一類可積系統在n次多項式擾動下Abel積分孤立零點個數的估計

王逸凡，李寶毅，張永康，隋世友

（1.天津師范大學數學科學學院，天津 300387；2.天津商業大學理學院，天津 300134）

1 引言和主要結果

Hamilton系統在n次多項式擾動下Abel積分I（h）孤立零點個數的估計即為弱化希爾伯特第十六問題[1-2]，是常微分方程定性理論的研究熱點之一.文獻[3-4]首先證明了I（h）的孤立零點個數存在一致的上界，但并沒有得到確切的表達式.隨后關于該問題的研究主要集中在2個方面，一方面是討論低次Hamilton系統在低次擾動下I（h）的孤立零點個數，另一方面是估計超橢圓Hamilton系統在n次多項式擾動下I（h）的孤立零點個數.

隨著研究的深入，許多學者開始關注可積系統在多項式擾動下的分岔現象.文獻[11]研究了可積系統（x˙，y˙）=（y（1+x），-x2k-（11+x））在n次多項式擾動下的分岔現象，得到了系統極限環個數的上確界.文獻[12]研究了可積系統（x˙，y˙）=（-y（x-a）m1（y-b）m2，x（xa）m1（y-b）m2）在n次多項式擾動下I（h）的孤立零點個數，其中ab≠0且m1、m2∈N.文獻[13]研究了可積系統（x˙，y˙）=（-y（x2+a2）m，x（x2+a2）m）在n次多項式擾動下的極限環個數，其中a≠0且m∈N.

本文考慮擾動的可積系統

其中：k∈N+，P（x，y）、Q（x，y）為n次多項式.系統（1）0存在順時針走向的周期閉軌族

設Γh與x正、負半軸交于Ah+=（ak（h），0）、Ah-=（-a（kh），0），其中

記Abel積分

的孤立零點個數的上確界為Z（n，k）.

定理對于擾動系統（1）ε，當I（h）?0時，Z（n，1）=n，Z（n，2）≤n+2[n/2]+7，Z（n，k）≤n+（2k-1）·[n/2]+4k+1（k≥3）.

2 Abel積分的計算

引理1當i、m、r∈N時，有

其中：Ck，m，r、C*k，m，0∈R+

證明由Γh關于x軸對稱可知Ii，2r（h）≡0.由首次積分可知，周期閉軌Γh對應y=y±（x，h）=，即

因此，由Γh關于y軸對稱可知I2m+1，2r+1（h）≡0.

引理2設m∈N，則有

證明結合引理1可得

同理可得

引理證畢.

引理3

證明結合引理1可得

進而有

由首次積分可得，在Γh上有，結合引理2可得

從而

引理證畢.

引理4當k=1時，記則有

證明在式（3）中令k=1，則有

結合式（8）可得

引理證畢.

引理5當時，系統（1）ε的Abel積分為

證明計算得

定義

由Γh關于x軸對稱可得，當j為偶數時，

αn+2[n/2](k-1)-2kl（x）可表示為

α″n+2[n/2](k-1)-2kl（-1）≠0的必要條件為

α′n+2[n/2](k-1)-2kl（-1）≠0的必要條件為

則結合引理2可得

引理證畢.

將引理3的結論代入式（9）可得

對式（3）關于h求導可得

代入式（10）可得

3 Abel積分孤立零點個數的估計

引理6[14]實系數多項式f（x）=cmxm+cm-1xm-1+…+c1x+c0的正零點個數等于f（x）的系數列cm，cm-1，…，c1，c0的變號次數或者變號次數減去某個正偶數.

引理7[15]設φ（ih）為）上的連續函數，且當0＜h?1時，φi（h）=ηihsi+o（hsi），其中：ηi≠0，1≤i≤m且s1＜s2＜…＜sm，則存在實數e1，e2，…，em，使得在）上至少存在m-1個正變號零點.

引理8[15]設A（h）和B（h）在開區間（a，b）分別有u*和v*個零點（計重數），若系統P（h）=B（h）滿足條件：

（1）P（h）在閉區間[a，b]連續，在開區間（a，b）可導.

（2）A（h）和B（h）在閉區間[a，b]連續，F（h，P）在[a，b]×[lp，Lp]連續，其中[lp，Lp]為P（h）在[a，b]的值域.

則函數P（h）在開區間（a，b）至多有u*+v*+1個孤立零點（計重數）.

定理的證明：

情況1當k=1時，結合引理4和引理5可得，若n=0，則

顯然I（h）沒有孤立零點，即Z（0，1）=0.

若n=1，則

若n=2，則

若n≥3，則

下面說明存在n次多項式P（x，y）和Q（x，y），使得（Ih）在至少有n個正變號零點.在系統（1）ε中取

結合式（2）和引理4可得

利用引理7可得，存在a0，a1，…，a[(n-2)/2]，b0，b1，…，b[(n-1)/2]，λ，使得在u∈（0，1）至少有n個正變號零點.綜上，Z（n，1）=n.

情況2當k=2時利用式（7）和式（3）可得

同時有

利用式（6）和式（12）可得

在式（8）中令α1=x-2，利用式（6）和式（14）可得

將式（12）和式（15）代入式（9）可得

將函數T*（v）從開區間（0，1）解析延拓到復區域

定義G=GR，r?D，D為一單連通區域，?G=C=CR，r為簡單閉曲線，

其中：CRj={v∈D，|v|=R?1}且v屬于第j象限，j=1、2、3、4；Cr1，3={v∈D，|v-（±1）|=r?1}，Cr2，4={v∈D，|v-（±i）|=r?1}，L±1，3={v∈R：1+r≤|v|≤R}，L±2，4={v∈iR：1+r≤|iv|≤R}.根據文獻[11]有如下引理9成立.

引理9解析函數T*（v）和（v）在復區域D?C上滿足：

（2）當v∈L±j，j=1、2、3、4時，Im（T*（v））的零點個數不超過[n/2]+1.

由引理9的（1）可得，當r→0+時，T*（v）在的旋轉數不超過10-1.

由引理9的（3）可得

μ1、μ2為常數，因此有，故T*（v）在的旋轉數不超過2n+8+10-1.

綜上，T*（v）在G的邊界C上的旋轉數不超過2n+4[n/2]+16+，則T（*v）在G上的零點個數不超過2n+4[n/2]+16.顯然，v=0是T*（v）的零點，結合T*（v）在開區間（-1，1）是關于v的奇函數，可知T*（v）在v∈（0，1）的零點個數不超過n+2[n/2]+7，即Z（n，2）≤n+2[n/2]+7.

情況3當k≥3時，對式（11）關于h求導得

對式（3）關于h求二階導數得

進而有

將式（17）代入式（16）可得

另一方面，將式（17）代入式（11）可得

利用式（18）和式（19）計算得

綜上，定理證畢.