電場背景下手征相變的臨界線

陳建興， 魏 穎， 常曉婷， 張肖陽

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

1 NJL模型

本文采用具有三個(gè)味道的NJL模型，夸克場定義為ψ=(u,d,s)T，其拉格朗日密度如下：

(1)

其中，在協(xié)變導(dǎo)數(shù)Dμ=?μ-iQAμ中引入了電磁勢Aμ，取Aμ=(-Ex3,0,0,0)，得到沿z方向的勻強(qiáng)電場.Q=diag(2e/3,-e/3,-e/3)是夸克的電荷矩陣，流夸克質(zhì)量矩陣m=diagf(mu,md,ms).式(1)中的第二項(xiàng)表示標(biāo)量道相互作用和贗標(biāo)量道相互作用，λa是Gell-Mann矩陣；第三項(xiàng)是用來描述U(1)A反常的t’Hooft行列式項(xiàng).G和K為相互作用常數(shù).這里考慮流夸克質(zhì)量mu=md≠ms的情形.

在平均場近似下，費(fèi)米子雙線性型可以寫成真空期望值和漲落之和，例如：

Mu=mu-4Gφu+2Kφdφs,

(2)

Md=md-4Gφd+2Kφsφu,

(3)

Ms=ms-4Gφs+2Kφuφd.

(4)

這里Mf為夸克的有效質(zhì)量，φf為夸克凝聚，f是夸克的味道指標(biāo).顯然，在不考慮U(1)A反常時(shí)，K=0，夸克的質(zhì)量間隙方程是退耦的；正是U(1)A反常使不同味道夸克的有效質(zhì)量聯(lián)系起來.味道為f的夸克凝聚定義為

(5)

iSf(p)是味道為f的夸克傳播子.電場背景下的傳播子寫成Schwinger形式是方便的，其在零溫度下的表達(dá)式為

[(Mf-γ⊥·p⊥)(1-tanh(|qfE|s)γ0γ3)+γ‖·p‖(1-tanh2(|qfE|s))]，

(6)

利用夸克凝聚的定義式(5)及傳播子的Schwinger形式(6)，并對動(dòng)量進(jìn)行高斯積分，可以得到零溫度下的夸克凝聚

(7)

其中,εf=|qf|E.在引入溫度T和化學(xué)勢μ時(shí)，需做如下代換：

(8)

把夸克凝聚分解為零溫度部分和有限溫度部分是為了方便對零溫度部分進(jìn)行正規(guī)化.

2 磁化率

磁化率是研究相變系統(tǒng)的重要物理量，可用來揭示一些與相結(jié)構(gòu)相關(guān)的重要信息，例如:磁化率可以用來定義相變的臨界點(diǎn)[17-23].對于一階相變，相關(guān)磁化率會(huì)在相變臨界點(diǎn)處發(fā)生間斷，但相變點(diǎn)左右兩側(cè)的磁化率都是有限的；而對于二階相變，在相變臨界點(diǎn)處磁化率同樣會(huì)出現(xiàn)間斷，但相變點(diǎn)的左右兩側(cè)都是無窮大.通常，對于嚴(yán)格的一階或二階相變，不同的磁化率確定的臨界點(diǎn)是相同的.而對于非嚴(yán)格的相變，例如平滑過渡，不同的磁化率確定的臨界點(diǎn)可能會(huì)有所不同.

本文中使用以下3種磁化率：

(1)熱磁化率，定義為

(9)

(2)電磁化率，定義為

(10)

(3)手征磁化率，定義為

(11)

這里φ是手征凝聚，M是夸克的有效質(zhì)量.可以利用磁化率的峰值確定臨界點(diǎn).既然在NJL模型下有效質(zhì)量同樣是手征相變的重要特征量，采用了有效質(zhì)量和夸克凝聚兩種方式定義磁化率.而計(jì)算表明，兩種方式定義的磁化率給出的臨界值相同.

3 計(jì)算結(jié)果與討論

工作的重點(diǎn)是研究零化學(xué)勢下，不同磁化率確定的電場-溫度平面上的手征相變線的差異.在計(jì)算手征凝聚時(shí)，采用三維動(dòng)量截?cái)嗟恼?guī)化方法處理零溫度部分產(chǎn)生的紫外發(fā)散；而有限溫度部分，由于不存在發(fā)散，無需進(jìn)行正規(guī)化.為避免因電場的引入而引起的紅外發(fā)散，在計(jì)算中取主值積分(這里不考慮夸克的對產(chǎn)生).輸入?yún)?shù)取為[16]：三維動(dòng)量截?cái)唳?631.4 MeV，mu=md=5.5 MeV，ms=135 MeV，GΛ2=1.835，KΛ5=9.29.

