導貫徹始終

西蒙數學強調學生的自主學習為主，教師予以學法指導，在合適時機啟發思考、指引方向.這與自新課改以來“將更多時間還給學生”的理念如出一轍.

從課型的角度分類，本節課屬于數學規則課，教學指向發現角的和差表示的規則，并以此規則去解決求角大小的問題.根據廣州市教育研究院譚國華的研究［9］，數學規則課型的教學，可結合皮連生所創的“六步三段兩分支”教學模型，在第二個轉化階段，提供合適的學習樣例，并通過變式練習，幫助學生明確、熟悉運用規則解決問題的程序與步驟.

本節課已提供了學習材料，學生在認知工作單的學習中，通過“例中學”熟悉規則，在學習遷移的“做中學”應用規則，教師只需在學生對概念、性質的認識模棱兩可時，歸納知識要點時，在其疑惑處或認知障礙處，以設問、追問的方式加以點撥.本節課的難點在于，解決無圖問題時要根據文字材料對應畫出圖形，再利用角平分線的性質及角的和差表示方法求解.當學生出現錯漏時，筆者并非直接點破，而是提出問題：“當題目沒有配圖時，要注意什么問題？只有某種情形嗎？”

還有另一處細節，在復習提問“給出長度分別為15 cm、10 cm兩條線段，你能畫出多長的線段？”時，筆者追問“怎樣畫？”并以兩支鉛筆示意，啟發性地提問：“把鉛筆看成兩條線段，兩筆拼接時，不共線可以拼成原來的長度和的線段嗎？”幫助學生從“線段的和差必須共線共端點”的認識，過渡到后面理解“角的和差必須共頂點且一邊重合”.

另外，在本節課的學習過程中，要求學生帶上前面學習使用的“線段求值”認知工作單，進行類比學習.在知識建構環節中的線段、角的和差表示，中點、角平分線的定義、性質，還有學習遷移環節中的分類討論求線段、角度，能力拓展環節中的方程思想求線段、角度，以及最后的“總結與反思”等部分，皆以類比的方式設計的.當學生無法繼續向下進行學習時，都可以通過對照“線段求值”認知工作單，回顧相關的方法，并將其遷移，解決求角問題，整堂課皆有學法指導貫穿其中.

4.注重歸納總結，數學思想無痕滲透

西蒙數學注重概括總結，有題后小結、課堂總結，歸納知識要點、易錯點、數學思想方法等.如在學習遷移第4題后，要求學生小結應用角平分線性質求角的基本思路及無圖時的注意事項、分類討論的思想方法.課堂教學不能僅限于完成練習、就題論題，更重要的是通過分析、處理問題，尋求題目當中蘊含的精髓，通過解一道題，融會貫通之后，晉級為解一類題，并能分析、歸納解決問題的方法，從中學出新意.

數學教學除了歸納知識外，還要注重數學思想方法的滲透.新課改強調“四基”，其中之一就是基本的數學思想方法.數學知識是具體化的、顯而易見的，而思想方法是隱性的、抽象的.本節課涉及類比思想、轉化思想、分類討論思想、整體思想，這些思想的滲透體現在教學的各個環節.數學思想方法的學習，猶如一個人修煉內功，因此，在平常的教學中，教師要有意識地滲透數學思想方法，幫助學生提升無形的能力.

5.把控教學節奏，合理利用生成資源

重新審視本節課，尚有一些不足之處.

一是課堂節奏前松后緊.畫角活動耗時過多，對后面的學習造成影響.此環節可做以下優化：設計問題鏈，（1）類比線段的和差，利用長度為45 cm和30 cm的線段，可畫出長度為75 cm、15 cm的線段.類似地，利用45°、30°的角，可畫出多大的角？（2）三角板中還有哪些角度？兩兩組合，能畫出多大的角？（3）這些角有何共同特征？之后可分組請同學板書演示或投影展示，隨后再順理成章帶出“利用和差表示角”.

二是未能充分利用課堂生成的錯誤資源.請學生上臺展示時，學生出錯，未能及時得到正確答案，遂請其他同學更正.學生在練習過程中不可避免會出現錯誤，一個學生的錯誤，也可能是其他學生出現的同類錯誤，這種錯誤暴露出他們思維的誤區，或是對角的認識不足，或是未能找到和差的本質.這是生成性的錯誤資源，更應充分利用.可細加引導，讓其自行改錯，助其建立信心，然后再即興作簡單變式，讓其他學生鞏固和差求角的知識點.

借助西蒙數學理論，以認知工作單為載體展開教學，問題成串設計，形成題組，利于引發學生的思考，促其有意識地發現知識、運用知識、歸納知識.學生在各個活動環節，提取出概念、理解原理，不知不覺中習得新知與技能，獲得問題的解決方法，再應用法則、規律，加深認知理解.只要材料組織合理，使其適合學生的認知特點，學生便能自行學習，或在教師的指導下拾階而上，掌握基礎知識和基本技能，并積累活動經驗，習得基本思想方法.