首先考慮夸克的有效質(zhì)量及凝聚隨溫度、電場的變化.電場強(qiáng)度eE=0.1GeV2，eE=0.15GeV2，eE=0.2GeV2下有效質(zhì)量隨溫度的變化見圖1～圖3.顯然隨著溫度的升高，夸克的有效質(zhì)量不斷減小.u、d夸克的有效質(zhì)量下降較快，最終接近其流質(zhì)量.s夸克的有效質(zhì)量隨溫度的變化較為平緩，預(yù)示著高得多的相變溫度，可以與Λ～600 MeV而相比擬.這個(gè)相變溫度接近或超出NJL模型的有效能區(qū)，因此下面不再討論s夸克的相變臨界點(diǎn).u、d夸克有效質(zhì)量的變化表明，在較低溫度時(shí)，系統(tǒng)是手征對稱性自發(fā)破缺的，隨著溫度的升高進(jìn)入到過渡區(qū)域，最后當(dāng)有效質(zhì)量接近流質(zhì)量時(shí)，系統(tǒng)基本進(jìn)入手征對稱性(部分)恢復(fù)狀態(tài).另一方面，電場增強(qiáng)會(huì)使相變溫度降低，說明電場會(huì)削弱手征凝聚.

圖1 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.1 The effective mass-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

圖2 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.2 The effective mass-temperature curves for the d quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

圖3 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)s夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.3 The effective mass-temperature curves for the s quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

當(dāng)把eE=0.2GeV2時(shí)夸克的有效質(zhì)量隨溫度的變化進(jìn)行比較時(shí)(見圖4)，可以看到，u夸克的有效質(zhì)量因電場的存在要比d夸克小，u夸克進(jìn)入手征(部分)恢復(fù)狀態(tài)更早，既然u、d夸克的流質(zhì)量相同，它們有效質(zhì)量的差異顯然是電場導(dǎo)致的.圖5以u夸克為例，給出了凝聚在eE=0.1GeV2，eE=0.15GeV2，eE=0.2GeV2時(shí)隨溫度的變化情況，顯然其物理結(jié)論與對有效質(zhì)量進(jìn)行分析得到的結(jié)論是一致的.

圖4 eE=0.2GeV2時(shí)夸克的有效質(zhì)量-溫度曲線Fig.4 The effective mass-temperature curves for the quarks at eE=0.2GeV2

圖5 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的夸克凝聚-溫度曲線Fig.5 The quark condensation-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15， and 0.2GeV2

圖6～圖8給出了溫度T=0.05、0.1及0.15 GeV時(shí)夸克的有效質(zhì)量隨電場變化的情況.與溫度的增加類似，電場的增強(qiáng)同樣會(huì)導(dǎo)致夸克有效質(zhì)量的減少.電場的增強(qiáng)使u、d夸克從手征對稱性破缺狀態(tài)平滑過渡到手征對稱性(部分)恢復(fù)狀態(tài).圖9給出了T=0.05 GeV時(shí)，3種夸克有效質(zhì)量隨溫度的變化情況.因?yàn)閡、d夸克的流質(zhì)量相同，所以在不存在電場時(shí)，兩者具有相同的有效質(zhì)量.而隨著電場的增強(qiáng)，兩者的有效質(zhì)量差異首先不斷加大，這是它們帶有不同電荷的反映；接下來隨著系統(tǒng)向手征對稱性恢復(fù)相的轉(zhuǎn)變，它們的有效質(zhì)量的差異又開始變小，最后達(dá)到相同流夸克質(zhì)量的簡并狀態(tài).

圖6 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)u夸克的有效質(zhì)量-電場強(qiáng)度曲線Fig. 6 The effective mass-electric field strength curves for the u quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV

圖7 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)d夸克的有效質(zhì)量-電場強(qiáng)度曲線Fig.7 The effective mass-electric field strength curves for the d quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV

圖8 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)s夸克的有效質(zhì)量-電場強(qiáng)度曲線Fig.8 The effective mass-electric field strength curves for the s quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV

圖9 T=0.05 GeV時(shí)夸克的有效質(zhì)量-電場強(qiáng)度曲線Fig.9 The effective mass-electric field strength curves for the quarks at T=0.05 GeV

下面采用式(9)～式(11)定義的磁化率討論(偽)臨界點(diǎn)，進(jìn)而給出相變線.如前所述，從磁化率不僅可以給出(偽)臨界點(diǎn)，還能夠確定相變的階.可以從后面的結(jié)果看到，對于采用的電場及溫度范圍，相變既不是一階相變也不是二階相變，而是平滑過渡.

圖10和圖11是不同電場強(qiáng)度下u、d夸克的熱磁化率隨溫度變化的情況，這里的磁化率是用夸克的有效質(zhì)量定義的.為了對比，在圖12中也給出了由夸克凝聚定義的熱磁化率的情況，顯然兩者確定的臨界溫度是相同的.對確定的電場值可以畫出磁化率隨溫度變化的曲線，其峰值對應(yīng)的溫度，就是該電場強(qiáng)度下的臨界溫度.讓電場強(qiáng)度從0開始不斷增大，就得到了由熱磁化率確定的E-T平面上的臨界線(圖20中的χT).

圖10 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的熱磁化率-溫度曲線,這里的熱磁化率由有效質(zhì)量定義Fig. 10 The thermal susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15，and 0.2GeV2，here the thermal susceptibility is defined by the effective mass

圖11 eE=0.1,0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的熱磁化率-溫度曲線,這里的熱磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.11 The thermal susceptibility-temperature curves for the d quark at eE=0.1，0.15, and 0.2GeV2，here the thermal susceptibility is defined by the effective mass

圖12 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的熱磁化率-溫度曲線,這里的熱磁化率由夸克凝聚定義Fig.12 The thermal susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1，0.15，and 0.2GeV2，here the thermal susceptibility is defined by the quark condensation

類似地，可以通過計(jì)算電磁化率得到由電磁化率確定的E-T平面上的臨界線(圖20中的χE).例如，圖13是不同溫度下，由有效質(zhì)量定義的u夸克的電磁化率隨電場的變化情況，其峰值對應(yīng)于相應(yīng)的臨界電場值.

圖13 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)u夸克的電磁化率-電場強(qiáng)度曲線，這里電磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.13 The electric susceptibility-electric field strength curves at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV，here the thermal susceptibility is defined by the effective mass

利用手征磁化率確定相變的臨界線存在兩種方式.一種是在給定的電場強(qiáng)度下，考察手征磁化率峰值對溫度變化的情況(圖20中的χST)；另一種方式是在給定的溫度下，考察手征磁化率隨電場強(qiáng)度變化的情況(圖20中的χSE).這兩種方式給出的臨界值有所不同.圖14、圖15是不同電場強(qiáng)度下由有效質(zhì)量定義的u、d夸克的手征磁化率隨溫度的變化情況，在圖16、圖17展示了利用夸克凝聚定義的結(jié)果，顯然確定的臨界值是相同的.類似的，不同溫度下手征磁化率隨電場的變化情況見圖18和圖19.

圖14 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.14 The chiral susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

圖15 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig. 15 The chiral susceptibility-temperature curves for the d quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

圖16 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)u夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由夸克凝聚定義Fig.16 The chiral susceptibility-temperature curves for the u quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the quark condensation

圖17 eE=0.1，0.15，0.2GeV2時(shí)d夸克的手征磁化率-溫度曲線，這里的手征磁化率由手征凝聚定義Fig.17 The chiral susceptibility-temperature curves for the d quark at eE=0.1， 0.15, and 0.2GeV2，here the chiral susceptibility is defined by the quark condensation

圖18 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)u夸克的手征磁化率-電場強(qiáng)度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.18 The chiral susceptibility-electric field strength curves for the u quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

圖19 T=0.05，0.1，0.15 GeV時(shí)d夸克的手征磁化率-電場強(qiáng)度曲線，這里的手征磁化率由有效質(zhì)量定義Fig.19 The chiral susceptibility-electric field strength curves for the d quark at T=0.05，0.1, and 0.15 GeV，here the chiral susceptibility is defined by the effective mass

利用上述方法，采用熱磁化率、電磁化率及手征磁化率(確定臨界點(diǎn)有兩種不同方式)確定了化學(xué)勢為0時(shí)u夸克在E-T平面上的手征相變臨界線，見圖20.從前面的計(jì)算可知，d夸克的相變臨界點(diǎn)與u夸克差異不大，既然主要考察不同磁化率在確定臨界線上的差異，在此僅以u夸克為例加以說明.不同磁化率確定的手征相變臨界線是相似的，但存在定量上的差異.在手征相變臨界線的中段，不同的磁化率確定的臨界線差異較為明顯.因此，在平滑過渡的情況下，把不同磁化率確定的臨界線綜合考慮是更合適的，比如取不同臨界線圍成的帶狀區(qū)域.

圖20 由不同磁化率確定的E-T平面相圖Fig.20 Phase diagram in the E-T plane determined by different susceptibilities

4 結(jié) 論

本文采用NJL模型對恒定電場背景下強(qiáng)相互作用物質(zhì)的手征相變進(jìn)行了研究.結(jié)果表明，電場具有破壞手征凝聚的作用，導(dǎo)致相變臨界溫度降低，而且所帶電荷的差異導(dǎo)致了u夸克的手征對稱性恢復(fù)要比d夸克快.夸克的有效質(zhì)量(或凝聚)隨電場和溫度的變化表明相變?yōu)槠交^渡，磁化率曲線的連續(xù)性也證實(shí)了這一點(diǎn).采用熱磁化率、電磁化率和手征磁化率等幾種不同的磁化率確定了電場-溫度平面的相變臨界線，發(fā)現(xiàn)利用不同磁化率的峰值確定的相變臨界線存在差異，特別在手征相變臨界線的中段，差異較為明顯.因此，在平滑過渡的情況下，使用由不同磁化率確定的臨界線圍成的帶狀區(qū)域更為合適.此外，在NJL模型下，使用夸克有效質(zhì)量定義的磁化率與夸克凝聚定義的磁化率確定的臨界點(diǎn)是相同的.